2022-2023学年广东省梅州市五华县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

2022-2023学年广东省梅州市五华县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（）

□H

2.如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成

影子.则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）

A.平移

B.轴对称

C.旋转

D.位似

3.如图，下列条件不能判定△ADBSAABC的是（）

A./.ABD=乙ACB

B.AADB=4ABC

C.AB2AD-AC

nADAB

D.—=—

ABBC

4.如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那2

么这个点取在阴影部分的概率是（）

1321

D

A.4-4-3-2-

5.如图，矩形A2CD的对角线AC,BD父于点、0,乙40B=60。，AC=4,则边A8长为

()

A.<3

B.V2

D.2

6.若关于x的一元二次方程32—4x+2=0有两个实数根，则。的取值范围是（）

A.a<2B.a<2C.a<2且aW0D.a<2且aW0

7.如图，在平面直角坐标系中，。为△AOB的。4边上一点，AC：0C=2：3,

过。作交A3于点，C、。两点纵坐标分别为1、3,则3点的纵坐标

为（）

A.5

B.6

C.8

D.3

8.如图，在菱形纸片ABC。中，E是5C边上一点，将△ABE沿直线AE翻

折，使点5落在8'上，连接.已知ZT=120。,2LBAE=45°,则乙

的度数为（）

A.80°

B.75°

C.70°

D.65°

9.如图，在中，点E是线段AC上一点，AEzCE=1：2,过点。D

作交的延长线于点。，若△CDE的面积等于4,则△ZBC的面

积等于（）/\E

B

A.2.4

B.3

C.3.2

D.4

10.已知反比例函数y=g(/c为常数)的图象经过点8(-2,2).如图，过点3作直线A5与函数y=?的图象交于

点A,与x轴交于点C且ZB=BC,过点A作直线ZF,ZB,交x轴于点R则线段A尸的长为()

A.3<5B.4VIC.4/5D.672

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.方程。一4)(%+3)=0的解是.

12.如果两个相似三角形的面积比是4：9,那么它们对应高的比是.

13.盒子里装有除颜色外没有其他区别的2个红球和1个黑球，搅匀后从中取出1个球，放回搅匀再取出第

2个球，则两次取出的球是1红1黑的概率为

14.如图所示，在Rt△48C中，乙4cB=90。，zX=62",CD1AB,垂足为

D点E是BC的中点，连接ED,贝ikEDB的度数是.

15.如图，在△ABC中，点RG在BC上，点E、H分别在A8、AC上，四边形EFG”是矩形，EH=

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题8分）

解方程：/_4=-2x.

17.（本小题8分）

如图所示，△ABC中，。为BC上一个点，垂直平分A。交48于E,交AC于F,^DE//AC,判断四

边形AEDF的形状并说明理由.

18.（本小题8分）

碧桂园进驻揭西，一栋栋高楼拔地而起.如图，小明（线段4B）利用学到的知识，计算楼房（线段CD）的层

数，他把一镜子放在£处（点夙E、。共线），此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C,若小明身高

1.5m,测得BE=Im,ED=58m,碧桂园层高为2.9m，求这栋楼房有多少层？

19.（本小题9分）

已知关于龙的一元二次方程--（fc+6）x+3/c+9=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若AABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4,当△力BC是等腰三角形

时，求上的值.

20.（本小题9分）

某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门

校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的

部分学生开展了“你选修哪门课程(要求必须选修一门且只能选修一门)？”的随机问卷调查，并根据调查

数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

(1)共有名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是度；

(2)补全调查结果条形统计图；

(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到

同一门课程的概率.

调查结果的条形统计图

调查结果的扇形统计图

21.(本小题9分)

北京时间2022年12月4日23时08分，神舟十五号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼

上悬挂了一幅励志条幅(即GF).小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离

教学楼18%的点8处，在点3正上方点A处测得NGA。=a,然后向教学楼条幅方向前行12机到达点。

处，在点。正上方点C处测得NFC。=a,若AB,CD,均为1.65m,PE的长为6.65血.

图1备用图

(1)如图1,请你帮助小亮计算条幅G尸长度;

（2）若小亮从8点开始以每秒1机的速度向点E行走至D（。正上方点C）,经过多少秒后，以RC、。为顶

点的三角形与AG力。相似.

22.（本小题12分）

【问题原型】如图①，在正方形ABC。中，点E,尸分别在边BC,上，且BE=CF,点尸为AE,BF

的交点，易得N8PE=90。.

【探究发现】某数学兴趣小组，在尝试对上述问题进行变式，转换了问题的背景图形：如图②，在等边△

ABC中，点E,厂分别在边BC,AC上（不与三角形顶点重合），且=点、P为AE,8尸的交点，请画

出图形并求NBPE的度数.

【拓展提升】利用【探究发现】的思路及结论，继续探究，尝试解决如下问题：

如图③，在菱形ABCZ）中，AABC=120",点E,尸分别在边BC,AD_L,且NB4E=NCDE,DF=CE,

点.P为AE,的交点，求NBPE的度数.

23.（本小题12分）

如图，一次函数y=kx+>0）的图象与反比例函数y=?（久>0）的图象交于点A,与x轴交于点8,与

》轴交于点C,4。lx轴于点。，CB=CD,点C关于直线的对称点为点E.

（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；

（2）连接AE、DE,若四边形ACDE为正方形.

①求k、b的值；

②若点P在y轴上，当|PE-P用最大时，求点尸的坐标.

备用图

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形,

故选：B.

根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

2.【答案】D

【解析】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似.

故选：D.

根据位似的定义，即可解决问题.

本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义.

3.【答案】D

【解析】解：­.•UBD=ZXCB,Z71=Z71,

.­.AADBSAABC,

故A不符合题意；

•••Z-ADB=乙ABC,Z-A=Z-A,

ADBs〉ABC,

故8不符合题意；

•••AB2=AD-AC,

_AB__AC_

"AD-AB*

又42=/.A,

••.AADBSAABC,

故c不符合题意；

根据*=某，不能判定△力

ADDC

故。符合题意；

故选：D.

根据相似三角形的判定定理求解即可.

此题考查了相似三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：先设每个等边三角的面积为X,

则阴影部分的面积是6x,得出整个图形的面积是12%,

则这个点取在阴影部分的概率是萼=

12%2

故选：D.

先设每个等边三角的面积为无，则阴影部分的面积是6x,得出整个图形的面积是12x,再根据几何概率的

求法即可得出答案.

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件

Q4)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件Q4)发生的概率.

5.【答案】D

【解析】解：•••四边形A8CQ是矩形，AC=4,

1

0A=OB=-i4C=2,

•・•Z.AOB=60°,

是等边三角形，

AB=OA=OB=2,

故选：D.

根据矩形的性质得出。4=OB,进而利用等边三角形的判定和性质解答即可.

本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，关键是根据矩形的性质得出。4=OB解答.

6.【答案】C

【解析】解：根据题意得a丰0且/=(一4产一4ax220,

解得a<2且a丰0.

故选：C.

根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a丰0且/=(-4)2-4ax220,然后求出两不等式的

公共部分即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/++c=0(a*0)的根与4=b2—4ac有如下关系：当4>0

时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方程无实数根.

7.【答案】A

【解析】解：CD//OB,

ACDSAAOB,

tAC__CD_

'•AO=OBf

AC：OC=2：3,

AC2

•••A0=5f

•••C、。两点纵坐标分别为1、3,

.-.CD=3-1=2,

.2_2

A0B=5,

解得：OB=5,

8点的纵坐标为5.

故选：4

根据CD〃OB得至SACDSAAOB,得到%=累，根据AC：OC=2：3,得出%=|,根据C、D两点纵

AUUDAU5

坐标分别为1、3,得出。B=5,即可得出答案.

本题主要考查了相似三角形，平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平面直角

坐标系中平行y轴的直线上两点之间的距离，是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：•••四边形A8CQ是菱形，“=120。，

ABAD=ZC=120°,AB=AD,

•■•AABE沿直线AE翻折，使点8落在B'上，

•­.^BAE=乙B'AE=45°,AB'=AB,

：.ABAB'=90",AB'=AD,

：.乙DAB'=30°,

/.AB'D=Z.ADB'=(180°-30°)+2=75°,

故选：B.

由翻折的性质知NB4E=4B'AE=45°,AB'=AB,再由菱形的性质得/BAD=120°,AB'=AD,最后利

用三角形内角和定理可得答案.

本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出NZMB'=30。是解题的关键.

9【答案】9

【解析】解：•♦・CD//AB,

•••Z-ABE=Z.CDE,

•••Z-AEB=Z.CED,

ABEsxCDE,

.丝_些

•••~CE=~DE"

VAE：CE=1：2,

.BE_1

...=-f

DE2

.ABE_rAE\2_小2_1

：SACDE15E)一切~4f

1

S^BCE~2S^CDE—2，

ABE=L

，•^LABC=S.CE+S^CDE=3,

故选：B.

证明AABESACDE可求瞿=；,从而可求#=；,S=|s=2,即可求解.

DE2S^cDE4hBCE24AC3D匕£

本题主要考查了相似三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：•••反比例函数y=((k为常数)的图象经过点B(—2,2),

k=-2x2=-4,

・••反比例函数解析式为y=-p

分别过点A、2作无轴的垂线，垂足分别为点。、E,贝UBE=2,AD“BE,

CB_1

~CA=2,

AD“BE,

△BCEs〉ACD,

CBBEnn12

—CA一AD,,枝|J-2AD,

・•.AD=4.

・・•点A的纵坐标为4,

.,・把y=4代入y=—p

•••x=-1.

•**4(—1,4),

设直线A3解析式为y=ni%+九，把4(一1,4),8(-2,2)代入解析式得，

(—k+b=4

t-2/c+b=2'

解得：/=:，

3=6

・•・直线A3解析式为y=2%+6,

当y=0时，2%+6=0,解得：x——3,

CD=2,

•••AC=VAD2+CD2—V42+22=2V-5»

vAF1AB,AD1CF,

・•・^ADC=Z.ADF=90°,Z.ACD=90°-4CAD=乙FAD,

FAD,

tCD__AD_

AC=AFf

2__4_

A2^=AF9

解得：AF=4/5.

故选：C.

由反比例函数y=g的图象经过点B(-2,2),直接利用待定系数法求解即可求得答案；首先分别过点4、B

作x轴的垂线，垂足分别为点。、E,易得ABCEs^ACD,即可求得A的坐标，由AACDs△凡4。，再利

用相似三角形的性质即可求得答案.

此题考查了待定系数求反比例与一次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，注意准确作出辅助线是

解此题的关键.

11.【答案】=4,x2=—3

【解析】解：•・・(%—4)(%+3)=0,

%—4=0或％+3=0,

%1=4,x2——3；

故答案为：Xi-4,x2=-3.

直接利用因式分解法解方程即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简

便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

12.【答案】2：3

【解析】解：•••两个相似三角形的面积比是4：9,

两个相似三角形相似比是2：3,

它们对应高的比是2：3.

故答案为：2：3.

根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应高的比等于相似比解答即

可.

本题考查对相似三角形性质的理解.相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的

平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

13.【答案】［

共有9种等可能的结果，其中两次取出的球是1红1黑的结果有4种，

•••两次取出的球是1红1黑的概率为5

故答案为：I，

画树状图得出所有等可能的结果数和两次取出的球是1红1黑的结果数，再利用概率公式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

14.【答案】28。

【解析】解：・•・AACB=90°,ZX=62°,

・•・=90°—乙4=28°,

•・,CD1AB,

・•・乙CDB=90°,

、•点E是BC的中点,

1

ED=EB=^BC,

：./.EDB=LB=28°,

故答案为：28。.

先利用直角三角形的两个锐角互余可得NB=28。，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得ED=EB,

从而利用等腰三角形的性质即可解答.

本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键.

15.【答案】6

【解析】解：设与交于点M.

•••四边形EFGH是矩形,

EH//BC,

AEHSAABC,

•••AM和AD分别是△4£7/和4ABC的高,

AMEH

-=-,DM^EF,

・•.AM=AD-DM=AD-EF=S-EF,

•・•EH=2EF,

代入可得：手=等

解得EF=3,

EH=2x3=6,

故答案为：6.

通过四边形E/GH为矩形推出因此△ZE”与△ABC两个三角形相似，将AM视为的高,

可得出*=整，再将数据代入即可得出答案.

AUDC

本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键.

16.【答案】解：方程整理得：x2+2x-4=0,

这里a=1,b=2,c=—4,

21=22-4x1x(-4)

=4+16

=20>0,

•••%=芳”=-1土机,

解得：%]=-1+V-5»次=—1—V-5.

【解析】方程整理后，利用公式法求出解即可.

此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键.

17.【答案】解：四边形AEDF是菱形,

理由：•••EF垂直平分A。交A3于E,

AE=ED,AF=FD,AO=DO,

•••DE//AC,

/LFAD=/-EDA,

(£.FAO=乙EDO

在4£7)。和4FA。中AO=DO

Z-AOF=Z.EOD

■.AEDO^AFAO(ASA),

•••AF=ED,

AE=AF=ED=DF,

四边形AE。尸是菱形.

【解析】首先根据垂直平分线的性质可得ZE=ED,AF=FD,AO=DO,证明△ED。之△凡4。可得AF=

ED,进而得到AE=AF=ED=DF,再根据四边相等的四边形是菱形可得四边形AEDF是菱形.

此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握四边相等的四边形是菱形.

18.【答案】解：由已知可得：乙AEB=MED,

又：4ABE=乙CDE=90",

.■.ACDE,

~CD~~DE

解得：CD=87,

87+2.9=30（层），

答：这栋楼房有30层.

【解析】由题意可证△力BESACDE,得券=需求出CD=87,进而得出答案.

CDDE

本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

19.【答案】（1）证明：•・•/=（卜+6）2-4（3卜+9）=120,

•••方程总有两个实数根.

（2）解：当x=4时，原方程为：16-4（k+6）+3k+9=0,

解得：k=1,

当k=l时，原方程为：%2-7%+12=0,

X]-3,%2=4.

由三角形的三边关系，可知3、4、4能围成等腰三角形，

k=1符合题意；

当4B=2C时，则有：A^k2=0,

解得：k—0,

二原方程为：x2-6x+9=0,

解得：%1=%2=3.

由三角形的三边关系，可知3、3、4能围成等腰三角形，

k=0符合题意.

综上所述：%的值为1或0.

【解析】（1）证明420即可；

（2）根据△48c是等腰三角形分类讨论即可.

此题考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，解题的关键是根据根的情况，对等腰三角

形进行分类讨论.

20.【答案】⑴120；99；

（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120X荒=18（名），

则选修“园艺”的学生人数为：120-30—33—18—15=24（名），

补全条形统计图如下：

调查结果的条形统计图

（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、。、E,

画树状图如下：

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种,

••・小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为蔡=

【解析】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30+25%=120（名），

则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360。x蒜=99。，

故答案为：120,99；

（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120x纂=18（名），

360

则选修“园艺”的学生人数为：120-30—33—18—15=24（名），

补全条形统计图如下：

调查结果的条形统计图

(3)把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、。、E,

画树状图如下：

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，

・•・小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为蔡=

(1)由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；

(2)求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；

(3)画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概

率公式求解即可.

本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.【答案】解：(1)由题意得：F0=6.65-1.65=5m,AC=BD=12m,C。=DE=18-12=6m,

Z.GAO=Z.FCO=a,

・•.CF//AG,

GFAC口向12

FOCO156

解得GF=10m,

・•.条幅G尸的长度为10m；

(2)设经过t秒后，以RC、。为顶点的三角形与AGA。相似，则4C=8D=t,CO=DE^18-t,

当△也。6〃4。时，黑=黑，即嗤=盛，

解得力=12,

当HWG力。时，那羽即胎得，

解得t=管

6

经过12秒或,秒后，以F、C、。为顶点的三角形与AG力。相似.

O

【解析】(1)根据已知求出FO、AC和C。，再根据同位角相等求出C77/4G,根据成比例线段求出GF长

度；

(2)设经过f秒后，以RC、。为顶点的三角形与AGA。相似，贝〃C=BD=3CO=DE=18-t,利用

三角形相似对应边成比例，分成△FCOS&6力。和仆CFOsxG4。两种情况求解即可.

本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，平行线分线段成比例，熟练掌握并灵活运用这些性质是解

答本题的关键.

22.【答案】解：探究发现，如图②中，

・••△ABC是等边二角形，

・•.AB=BC,Z.ABC="=60°,

•・•BE=CF,

在△ABE和中,

AB=BC

乙ABE=乙C,

BE=CF

ABE^/s.BCF,

•••乙BAE=Z-CBF,

•••Z-BPE=Z-BAE+"BP,

•••乙BPE=乙CBF+乙ABP=乙ABC=60°,

拓展提升：如图③中，连接8。交AE于Q.

AB=AD=DC,AB//DC,AD//BC,

•••^ABC=120°,

•••乙BAD=Z-C—60°,

乙BAE=乙CDE,AB=CD,

DCE,

••・BQ—CE,

DF=CE,

DF=BQ,

由探究发现的结论可知，^BPE=60°.

【解析】探究发现：如图②中，只要证明△ABEGABCF,即可推出NBAE=NCBF,由NBPE=NB4E+

^ABP,推出NBPE=乙CBF+"BP=^ABC=60°；

拓展提升：由AASQ之△£）（;£1,推出BQ=CE,推出DF=CE,推出DF==BQ,由探究发现的结论可知，

乙BPE=60°；

本题考查等边三角形的性质、正方形的性质、