2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一年级下册册期中数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下册期中数学模拟试题

(含解析)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

22

z-(-0

I.复数l-i在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【正确答案】A

【分析】应用复数除法化简复数，即可得复平面上对应点，进而确定所在象限.

2(2-i)(2-i)(l+i)3+i

【详解】由题意得三一1=2x*令T=2x<=3+i,

l-i(I-I)(I+1)2

所以Z在复平面内对应的点为(3,1),位于第一象限.

故选：A

2.若α为平面，有下列命题，其中真命题的是()

A.若直线/平行于平面α内的无数条直线，贝卜〃α

B,若直线α在平面α外，则。〃平面ɑ

C.若直线直线bu平面α,则。〃平面ɑ

D.若直线。〃上6〃平面ɑ,则“平行于平面1内的无数条直线

【正确答案】D

【分析】根据线面位置关系可直接判断.

【详解】A项还可能∕uα,故A错误：

B项还可能。与平α交，故B错误；

C项还可能αuα,故C错误；

由直线与平面平行的性质以及平行的传递性可知D正确.

故选：D.

3.已知圆锥的体积为其中S为圆锥的底面积，〃为圆锥的高.现有一个空杯子，盛水

3

部分为圆锥(底面半径为4cm,高为8cm),现向杯中以8cπ√∕s的速度匀速注入水，则注

水［0<∕<10)s后，杯中水的高度为()

D.2；怪Cm

Vπ

【正确答案】D

【分析】根据已知条件及圆锥的体积公式即可求解.

【详解】假设注水［0<∕<10)s后，杯中水的水面半径为XCm,则

O

杯中水的高度〃=-X=2Xcm,

4

所以,πχ2χ2x=8/,解得X=3⑵

3π

故杯中水的高度〃=2：42/

——cm.

π

故选：D.

4.如图，在正四棱锥。中，侧棱长均为4,且相邻两条侧棱的夹角为30°,E，F

分别是线段。8,OC上的一点，则ZE+E尸+ED的最小值为()

A.4B.8C.2√2D.4√2

【正确答案】D

【分析】将正四棱柱的侧面展开，可知NE+即+ED的最小值为ZO,然后在aOZO中

求解即可

【详解】如图，将正四棱柱的侧面展开，

则4E+E尸+ED的最小值为AD•

在AOZO中，OA=OD=4,ZJOD=90°,

则AD=y∣2OA=4√2.

故选：D

AB

5.如图所示，△/'8'。'是水平放置的“8。的斜二测直观图，其中0'。'=。'/'=2。'8'=2,

则以下说法正确的是（）

C^^/0'Arx'

A."8C是钝角三角形B.A∕8C的面积是A∕'8'C'的面积

的2倍

C.8点的坐标为（0,Jl）D.-BC的周长是4+4J5

【正确答案】D

【分析】将△⑷"C'还原成原图依次分析选项可得答案.

【详解】根据题意，将A∕'5'C'还原成原图，如图，

对于A,-BC中，有OC=O/=08=2,AC上OB,所以BC=AB=2血，AC=4,

故A∕8C是等腰直角三角形，A错误；

1./?

对于B,-8C的面积是一/8x08=4,AHB'C'的高为O'8'xsin45°=yw,

22

所以AH8'C'的面积为LHC'x也=√∑,ABC的面积是A∕'8'C'的2√Σ倍，B错误;

对于C,因为。6=2,8的坐标为（0,2）,C错误；

对于D,A∕8C的周长为BC+∕8+ZC=4+4∙√Ξ,D正确

故选：D.

B

6.已知Z]*2∈CjZ]-Z2∣=2jΣjzJ=2jz2∣=2,则∣Z[+Z2∣=()

A.2√2B.2C.1D.

2

【正确答案】A

2

【分析】设Z]=α+bi,z2=m+ni9根据己知可得/+/,w+√,2ωn+2bn,代入

IZ1+z2∣=J(4+J)2+(6+〃)2计算可得答案,

【详解】设Z]=α+bi(α,b∈R),z2=m+m^m,n∈R),

所以/+/=4'm2÷∕72=4»

因为卜]—Z2∣=2√L所以(Q-加y+伍一〃)2=8,

即2am+2hn=O,所以

2

IZI+z2∣=y∣(a+m)~+(6+=J/+b+加?+/+2ab+2nm=2Λ∕Σ∙

故选：A.

7.如图所示，在空间四边形/6C。中，点E,〃分别是边/6,力。的中点，点尸，G分

CCɔ

别是边8C,上的点，且——=—=；,则下列说法正确的是()

CBCD3

A.EF与GH平行

B.EF与GH异面

C.EE与GH的交点”可能在直线/C上，也可能不在直线NC上

D.ER与GH的交点Λ/一定在直线ZC上

【正确答案】D

【分析】根据题意，连接E，，FG,由线面的平行关系，即可得到结果.

【详解】如图所示：

因为凡G分别是边sc,8上的点，且竺=Cg=

CBCD3

2

所以GF//BD,且Gb=-BO.

3

因为点E,，分别是边NB,的中点，

所以EH//BD,且EH=LBD,

2

所以EHI/GF,且EH羊GF,

所以EF与GH相交，设其交点为A1,

则MW平面ABC,同理We平面ACD.

又平面ABCC平面ACD=AC,

所以M在直线/C上.

故选:D

21

8.已知锐角-3C中，内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,a=b+bc,若

CoS(C-8)+；ICOSZ存在最大值，则实数义的取值范围是()

A.(θ,√2)B.(1,√3)C.(0,2)D.(2,4)

【正确答案】C

【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出N=28，根据AZ8C为锐角三角形可求得

角8的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出

COS(C-8)+4CoSZ=-2COS228+之COS28+1,求出CoS23的取值范围，根据二次函

数的基本性质可得出关于实数/1的不等式，解之即可.

【详解】由余弦定理可得/=〃+02-2bccos/=〃+A,则c-2bcos∕=b,

由正弦定理可得SinB=sinC-2sin5cos^=sin(^+5)-2cossin5

=sinAcosB+cosAsinB-2cos力sin8=sinAcosB-cos4sin3=sin(4—8),

因为"8C为锐角三角形，则0<∕<二，0<5<-,所以，一三<A-B<X,

2222

(ππ∖

又因为函数y=5巾1在一5,5内单调递增，所以，A-B=B,可得4=25,

„π„π

0<A<-0<25<-

22

π兀TrTr

由于-8C为锐角三角形，贝卜0<B<-,即Q<B<—,解得一<8<—

2264

0<C<^0<π-35<^

[2[2

cos(C-5)÷ΛcosA=cos(π-45)+Λcos2B=λcos2B-cos4B

=-2COS22B+λcos2B+1，

τrτr1

因为一<26<一,则OVcos2B<一,

322

1

因为—2CoS228+%cos28+1存在最大值，则0<一<—<解得0<4<2.

42

故选：C.

方法点睛：三角函数最值的不同求法：

①利用sin%和CoSX的最值直接求；

②把形如N=αsinx+bCosx的三角函数化为V=ZSin(Q)X+φ)的形式求最值；

③利用SinX±cosx和SinXeOSX的关系转换成二次函数求最值；

④形如y=Osin?x+bsinx+c或y=acos?x+bcosx+c转换成二次函数求最值.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知Z=(1,3)[=(—2,1),"=(3,-5),则()

A.(α+2^)lcB.(a+2b)∕∕c

C.∖a+c∖^2D,∣a+c∣=2∣6∣

【正确答案】BD

【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标

表示逐项计算判断作答.

【详解】Z=(1,3)]=(-2,1),"=(3,-5)

对于A,a+2b=(-3,5))(α+lb)∙c=-3×3+5×(-5)≠O，α+2^与C不垂直，A不正

确；

对于B,a+2b=(-3,5)=—c>W(α+2δ)∕∕c>B正确;

对于C,α+c=(4,-2),有∣Z+J∣=J42+(-2>=2√LC不正确；

对于D,IbI=√(-2)2+12=√5.由选项C知∣Z+"∣=2√L∣Z+"=2向，D正确.

故选：BD

10.如图，在下列四个正方体中，48为正方体的两个顶点，R为所在棱的中点，则

在这四个正方体中，直线ZB与平面Z)EP平行的是()

【分析】对A,C,利用线面平行的判定定理即可判断；对C,将平面Z)ER扩展，即可得

出/8与平面。EE相交；对D,由。产与其所在的对角线平行,而/8与对角线相交，可知

48与平面。EF相交.

【详解】解：对于A,ABHDE,AB(Z平面DEF,DEU平面DEF,

・•・直线/8与平面。E尸平行，故A正确；

对于B,如图，取正方体所在棱的中点G,连接FG并延长，交ZB延长线于4,则与

平面。EF相交于点”，故B错误；

D

对于C,ABHDF,46α平面。E凡OEU平面。ER

.∙.直线48与平面。E尸平行，故C正确；

对于D,48与。F所在平面的正方形对角线有交点8,与该对角线平行，

直线/8与平面OE/相交，故D错误.

故选：AC.

11.在A∕8C中，角4民C所对的边分别为α,b,c,下列说法中正确的是（）

A.若/>8,则sin/>sin8B.若」⅛=—也，则A∕8C为等腰

CoSBCosA

直角三角形

C.a=---"上----D.若taιυ4+tarιβ+tanC<0,则

SinNsin5+sinC

△N6C为钝角三角形

【正确答案】ACD

【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式，比例的等比

性质的应用判断结论.

【详解】对于A,若A>B，所以α>b,利用正弦定理可得2RsinN>2Rsin8,所以

Sin4>sin8,故A正确；

对于B,由于4=—利用正弦定理可得SinNcosZ=SinBcosB,整理得

CGSBCOS/

[sin2Z=!sin28,即sin2/=sin23,所以2/=28或24+23=兀，所以？1=8或

22

TT

A+B=-,所以A∕8C为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

2

对于C,由正弦定理，一=▲—=」一=2火，所以

sinAsinBsinC

6+c2RsinB+2HsinCʌŋaMCTr生

---------=--------------=2R=——,故C正确；

sinB+sinCsinB+sinCSiM

对于D,由于taiL4+tan5+tanCvO,

所以tanZ+tan8+tanC=tan(4+8)(1-tanAtan8)+tanC

=~tanC+tanC÷taιvitan5tanC=tarL4tan5tanC<O,

因为0<4B,Cv兀，所以48。中必有一个钝角，故AZ8C为钝角三角形，故D正确.

故选：ACD.

12,在&48C中，P,。分别为边/C,8C上一点，BP,AQ交于点D,且满足N=f定,

^BQ^λQC.BDjuDP,AD≈ιnDQ,则下列结论正确的为()

12

八.若/=—且义=3时，则加=—,μ=9

23

B.若〃=2且加=IB寸，则/I=',t=-

32

.1212

C.若-----=I时，则------=1I

λtμt

tμλm

D------------------=---------------------

(l+∕∕)(l+z)(l+w)(l+Λ)

【正确答案】AD

2/+1IT)1ITJ

【分析】根据向量共线定理的推论，得到‘一∙3∙-^-+'———=1,

1+At/27+11+4/27+1

1L.——J=I,代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB

1+Zλ//+11+Z〃+1

tλ+/1,1121

选项，对上式变形得到一^一7+；-=1+一，假设-----=1成立，推导出一=0,得到

tλ+λ1+rμλtλ

λ∕z+ltn14+I,

矛盾，故C错误，根据向量共线定理的推论得到;~∙t-----------+-——--=1,

1+Zrμm+∖∖+mμ

μ∕n+lt1w+1tμ_加〃

∖+μmt+∖+∖+μm，空形得到(I+4)。+/)(l+m)(l+2)-

【详解】由题意得：AC=^-AP,AQ=^-AD,BQ=AQC,

tm

AQ-AB^λ(JC-AQ),即而=——AC+——AB

1+Λ1+4

A/7+1m4，+1,~112~

C即Irl------AD=-------------AP+------AB,

τn1+Λt1+A

,

LLtm%E+1/71~1∏1■,rς

所以AD-------------------APH--------------AB,

1+丸tnι+11+A///+I

因为民Qj三点共线，

4，+1加1rn

所以--------------------+--------------=1λ,

1+4tm+11+4∕%+l

o---11

当且时3Om1m

/=,4=3,---------幺-------------1----------------1,

21+3ɪm+∖1+3W+1

2

2

解得：m=一,

3

丽:等而，心竽初

AP^tPC＜所以丽-丽=t网-丽）,

即旃=」一品+」-前，

1÷Z1+£

即壮而=，∙∆±l至+二-0，

μ1+Zλ1+Z

所以8D=∙^-∙∙^^∙-^γ60+∙^----JBA,

因为a。,。三点共线，

tΛ+la1μ.

所以.....................-+---------=1,

1+Zλμ+∖∖+tμ+∖

1

当/=2且4=3时,23+1〃I1____L

21+13〃+11+£μ+l

22

解得：〃=9,

故A正确；

Az+11ZΛ+l13

若"=2且加=I时,-------------1-------=2π，--------------1------=一，

1+4t1+41+/λ1+/2

解得：B错误；

23

tΛ÷1U.1Litλ÷t11

:------------------r+^----------7=1，变形为：-;—r÷^—=11+一,①

1+%λ〃+11+Z4+1tλ+41+，IA

1211

若-----=1时，则£—24=",代入①式得：=1

λtμ1+/

1212

假设-----=1成立，则----=一,解得：/=-2,

〃tI-FZt

此时-=O显然无解，故假设不成立，故C错误;

λf

λ//+Im1"+Iμ阳+1t1m+∖

同理可得：］-----------1--------=1,-----------1--------=1,

+Λμ772+1l÷mμ∖+μmZ+11+从m

t_m1_mμ-∖

所以广μ二二

1+〃t/77+11+〃(加+1)(1+〃)

λm_μ1_mμ-∖

1+4加+1〃+11+用(加+1)(1+〃)

LL_痴

所以(l+〃i(l+z)=(l+m)(l+/l)

D正确.

故选：AD

利用向量共线定理的推论得到关系式，然后解决向量的倍数关系，本题中要能在多个等式中

进行适当变形，然后找到等量关系

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

B.已知IlI=IBl=3,。是与向量B方向相同的单位向量，向量万在向量B上的投影向量为

3

-e,则值与B的夹角为

【正确答案】600##。

卜巾∙cos(α,b)3

3a`b

【分析】根据向量Q在向量B上的投影向量为万,，由行=I'~~L=求解.

W同IAI2

3

【详解】解：因为向量方在向量B上的投影向量为万），

,a∙b3

所以

∖b∖网2

即CoS(a,3)=5,

因为(α,B)w[0,%],

所以Gl)=60。，

故60

14.棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将M,N,C,Z）四

点两两相连，构成的几何体的表面积为.

【正确答案】2百

【分析】在原正方体纸盒上，分别将M,N,C,。四点两两相连，即可得出。-朋NC为正

四面体，求出表面积即可.

【详解】在原正方体纸盒上，分别将N,N,C,Z）四点两两相连，如图所示，

因为MN,MC,MD,ND,NC,CD为正方体的面对角线，

所以MN=MC=MD=ND=NC=CD=五，

所以0-MNC为正四面体，

所以表面积为：—×（√2）2×4=2√3.

4

故2√L

πΔΓ)1

15.在C中，。是BC边上一点，且5=—,----=—,若Z)是BC的中点，则

6BD2

—=:若ZC=4百，则AJOC的周长的最大值为.

AB

【正确答案】①.—S⅛∣√21②.8+4√3⅛⅛4√3+8

33

【分析】第一空，先在ANBO中利用余弦定理得到力8=更80,再在一BC中利用余

2

弦定理得到ZC=也80,从而得解；第二空，先求得408=工，从而在△/£)C中,

23

利用余弦定理与基本不等式求得Z0+CD≤8,从而得解.

【详解】因为。是BC的中点，则ND=吆=生，B=j

246

在AZBO中，由余弦定理可得ZD?=8。2+工82—2Z6∙80∙cos6，

即%=Bh+AB2-2ABBD×->整理得AB2-超ABBD+-BD2=Q,

424

解得ZB-@8。=0，所以AB=@BD，

22

在&48C中，由余弦定理得/C?=8。？+/1-248.BC∙cos8

,3

=4BD2+-BD27-2×等皿2皿条萍，

4

βffwAC圣BDλ∕21

即AC=®BD，

-=--

所以FA^=T=T3，

2BBBD

2

若4C=4√i,B=2,BD=2AD,由上述知ZB==百"。，

62

ττ2TT

所以802=4ZZ)2=Z82工。2,则N8,故,则4。。=—

33

在C中，由余弦定理得/02=/h+Cr)2-2ZO.S∙COSN∕WC，

即48=AD2+CD2+ADCD=(AD+CDy-ADCD

≥{AD+CD↑-AD+CD

2

则(ZO+Cz))2≤64,即ZO+C0≤8,当且仅当ND=CD=4时，等号成立,

故4D+CD+ZC≤8+4√J，即“DC的周长的最大值为8+4√3.

故与；8+4√3∙

易错点睛：本题容易犯错的点是第一空的条件用于第

二空，或者在第二空的解析过程中被第一空的条件。是BC的中点误导，导致走了弯路.

16.已知AABC中，I而『+2^β-AC=9.∣5C∣=3,则^ABC面积的最大值是.

【正确答案】3

【分析】利用条件结合余弦定理，求出2c?+从=18，CoSZ=&,再求出

sinA=ʌ/l-cos2A=JI一~^^~xʤ?-b。=:xV144-9⅛2>代入面积公式

S“Bc=gAsinZ转化为关于Z>2的二次函数即可求解•

【详解】由题知，A∕8C如图所示：

BaC

因为I/B|2+2AB∙AC=9，所以c?+2chcos/=9，

由余弦定理得：a1=b2+C1-2bccosA=>9=62+c2-2bccosA，

联立解得：2c2+∕=i8,COSN=3，

所以SinZ=Vl-cos2A=Jl-Ι：,∙=}χy∣l6c2-b2=T-XV144-9∕>2，

224

所以S.β,.=-bcsmA=-^-×⅛×c×-^-×V144-9Λ=ɪ×V144∕>-9⅛,

“改224c8

=i×^-9（⅛2-8）2+576≤3.

故3.

考查了解三角形中余弦定理，面积公式等相关知识点，对于范围问题可尝试转化为二次函数

或基本不等式来分析求解.

四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，三棱柱∕8C-48ιG中，44i_L平面∕8C,D、E分别为小为、44∣的中点，点、F

（1）求证：EF〃平面BDCI；

（2）在棱/C上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：

15,若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）点G不存在，理由见解析

【分析】（1）取/8的中点A1,根据/尸=!/15,得到F为4W的中点，又E为/小的中点,

4

根据三角形中位线定理得EF〃AiM,从而在三棱柱ABCF囚G中，4∣D8M为平行四边形,

进一步得出E尸〃8D.最后根据线面平行的判定即可证出Er〃平面8G。.

（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱/C上存在一个点G,使得平面EFG将

三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15,再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出ZG与NC

的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在.

【小问1详解】

证明：取/8的中点M,

1

'JAF=-AB,

4

.∙.尸为的中点,

又「E为44ι的中点，

：.EF//A\M

在三棱柱N8C-48∣G中，D,M分别为小8∣,43的中点，

：.A\D//BM,A↑D=BM,

NiOBM为平行四边形，

：.EF//BD.

U平面BC∖D,ERI平面BCiD,

E/〃平面BGD

【小问2详解】

设AC上存在一点G,使得平面EEG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15,则

/-AFG'嗫BC-4瓦G=I：16,

“-×iAF-AGsmΛGAFAE

•.1E-AFG_32___________________

^ABc-ABc

iliɪAB∙4CsinZCAB∙AAx

21

111JG1AG

=­X—X—X=----

342AC24AC

.1NG1

"247c~Tβ'

.AG3

•・-，

AC2

3

：.AG=-AOAC.

2

所以符合要求的点G不存在.

18.在A∕8C中，角A,B,C的对边分别为①b,c.已知"十厂一J矿十厂一"

sinBsinA

(1)证明：A=B.

（2）若。为8C的中点，从①4。=4,②CoSC=—，③CZ>=2这三个条件中选取两个作

4

为条件证明另外一个成立.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证/=8；

（2）三种情况，在A∕CZ）中，利用余弦定理证明即可.

【小问1详解】

h2+c2-a2a2+c2-b2+Zfr-r/曰2bccosN2accosB

已知------------------------由余弦定理r可a得-----------=---------

sin5SinZsin5sin/

口rtbcos∕acosBL,丁心一，EbaiC

即------二---------------，又由正弦定理一：^----=----，1⅛cosA-cosB,

sinBSinZsinBsinA

角48为△力BC中内角，所以力二8.

【小问2详解】

△48C中，A=B,。为8C的中点，如图所示，

C

A

AB

⑴①②n③

己知/0=4,COSC=求证CD=2.

4

口日Ar七八少八出LAC2+CD2-AD2ACD2+CD2-↑61

证明：AC=2CD，"CD中，cosC=----------------------=----------；-----=—,

2AC-CD4CD24

解得8=2.

⑵①③=>②

已知/0=4,CD=2,求证CoSC=

4

rι

IFfflACymΛβfj∣'∣ΛΓΓ∖rhr+CD~-AD~16+4—161

证明：AC-2CD=4,所以A∕C0中，CoSC=----------------------=-------------=—.

2ACCD2×4×24

⑶②③n①

己知CoSC=LCD=2,求证./0=4

4

证明：NC=2C。=4,在Co中，由余弦定理，

=NC∙2+cr>2-2NC∙CQCOSC=I6+4-2x4x2χL=16,所以40=4

4

19.在A48C中，a、b、C分别是角/、B、C所对的边，已知在。=而，b>c,

tn-(cosC,cosA),n=(a,c-2h)ɪn∙

(1)求角/大小；

(2)若c48C面积为36，BD=；DC,求4。的长.

TT

【正确答案】(1)—

3

2√19

【分析】(I)利用向量垂直充要条件及两角和的正弦公式即可求得cos/的值，进而求得角

A大小；

(2)先利用题给条件求得氏C的值，再利用向量的数量积求得0万I,进而得到工。的长

【小问1详解】

—•~•—►-→

m=(cosC,cosA),n=(a,C-26)且加_L〃，

则mG=0，贝IJQCoSC+(C-2A)cos%=0,

sinAcosC+(sinC-2sinB)cosA=O,则sin5-2sin3cos∕=0

iJT

又sinB>0,∙*∙cosA=—,又TZ∈(0,it),.∖A——.

23

【小问2详解】

由S2ABC~gbcsinA-；VJbC=ɜʌ/ɜ,可得be=12

又由/=13=/+/-6c,可得25=/+。2

联立｛b^+c-25,解之得V6=4、或《

、be=12c-=3、c=4

又b>c,则b=4,c=3

—•1—■—■1一2—

因为BD=-DC,所以Z。=—/C+—Z8

233

一21——24--24---------144176

所以/D=-AC+-AB+—/C/8=—xl6+—x9+—x3x4x—=—

99999929

所以I诟|=2炳，即/0=冬叵

1133

20.在AZBC中，Ac分别为“8C三个内角4民。的对边，已知2S=JOccos4

(1)求角A大小；

(2)若α=√J,求/+c2+3bc的取值范围.

Tr

【正确答案】(1)—

3

⑵(3,15]

【分析】（1）根据三角形的面积公式可得S=LbC∙sin/,结合题设化简即可求解；

2

（2）由正弦定理可得b=2sin5,c=2sinC,由余弦定理可得/+c?=3+bc，进而结合

三角恒等变换化简可得〃+c2+3bc=7+8Sin再结合正弦函数的图象及性质求

解即可.

【小问1详解】

根据题意，2S=JibccosZ,且S=Jbcsin/,

则2XLhesinA=y∣3bccosA,

即tanZ=，

在“8C中，有4e(0,π),

所以Z=?

【小问2详解】

由(1)知，a=^>

可得SirL4=——>B+C=Ti-A=—,

23

由α=J*,则根据正弦定理有‘一=一也=上=2,得b=2si∏5,c=2sinC,

SirL4Sin5si∏C

根据余弦定理有42=〃+02一才m04,得据+c2=3+bc,

所以

Z)2÷c2+3bc=3+4bc=3+16sin5si∏C=3+16SirLSsin-----B=3+8>/3sin5cos5+8sin25

/\

=7+4√3sin2S-4cos25=7+8sin128-E

因为8e(θ,?],所以28—

∖ʒ√6V66J

.(πW11

所以SinI2B―6―√∈k—2,1_,

所以/+c2+3bc=7+8sin(28-2]e(3,15].

I6√

21.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，48为地面，CD,CE

λτιit

为路灯灯杆，COLZ6,NDCE=—,在E处安装路灯，且路灯的照明张角ZMEN=-,

33

已知Co=4m,CE=2m.

(1)当“，。重合时，求路灯在路面的照明宽度A/N；

(2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.

【正确答案】（1）亚；（2）ɪɪ

【分析】（1）先由余弦定理求出ME,再求出CoSNGME,进而求出SinBEM0,最后根

据正弦定理求出答案；

（2）先用等面积法求出MV,E∕,EN间的关系，进而运用余弦定理结合基本不等式建立

MN,EN,EN之间的不等式，两者结合即可得到答案.

【详解】（1）当。重合时，

ADM

由余弦定理知，ME=y∣CM2+CE2-2CM-CE-cosZMCE=2√7

所以C°S∕CME=02+叱—空=些，

ICM-ME14

因为ZCME+ZEMN所以Sin4EMN=cosNCME=-

214

因为CoSNEA∕N>0,所以CoSZEMN=Jl-Sin?NEMN=4，

sinNENM=SinJ-ZEMN=2ZICoSZEMN+ɪsinNEMN=冬？，

I3)227

二在AEΛW中，由正弦定理可知，MN—=.EM_,解得MN=迈m.

SinNMENsinZENM

2ππ

（2）易知E到地面的距离0=4+2Sin

T^2

所以SF^=--MN-5=--EM-EN∙->所以半MN=EM∙EN

"MN222√3

又由余弦定理可知，

MN2=EM2+EN2-2EM-EN∙-≥IEM-EN-EM-EN=EM-EN,

当且仅当EM=EN时“=”成立.

所以MN?≥半MN,解得MN≥32m.

√33

答：（1）路灯在路面的照明宽度为Xi加