四川省仁寿高一年级上册期末考试数学试题（解析版）

期末考试(数学)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.sin240。的值是()

A-ID.一正

【答案】D

【解析】

【分析】根据诱导公式sin(7t+a尸-sina即可求得结果.

【详解】由题意可知，sin240°=sin(180°+60°),

利用诱导公式sin(?i+a尸一sina可得sin(l80°+60°)=-sin60°=-

即sin240。=-更

2

故选：D

L.18001（K.180°

{x\x=--—±45°,左eZ>,P=<jx|x=―-—±90",后eZ>,.则集合尸之间的

关系为（）

A.M=PB.MOPC.POMD.McP=0

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合，根据集合的关系即得.

11Q/\O

【详解】因为"二<x|x=——-——±45°,左£Z>={x|x=(2左±1)•45°,左GZ},

1IQC。

TGXX0G

p=Jx|x=i—_±90°JZ>={|=（A：±2）-45,A：Z},

所以河口P.

故选：B.

3.设角。的终边经过点尸（I，—那么2sin9+cos6等于（）

22

A.-B.--C.1D.—1

55

【答案】D

【解析】

【分析】利用任意角的三角函数的定义可求出sin。,cose的值，从而可求得答案

【详解】解：因为角。的终边经过点尸

43

所以sin6=—w,cos。，

4|=-1

所以2sine+cos6=2x+

故选：D

4.若一一（。+1）%+6<0的解集是（一5,2）,则a+b等于（）

A.-14B.-6C.6D.14

【答案】A

【解析】

【分析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数〃、h,即可得4+6.

【详解】•••/一（4+1.+6<0的解集为（一5,2）,

•'.~5和2为方程x~一（a+I）x+b=0的两根，

•**ci+b=-14.

故选：A.

5.对于任意实数〃，b,c,d,下列命题中正确的是（）

A.若a>b,c，0,贝ijac>bcB.若a>b,贝!jac2>bc2

C.若ad>bc2,贝lja>bD.若a>b,则,<'

ab

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式性质逐一判断选项，即得结果.

【详解】若心b,cvO,则ac>6c,所以A错误:

若a>b,c=0则表=从2,所以B错误；

若ac2>bc2,则c2>o,a>b,所以C正确；

若4=1/=-1满足心人但,所以D错误；

ab

故选：C

【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.

6.己知=占，则函数/(x)的解析式是()

B./(x)=----(XW-1且工。0)

/3=怖(工~1)v71+x

X

C./(x)=D./(x)=1+x

1+x

【答案】B

【解析】

【分析】根据换元法求解析式即可.

【详解】解：由题知x声0且xw-l,令，=’,则X=’(工/0且，，一1),

Xt

・•."十匕cm,

Y

：.f(x]=——(XH—1且XH0).

J')X+1

故选：B.

/x40

7.已知函数/(x)=《'-，g(x)=/(x)-a.若g(x)存在2个零点，贝心的取值范围是()

Inx,x>0

A.(-L0)B.[-L0)C,(0,1)D,(0,1]

【答案】D

【解析】

【分析】利用数形结合的方法，作出函数/(x)的图象，由歹=/卜)与直线N=a有两个交点，可得a

的取值范围.

【详解】依题意，函数y=/(x)的图象与直线丁=。有两个交点，

作出函数图象如下图所示,

由图可知，要使函数y=/（x）的图象与直线y=a有两个交点，则0<aWl

故选：D

8.已知g（x）为定义在R上的奇函数，且对任意实数小h,有g色）—g㈤<0,若

a-b

g（M+g（加一2）〉0,则实数用的取值范围是（）

A.（3,+00）B.（-8,3）c.（l,+oo）D.

【答案】D

【解析】

【分析】由烈止<0可得函数在定义域内单调递减，用奇偶性可将关系式g（加）+g（〃?-2）>0

a-b

变形为g（M〉g（2-加），根据单调性就可以求出.

【详解】对任意实数加b,有g（a）-g（b）<0,所以函数g（x）在/?上单调递减,

a-b

又因为函数g（x）为定义在火上的奇函数，且g（加）+g（加一2）>0,则所以

机<2—m,2m<2,得加<1.

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9.以下各式化简结果为sina的有（）

A.cosatanaB.V1-cos2a

.3.4•3sinasina

C.sina+sina•cosa+sinacos2aD.----：--------：---

1+smal-sma

【答案】AC

【解析】

【分析】分别对每个选项式子进行化简即可判断.

cina

【详解】对A,原式=cosa-----=sina,故A正确；

cosa

对B,原式=Jsin?、=卜in,故B错误；

对C,原式=sin3a+sinacos2a(cos2a+sin2a)

=sina+sinacosa=sina(sin~a+cos~a)=sina,故C正确;

2a2

sina(1-sina)-sina(1+sina)-2sin-2sina-2

对D,F^Ttan-a,故D错误.

(1+sina)(1-sina)1-sin2a

故选：AC.

10.下列说法正确的是()

4“比2>儿2，，是“£/>/,，，的充分不必要条件

B.“刈>0”是“x+y>0”的必要不充分条件

C.命题“mceR,》2+1=0”的否定是“小：€1<,X2+1N0”

D.D.已知a,b,ceR,方程+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0

【答案】AD

【解析】

【分析】A.由不等式的性质求解判断；B.由不等式的性质求解判断；C.由含有一个量词的命题的否定

的定义求解判断；D.将1代入方程求解判断.

【详解】A.由呢2>历2,得02(4-6)>0,则。2>0，a-b>0,即a>6,故充分；由。>分，得

a-b>0,则c2(a-6)N0,故不必要；故正确；

B.由孙>0,得x〉0,y〉0或x<0,y<0,则x+y>o或x+y<0,故不充分；当x=-l,y=2

时，满足x+y>。，但孙<0,故不必要，故错误；

C.命题“IceR,x2+1=0”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，即“VxeR,/+1/0，，，故错

误；

D.当a+b+c=0时，1为方程ar?+bx+c=0的一"根，故充分：当方程ax?+bx+c=0有一个根为

1时，代入得a+b+c=O,故必要，故正确；

故选：AD

11.下列不等式成立的是()

090302

A.0.2">O.2B.log。32>log。/C.log132<log122D.O.2<O.3-

【答案】BCD

【解析】

【分析】A.利用指数函数的单调性判断得解；B.利用对数函数的单调性判断得解；C.先利用对数运算化

简，再利用对数函数的性质判断得解；D.利用募函数和指数函数的单调性判断得解.

【详解】A.因为指数函数少=0.2，单调递减，1.1〉0.9,所以0.2u<0.2"9,所以该选项错误；

B.因为对数函数y=log0.3X在定义域内单调递减，2<3,所以10go.32>log0.33,所以该选项正确；

1g21g2

C.log2=——,log2=——,因为lg2>0,lgl.2>0,lgl.3>0,又lgL3>lgl.2,.1

l3lgl-3l2lgl.2

log,32<log,22,所以该选项正确;

0303

D.由幕函数y=X在(0,+。。)上单调递增得O.2°3<0.3,由指数函数y=0.3、单调递减得

0.3°3<0.3°-2，所以0.2°3<O,302.所以该选项正确.

故选：BCD

1—x

12.关于函数/(x)=lg——，下列命题正确的是()

1+x

A.对于任意XG(-1,1),都有/(X)+/(-X)=0；

B./(X)在(-1,1)上是增函数；

C.对于任意再,马都有/区)+/(》2)=/(：'+')：

1+再工2

D./?(x)=/(x)-x存在唯一的零点.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算、零点等知识确定正确答案.

1y

【详解】A选项，—>0,(x-l)(x+1)<0,-1<x<1,所以/(x)的定义域是(—1,1),

/(-x)=lg|i^=lg1-xI=—1g宗=—f(x),所以/(x)+/(—x)=0,所以A选项正确.

1-x1+x

1

B选项，/(0)=lgl=0,/(；)=lg-=lg；<0,所以B选项错误.

2

1-Xj1—X2、

c选项，/(xl)+/(x2)=lg^—^-+lg^-^=lg

人]人)玉

LIxI1+l+x27

]

/x+x、11+x,x

12=lg-------->7

(1+玉工2)]I再+%2

1+须々

所以c选项正确.

D选项，/(x)=lg1^=lg(：+\+2=lg(_]+^p),

l+xl+xIx+1)

所以/(x)在(-1,1)上单调递减.

y=x在(-1,1)上单调递增，

所以〃(x)=/(x)-X,在(一1,1)上单调递减,

由于〃(0)=0,所以Mx)=/(x)-x存在唯一的零点，D选项正确.

故选：ACD

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

S1-1

13.计算1g；+21g2—(攵嘀4+83=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用指数基和对数的运算性质化简即可得到结果.

51_±5--।5)1-5

[详解]lg-+21g2-(-),O8l4+83=lg-+lg22-3-1O814+(23)J=lg-x4--+2-2=l.

23212/4

故答案为：1.

sin(一3兀+a)+cos(a—兀)

14.已知1@11(5兀+。)=2,则cosfa-^Lsin的值为.

I2}

【答案】3

【解析】

sin(一3兀+a)+cos(a-兀)tana+1

【分析】利用诱导公式得tana=2,对原式化简得tana-1，代入数

据即可.

【详解】因为1211(5兀+<?)=1211&=2,

sin(-371+a)+cos(a-7t)sin(兀+a)+cos(兀一a)一sina-cosa

所以cosf«-^Lsin'Tt\.(Tl一sina+cosa

cosa+—+sin—+a

I2JI2j(2.

sina+cosatana+10

=---------------=-----------=3.

sina-cosatana-1

故答案为：3.

15.函数/(x)=logcoslV2sinx-1的增区间为.

jr5兀1

【答案】2左兀+—,2%兀+—(A:6Z)

.26)

【解析】

【详解】根据对数函数的定义，结合复合函数的单调性进行求解即可.

【点睛】因为/(x)=log8s"是减函数，

TT3兀

2kn+—<x<24兀H----(A£Z)

22''时，函数单调递增，

I2sinx-1>0

…兀…3兀

2kn+—<x<2/ai+——

2Z兀+—<x<2kli+—(Z;GZ)

由《2222〃(ZreZk)

…兀…3兀

2sinx-l>02^71H---<X<2/cJtH-----

66

7T3冗

2E+—<x<2hr+—(左£Z),

26

兀5711/、

故答案为：2kn+二,2/CTI十(%GZ)

L26；

16.已知/(x)=lgx,a>0,b>0,若=则，+上+更华的最小值是_____.

a'bab-a+b

【答案】8

【解析】

【分析】先通过已知条件与对数函数性质得出“，b美系ab=\,再通过已知得出a+b>0,化简

+工+粤得到a+h+一与,再通过基本不等式求解即可得出答案.

ababa+ba+b

【详解】Q/(x)=lgx,若|/(砂=|/(时,

：.b=—,即=1,

a

•/a>0,b>0,

，Q+6>0

11I6ahLL生=*+苴…28

crbab2a+h61ba+baha+ba+b

当且仅当a+6=*-时取等号,

a+b

1116ab

———|-H------------的最小值是8.

a2bah2a+h

故答案为：8

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知p：函数/)=(a-m)*在R上单调递减，q：关于x的方程/-2“+°2-1=0的两根都大于

1.

(1)当加=5时，p是真命题，求a的取值范围；

(2)若p为真命题是g为真命题的充分不必要条件，求加的取值范围.

【答案】(1)(5,6)；(2)m22.

【解析】

【分析】(1)由机=5,得到.危)=(a-5)，再根据指数函数的单调性求解；

(2)先根据命题为真，化简命题p,q,然后根据p为真命题是《为真命题的充分不必要条件求解.

【详解】(1)因为"7=5,所以/(x)=(a-5)X

因为p是真命题，

所以0<。-5<1,

解得5Va<6.

故。的取值范围是(5,6)

(2)若p是真命题，则解得,"VaVm+l.

关于x的方程x2-2ax+a2-1=0的两根分别为a-1和a+1.

若q是真命题，则解得。>2.

因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件,

所以加22.

18.已知函数“X)=厂++1(a>0)为奇函数,且方程〃X)=2有且仅有一个实根.

ax

(1)求函数/(X)的解析式：

(2)设函数g(x)=ln/(e)求证：函数y=g(x)为偶函数.

J+1

【答案】(1)/(》)=二士；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】⑴由函数/,(X)为奇函数可得人值，再由方程/(x)=2有唯一实根即可得解；

(2)利用(1)的结论求出g(x)的解析式并求出其定义域，再由奇偶函数定义讨论即得.

【详解】⑴因函数/(御=£+”+1为奇函数,则/(力=一/(力，

ax

即j2+bx+]=_(r)：b(：x)+l,化简得2乐=0,得6=0,

axa[-x)

r2,i2,i

且方程/(x)=2有且仅有一个实根，得=1=2,即/_2如+1=0,

axax

所以(-4a『-4x4=0,得/=],而。〉0,解得a=l,即有/(力=二±!,

所以函数/(x)的解析式为/(x)=二3；

2.x.1

(2)由(1)知g(x)=Inf\ex)=ln()=In(由+e~r)>g(x)的定义域为R，

则g(一力=ln(e"+e")=g(x),

所以函数V=g(x)为偶函数.

19.已知函数/(x)=log“(x—1)+2(a>0,且aHl),过点(3,3).

(1)求实数。的值；

⑵解关于x的不等式/(2、-3)</(12-2x+l).

【答案】⑴2(2){x\2<x<log25}

【解析】

【分析】

(1)将点(3,3)代入函数计算得到答案.

(2)根据函数的单调性和定义域得到1<2"-3<12-2向，解得答案.

【详解】(1)/(3)=log„(3-1)+2=3,.1.log„2=1,.1.a=2.-./(x)=log2(x-l)+2.

(2)•••/(x)=log2(x—1)+2的定义域为{x|x>l},并在其定义域内单调递增，

v+lvX+1

."(2、-3)</(12-2),.-.l<2-3<12-2,不等式的解集为{x\2<x<log25).

【点睛】本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

20.设函数/(x)=4sin(2x+8)[z>0,0<e<、],函数/(x)的最小值为一2,且x=g为函数

/(x)的一个零点.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

JT

(2)若对任意的xe0,-,不等式/(x)〉加一3恒成立，求实数加的取值范围.

5万冗

【答案】(1)一瓦"+1肛五+无)(%GZ)

(2)(-00,4)

【解析】

【分析】(1)利用最小值和零点可求得/(x)的解析式，令一5+2版+2版'(ZeZ),解

不等式即可求得单调递增区间；

(2)利用正弦型函数值域的求法可求得/(x)在0,-上的最小值，由加-3</(x)min可求得”的取

值范围.

【小问1详解】

•・./(虫「4=一2,.“=2：

,.•x=?为/（x）的一个零点，.•.吾+夕=左万（左eZ）,解得：；.0=左万一号（左eZ）,

L八兀，・(+。)

又o<°<5，：.（p=9•./(x)=2sin2x

3

令一工+2左乃421+2〈工+2左乃（左EZ）,解得：一包+人乃<x<2+左力•（左eZ）,

57r7C

\/（X）的单调递增区间为一五+左肛五+左乃（左eZ）.

【小问2详解】

,c兀71、c兀71兀5兀.(7711\

当xw0,一时，2x4—6-,—,sin2x—w小［1,2］；

4336I3J

・•,对任意的xe0,—,/(x)>zn—3恒成立，.♦.m—3</(x)mm=l，解得：加<4；

即实数用的取值范围为（-8,4）.

21.兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州（途经站点如图所示）.这条“客货共用”铁路是开发沿

线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山

海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史.目前，江西兴国至清流段已于2021年9月底开

通运营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通车.预期该路线通车后，列车的发车时间间

隔f（单位：分钟）满足24/M20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔/相关，当

10W/W20时列车为满载状态，载客量为720人；当2<t<10时，载客量会减少，减少的人数与

（12-。的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人.记列车载客量为夕。）.

兴泉铁路线路图：

江西

宇都县福建

兴国县,•、石城县明溪县三明市

，/:清曙界.二;力兴泉铁路

于郊县永安市'、、、、&县

’、、、德化县

永春县.

安溪县V雪

泉州市

（1）求的表达式;

（2）若该线路每分钟的净收益为0（/）=2。（/）-360-60（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每

分钟的净收益最大，并求出最大值.

-4/2+96Z+144,2</<10

【答案】(1)"(7)=<

720,10<Z<20

(2)时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元

【分析】(1)当lOWf<20时，p")=720,当2Wf<10时，可设p(f)=720-叔12-抒，由题可求出〃

,即可得到答案.

72

132-8/--,2</<10

(2)由(1)知：。(。=<1Aon’,结合基本不等式和函数单调性即可求出的净收益

^-60,10</<20

最大值.

【小问1详解】

由题知，当10W/<20时，0。)=720

当2口<10时，可设°。)=720-左(12T

又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人,

p(3)=720/(12-3)2=3%,解得攵=4.

此时p(f)=720-4x(12-/)?=-4/+96.+144,2</<10

-4r2+96?+144,2</<10

p(t)=­

720,10<f<20

【小问2详解】

72

132—8/----,2£Z<10

由(1)知：。(。=,

-^-60,10</<20

,.•2Wf<10时，4132-2做—=84,当且仅当尸3等号成立,

...2Wf<10时，。⑺1ra-33)=84,

当104Y20上,。⑴单调递减,则。⑺M=0(10)=48,

综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元.

22.己知函数/(%)=刀2+3,一4(4€火).

⑴若〃X）在上的最大值和最小值分别记为M（a）,加⑷,求“⑷一加（。）；

（2）设beR,若|/（x）+q