2022-2023学年山西省晋中市平遥县九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2022-2023学年山西省晋中市平遥县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活

动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

c.义匕

BE甲心202工

BE!JING2022

OQPOQP029

2.已知％=1是方程％2+m=0的一个根，则m的值是（）

A.-1B.1C.-2D.2

3.如果厘=|,那么2的值是（）

a5a

1223

-B--D-

A.3355

4.如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下A处测得影子AM的长

为5米，则小明和路灯的距离为（）

A.25米

B.15米

C.16米

D.20米

5.“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观.下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，

③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（）

A.①B.②C.③D.@

6.如图，将△力BC绕点A逆时针旋转65。得到△?!£>£1,若NE=70。且4。1BC于

点尸，则NB4C=（）

A.80°

B.85°

C.90°

D.95°

7.如图所示，A,8是函数y=¥的图象上关于原点。的任意一对对称点，AC平y

行于y轴，BC平行于x轴，AaBC的面积为S,贝1|()

A.S=V-2

B.S=2<2

C.1<S<2

D.S>2

8.2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心.雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病

毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请〃个好友转发倡议书，每个

好友转发倡议书，又邀请〃个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人

参与了传播活动，则方程列为（）

A.(1+n)2=931B.n(n-1)=931

C.1+n+n2=931D.n+n2=931

9.如图，在矩形COED中，点。的坐标是（2,4）,则CE的长是（）

A./13

B.8

C.2<5

D.2y/~6

10.如图，AABC的三个顶点的坐标分别为4（一6,10）,B（-6,0）,C（4,0）,将4

ABC绕点8顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在双

曲线y=（的图象上，则该反比例函数表达式为（）

C.y=—

JX

D.y=—

'x

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.请你写出一个三种视图形状完全相同的几何体.

12.一元二次方程3x(久—2)=一4的一般形式是.

13.平行四边形ABC。的对角线AC、8。相交于点。，要使平行四边形ABC。是矩形请添加一个条件

14.一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试

验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是

20%,则袋中有个红球.

15.一块直角三角形板ABC,^ACB=90°,BC=12cm,AC=8cm,测得8C边的中心投影/Q长为

24cm,则力/i长为cm.

16.如图，四边形ABC。的顶点都在坐标轴上，若AB"CD,△20B与△C。。面积分另U为12和27,若双曲

线y=5恰好经过2C的中点E,则k的值为.

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题18分)

(1)|-6|-<9+(1-72)°-(-3)；

(2)%2—7%+6=0；

(3)(%—5)2=16.

18.(本小题10分)

如图，已知平行四边形ABCD中，延长AB至点E,使8E=AB,连接8。和CE.

⑴求证：4DAB支CBE

(2)请你给图中平行四边形A8CZ)补充适当的条件，使四边形。8EC成为菱形；请结合补充条件证明;

19.(本小题10分)

在抗击新冠病毒战役中，我县涌现出许多青年志愿者.其中小丽、小王等五名青年志愿者派往一社区核酸

检测点，根据医护人员人事安排需要先抽出一人进行检测点消杀，再派两人到站点扫码，请你利用所学知

识完成下列问题.

(1)小丽被派往检测点消杀的概率是

(2)若正好抽出小丽小王之外的一人去往检测点消杀，剩下四人中再派两人去站点扫码，请你利用所学知

识求出小丽和小王同时被派往站点扫码的概率.

20.(本小题10分)

已知反比例函数为=：的图象与一次函数丫2=a久+b的图象交于点4(1,4)和点-2)

(1)求这两个函数的表达式;

(2)观察图象，当刀>0时，直接写出比>、2时自变量x的取值范围;

(3)如果点C与点A关于x轴对称，求△力BC的面积.

21.(本小题10分)

某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调

出厂价；

(1)2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调

幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；

(2)若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500

台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台.因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若

希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？

22.(本小题14分)

如图，正方形ABC。的边长是3,点尸是直线上一点，连接PA,将线段PA绕点尸逆时针旋转90。得到

线段PE,在直线BA上取点R使BF=BP,且点产与点E在2C同侧，连接ERCF.

(1)如图•，当点P在延长线上时，求证：四边形PC尸E是平行四边形；

(2)如图，，当点尸在线段5c上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；

(3)在(2)的条件下，四边形尸CFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时8P长；若没

有，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

8既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：B.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折

叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.【答案】A

【解析】解：把x=1代入方程得1+m=0,

解得根=-1.

故选：A.

把x=1代入方程得1+m=0,然后解一元一次方程即可.

本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如/=P或O久+机)2=p(p>0)的一元二次方程可采用直

接开平方的方法解一元二次方程.也考查了一元二次方程的解.

3.【答案】C

【解析】解：「^=1，

a5

3a=5a—5b,

则2a=5b,

故2屋

a5

故选：c.

直接利用已知进而变形得出a,6的关系.

此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键.

4.【答案】D

【解析】解：如图，根据题意，易得AMBASAMCO,

C

根据相似三角形的性质可知爱=焉,即?=熹，：

解得。4=20.o--------------卜二^

则小明和路灯的距离为20米.

故选：D.

易得：AABMSAOCM,利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子OA的长.

本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力.利用数学知识解决实际问题

是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为

数学问题.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.在一定条件下，

一定会发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定

的，而在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件为不确定事件，即随机事件.

【解答】

解：①“水中捞月”是不可能事件，符合题意；

②“守株待兔”是随机事件，不合题意；

③“百步穿杨”，是随机事件，不合题意；

④“瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；

故选：4

6.【答案】B

【解析】解：•••将A4BC绕点4逆时针旋转65。得A2DE,

ABAD=65°,乙E=乙4cB=70",

AD1BC,

•••^DAC=20°,

・•.ABAC=4BAD+ADAC=85°.

故选：B.

由旋转的性质可得NB4D=65。，ZE=^ACB=70°,由直角三角形的性质可得N/MC=20。，即可求解.

本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：设点A的坐标为（久,y）,点A在反比例函数解析式上，

.,.点B的坐标为（一居一y）,k=xy-<2-

•••AC平行于y轴，BC平行于x轴，

的直角三角形，

AC=2y,BC=2x,

1L

••・S=2x2yx2%=2xy=2v2.

故选：B.

设出点A的坐标，可得点8的坐标.易得△ABC为直角三角形，面积等于^XACXBC,把相关数值代入求

值即可.

主要考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐

标互为相反数；在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数.

8.【答案】C

【解析】解：由题意，得

n2+n+1=931,

故选：C.

设邀请了w个好友转发倡议书，第一轮传播了w个人，第二轮传播了/个人，根据两轮传播后，共有931

人参与列出方程即可.

本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两

轮总人数为931人建立方程是关键.

9.【答案】C

【解析】解：•••四边形COED是矩形，

CE=0D,

,・,点D的坐标是（2,4）,

0D=V22+42=V20=2V-5，

CE=275.

故选：C.

根据勾股定理求得OD=/20,然后根据矩形的性质得出CE=00=720.

本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：••・4(一6,10),5(-6,0),C(4,0),

•••AB1x轴，AB=10,BC=10,

AC=10/2,

•.•将△ABC绕氤B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，

BA'=4B=10,BC=BC=10,A'C=AC=10/2，

在RMOB4中，OA'=V102-62=8>

A(0,8),

设。(a,b),

•••BC/2=(a+6)2+b2=100①，A'C'2=a2+(b-8)2=200②，

①-②得b=哼竺③，

把③代入①整理得a?+12a-28=0,

解得的=—14(舍去)，a2=2,

当。=2时，b=—6,

・•.C'(2,—6),

把C'(2,-6)代入y=p

得k=2x(-6)=-12,

12

y=--—■

故选：D.

利用点A、B、C的坐标得到ABlx轴，AB=10,BC=10,AC=10y/1,再根据旋转的性质得B4=

48=10,BC，=BC=10,A'C=AC1072,接着确定从点坐标，设C'(a,b),利用两点间的距离公式

得到(a+6产+炉=100①，AC[=a2+(°一8)2=200②，然后解方程组求出。和b得到C'点坐标，最

后利用反比例函数图象上点的坐标特征求k的值.

本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的

点的坐标.解决本题的关键是利用两点间的距离公式建立方程组.

11.【答案】球或正方体(答案不唯一)

【解析】解：球的俯视图与主视图都为圆；

正方体的俯视图与主视图都为正方形.

故答案为：球或正方体(答案不唯一).

主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形.

本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.

12.【答案】3/—6%+4=0

【解析】解：3久（x—2）=-4,

去括号，得3广—6%=—4,

移项得3--6%+4=0,

原方程的一般形式是3支2-6%+4=0.

故答案为：3久2—6%+4=0.

一元二次方程的■般形式是：ax?+/«+C=0（a,b,c是常数且a丰0）.

本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项

时要注意变号.

13.【答案】任意写出一个正确答案即可（如AC=BD^ABC=90°）

【解析】解：若使nABC。变为矩形，可添加的条件是：

AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）

乙4BC=90。等.（有一个角是直角的平行四边形是矩形），

故答案为：任意写出一个正确答案即可（如AC=BD或N4BC=90。）

矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是

直角；可针对这些特点来添加条件.

本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键.

14.【答案】6

【解析】解：设袋中有x个红球.

由题意可得：点=20%,

解得：x—6,

故答案为：6.

在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出

方程求解.

此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据

红球的频率得到相应的等量关系.

15.［答案］8A<13

【解析】解：/-ACB=90°,BC=12cm,AC=8cm,=24cm,

AB=y/AC2+BC2=V82+122=4713(cm),

ABC^L：AB=B1C1：BC=2：1,

ArBr=8V13(cm),

故答案为：8A<13.

由题意易得△ABCSAA/iQ,根据相似比求解即可.

本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题的关键是利用中心投影的特点可

知这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段.

16.【答案】9

【解析】解：如图所示：

•••AB//CD,

・•.Z.OAB=Z.OCD,Z.OBA=Z-ODC,

OABSAOCD,

OB_OA

»t•,

ODOC

-\A-OBOA

右而=^=g

由。B=m-OD,OA=m-OC,

又S^OAB=2。4°B，SAOCD=2，°D，

.S^OAB=的A.OB=OAQB=m2.OCOD=2

"SL0CD~\OC-OD~OC-OD~OCOD~'

又=12，S2OCD=27，

2124

・・・m2=-=-,

解得：m=|或m=一家舍去）,

设点A、3的坐标分别为（0,a）,（仇0）,则=12,即ab=-24,

OAOB2

，'0C=0D=3f

.・•点C的坐标为(0,-|a),

又•••点E是线段BC的中点，

•••点£的坐标为《,—")，

Z4

又•・,点E在反比例函数y=|(/c>0)上，

女=全(-汕=-lab=_lx(-24)=9；

zqoo

解法二：S^0AB=1-0A-OB,SLODC\-OC-0D,SOBC=\-OC-OB,S^0ADOA-OD,

^LOABxS^OCD=S^OBCXLOAD=12X27=324,

又,：AB“CD,

*',^LACD~S"CO(同底等局)，

，・S^OBC=^LOAD'

S△OBC=S△OAD=18,

•・•双曲线y=々%恰好经过3C的中点E,且点E在第三象限，

所以根据女的几何意义得到々=9.

故答案为：9.

由平行线的性质得4。48=乙OCD,AOBA="DC,两个对应角相等证明△OABs^OCD,其性质得需=

再根据三角形的面积公式，等式的性质求出租=|,线段的中点，反比例函数的性质求出％的值为6.

本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的中点坐标，反比例函数的性质，二角形

的面积公式等知识，重点掌握反比例函数的性质，难点根据三角形的面积求反比例函数系数的值.

17.【答案】解：(1)原式=6-3+1+3

=7；

(2)x2-7x+6=0,

(x—6)(x—1)=0,

x—6=0或久—1=0,

所以％1=6,%2=1；

(3)(X—5)2=16,

X—5=±4,

所以乂1=9,久2=1，

【解析】(1)先根据绝对值、零指数累的意义计算，然后进行有理数的加减运算；

(2)先利用因式分解法把方程转化为％-6=0或x-1=0,然后解两个一次方程即可；

(3)先把方程两边开方得到x-5=±4,然后解两个一次方程即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简

便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了实数的运算.

18.【答案】(1)证明：•.•平行四边形ABC。，

:.AD“BC,AD=BC,

Z.CBE=Z.DAB,

在△D4B和ACBE中，

AD=BC

Z.DAB=/-CBE，

AB=BE

(2)补充条件为：AB=4D且乙4=60°.

证明：••,平行四边形ABC。，

DC//BE,DC=AB=BE,

••・四边形DBEC是平行四边形，

AB=ADS.AA=60",

・•・△4BD是等边三角形，

AB=BD,

又：BE=AB,

BD=BE,

・•.平行四边形。BEC是菱形.

【解析】⑴由"SAS”可证AZL4盛ACBE；

(2)先证四边形。是平行四边形，通过证明△48。是等边三角形，可得BD=AB=BE,可得结论.

本题考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进

行推理是本题的关键.

19.【答案】|

【解析】解：(1)小丽被派往检测点消杀的概率是看，

故答案为：

(2)把剩下的小丽、小王等四名青年志愿者分别记为A、B、C、D,

画树状图如下：

开始

ABCD

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中小丽和小王同时被派往站点扫码的结果有2种，

•・・小丽和小王同时被派往站点扫码的概率为4=

1Zo

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中小丽和小王同时被派往站点扫码的结果有2种，再由概率公

式求解即可.

此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步

以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20.【答案】解：(1)・.,函数y=g的图象过点4(1,4),即4=5，••.k=4,即%=%

又：点B(zn,-2)在yi=g上，

•••m=-2,

8(—2,—2),

又・.,一次函数丫2=+力过A、3两点,

,解得仁飞

即OX一2

•••丫2=2%+2,

综上可得yi=%丫2=2%+2；

(2)要使yi>y2,即函数yi的图象总在函数的图象上方，

0<x<1；

(3)过3作1AC于0,由图形及题意可得：AC=4+4=8,=|-2|+1=3,

11

•••sLABC=-AC-BD=-x8x3=12.

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函

数解析式.也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力.

(1)由A在反比例函数图象上，把A的坐标代入反比例解析式，确定出左的值，从而得出反比例函数解析

式，又8也在反比例函数图象上，把8的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出机的值，从而得到B

的坐标，由A和8都在一次函数图象上，故把A和8都代入到一次函数解析式中，得到关于。与6的方程

组，求出方程组的解得到a与6的值，从而确定出一次函数解析式；

(2)根据图象结合交点坐标即可求得；

(3)由点C与点A关于x轴对称可得AC,AC边上的高为A,B两点横坐标绝对值的和，代入三角形的面积

公式即可.

21.【答案】解：(1)设该小家电出厂价平均每年下调的百分率为心

根据题意得：62.5(1-x)2=40,

解得：%1=0.2=20%,%2=1.8(不符合题意，舍去).

答：该小家电出厂价平均每年下调的百分率为20%；

(2)设该商品每台的销售定价为y元，则每台的销售利润为(y-40)元，每月可售出500-10(y-50)=

(1000-10y)台，

根据题意得：(y-40)(1000-10y)=8750,

解得：=65,y2=75,

当y=65时，1000-10y=1000-10X65=350>300,不符合题意，舍去；

当y=75时，1000-10y=1000-10x75=250<300,符合题意.

答：该商品每台的销售定价为75元，应进货250台.

【解析】(1)设该小家电出厂价平均每年下调的百分率为x,利用2021年同期该品牌小家电出厂价=2019

年这个小家电出厂价x(l-该小家电出厂价平均每年下调的百分率/，可得出关于尤的一元二次方程，解

之取其符合题意的值，即可得出结论；

(2)设该商品每台的销售定价为y元，则每台的销售利润为(y-40)元，每月可售出500-10(y-50)=

(10