中考数学二轮复习考点培优专练专题七 与三角形有关常用几何模型（原卷版）

专题七与三角形有关常用几何模型一、角平分线模型例题1如图，SKIPIF1<0ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断SKIPIF1<0BEG的形状，并说明理由．练习题1．已知：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，且SKIPIF1<0．（1）如图1，求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，SKIPIF1<0，点E在SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交CA的延长线于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．①求证：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．2．在SKIPIF1<0中，BE，CD为SKIPIF1<0的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0．①如图1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求CE的长；②如图2，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小．3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝SKIPIF1<0CD．4．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为．（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．6．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．7．已知：如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别平分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，点E在SKIPIF1<0上．用等式表示线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三者之间的数量关系，并证明．8．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，延长SKIPIF1<0至点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0的度数．9．在平面直角坐标系中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作SKIPIF1<0交y轴于点E．（1）如图SKIPIF1<0，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；（2）如图SKIPIF1<0，若点C在x轴正半轴上运动，且SKIPIF1<0，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分SKIPIF1<0（3）若点C在x轴正半轴上运动，当SKIPIF1<0时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明．10．四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．（1）如图1，若SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．（2）如图2，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．（3）如图3，在（2）的条件下，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长度．二、一线三等角模型例题2（1）课本习题回放：“如图①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的长”，请直接写出此题答案：SKIPIF1<0的长为________．（2）探索证明：如图②，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内部的射线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．（3）拓展应用：如图③，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的面积为15，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）练习题1．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．4 D．SKIPIF1<02．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方是（

）．A．SKIPIF1<0cm2 B．SKIPIF1<0cm2 C．SKIPIF1<0cm2 D．SKIPIF1<0cm23．【问题解决】（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．4．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．5．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E．学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明．6．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且SKIPIF1<0．①求证：SKIPIF1<0；②当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当SKIPIF1<0为等腰三角形时，请直接写出BP的长．7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE＝AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．8．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（1）如图①所示，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．（2）如图②所示，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是否成立？请说明理由．9．问题背景：（1）如图①，已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线m经过点A，SKIPIF1<0直线m，SKIPIF1<0直线m，垂足分别为点D，E，易证：SKIPIF1<0______+______．（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D，A，E三点都在直线m上，并且有SKIPIF1<0，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图③，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点C的坐标为SKIPIF1<0，点A的坐标为SKIPIF1<0，请直接写出B点的坐标．10．探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是．拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出△DEF的形状是．三、手拉手模型例题3如图，在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为邻边作SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合时（图1），易得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的数量关系________；(2)若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的数量关系，并证明你的结论；(3)若SKIPIF1<0为任意角度，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转一周（图4），当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，请直接写出SKIPIF1<0的长度．练习题1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BCSKIPIF1<0，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接BC'，BC'的延长线交AB'于点D，则BD的长为_____．2．已知，如图，等腰∆ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一点，且AD＝6，E为AC边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形DEF．（1）当F在AC边上时，AF长为______；（2）连结BF，则BF的取值范围为______．3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：FA平分∠BFE．4．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．5．【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．(1)【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3SKIPIF1<0，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形．(2)【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______．(3)如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．(4)【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长．6．如图，已知点P在矩形ABCD外，∠APB＝90°，PA＝PB，点E、F分别在AD、BC上运动，且∠EPF＝45°，连接EF．(1)求证：△APE∽△BFP；(2)若△PEF是等腰直角三角形，求SKIPIF1<0的值；(3)试探究线段AE、BF、EF之间满足的等量关系，并证明你的结论．7．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN．（1）如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．（2）当△ADE绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立，请就图2情况给出证明；若不成立，请说明理由．（3）当AC＝8时，在△ADE绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．8．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．（1）如图1，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0_______°；（2）当SKIPIF1<0时，①如图2，连接AD，判断SKIPIF1<0的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足SKIPIF1<0．P为直线CF上一动点．当SKIPIF1<0的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．9．如图，SKIPIF1<0为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．(1)如图1，若AB＝2SKIPIF1<0+2，∠ABD＝45°，求SKIPIF1<0的面积；(2)如图2，过点M作SKIPIF1<0与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；(3)如图3，在（2）的条件下，将SKIPIF1<0沿AM翻折得SKIPIF1<0，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出SKIPIF1<0的值．

10．【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】(1)如图1，对余四边形中，AB=5，BC=6，CD=4，连接AC，若AC=AB，则cos∠ABC=___________，sin∠CAD=__________．(2)如图2，凸四边形中，AD=BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．【拓展提升】(3)在平面直角坐标中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC=90°+∠ABC．设SKIPIF1<0=u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围____________________________．四、旋转模型例题4【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．（1）如图①，当α＝60°时，线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角．【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：（3）如图③，四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝SKIPIF1<0，求AD的长．练习题1．如图，等边SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0是等边三角形；（2）将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），设直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0．①如图，当SKIPIF1<0时，判断SKIPIF1<0的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线时，求SKIPIF1<0的长．2．如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．（1）观察猜想：图1中，线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：把SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针方向旋转到图2的位置，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0在平面内自由旋转，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请直接写出SKIPIF1<0面积的最大值．3．在SKIPIF1<0ABC和SKIPIF1<0CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，点D在边AC上，点E在边BC上，如图1将SKIPIF1<0CDE绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°）．（1）连接AD，BE．求证：AD＝BE，AD⊥BE；（2）当旋转至图2位置时，点A，D，E在一条直线上，连接BD，BE，若AD＝2SKIPIF1<0，CD＝1，则BD=；（3）当α＝90°时，如图3，连接AD，BE，延长AD交BE于点F，连接CF，若DF＝1．EF＝SKIPIF1<0．则CF＝．4．如图，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D是SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0绕点A逆时针旋转90°，得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点M．（1）如图1，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长；（2）如图2，若SKIPIF1<0，点N为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；（3）如图3，若SKIPIF1<0，点D为直线SKIPIF1<0上一动点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点M，当SKIPIF1<0为等腰三角形时，请直接写出此时SKIPIF1<0的度数．5．综合与实践问题情境：一次数学课上，老师出示了课本中的一道复习题：如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等边三角形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．初步探究：（1）试判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由；（2）求证：四边形SKIPIF1<0是平行四边形；深入探究：（3）如图2，四边形SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0都是正方形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，试判断四边形SKIPIF1<0的形状，并说明理由；拓展延伸：（4）如图3，四边形SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0都是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，若四边形SKIPIF1<0是平行四边形，请直接写出SKIPIF1<0的长．6．在SKIPIF1<0ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作SKIPIF1<0ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①如图2，当点在线段BC上移动，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．7．如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC（1）试探索线段BC，DC，EC之间满足的等量关系，并证明你的结论．（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．8．如图1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0，并用含SKIPIF1<0的式子表示SKIPIF1<0的度数；（2）当SKIPIF1<0时，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点分别为点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图2，判断SKIPIF1<0的形状，并加以证明．9．（1）如图①，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．请直接写出线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系：__________；（2）如图②，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线上的点，且SKIPIF1<0．请画出图形（除图②外），并直接写出线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系．10．四边形SKIPIF1<0是由等边SKIPIF1<0和顶角为SKIPIF1<0的等腰SKIPIF1<0排成，将一个SKIPIF1<0角顶点放在SKIPIF1<0处，将SKIPIF1<0角绕SKIPIF1<0点旋转，该SKIPIF1<0交两边分别交直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，交直线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点．（1）当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都在线段SKIPIF1<0上时（如图1），请证明：SKIPIF1<0；（2）当点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0的延长线上时（如图2），请你写出线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请直接写出SKIPIF1<0的长为．五、相似子母图模型例题5如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．练习题1．如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时SKIPIF1<0QBP与SKIPIF1<0ABC相似？2．如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）求证：△ACD∽△ABE；（2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由．3．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且SKIPIF1<0，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求SKIPIF1<0的值．4．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）求证：SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，⊙O的半径为3，求OA的长．5．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于点F，且有SKIPIF1<0，过F点作SKIPIF1<0于点H．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求证：SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．6．如图，已知矩形SKIPIF1<0的两条对角线相交于点O，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．7．如图：在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点Р以SKIPIF1<0的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以SKIPIF1<0的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0______m，SKIPIF1<0______m，SKIPIF1<0_____m（用含t的代数式表示）（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似？（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与SKIPIF1<0CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．8．如图1，四边形SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0．延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0时，①求SKIPIF1<0的长度．②如图2，作SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．9．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为母子三角形，则SKIPIF1<0的值可能为（

）A．2

B．SKIPIF1<0

C．2或SKIPIF1<0（2）已知：如图1，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为母子三角形．（3）如图2，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是中线，过射线SKIPIF1<0上点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0与射线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互为母子三角形．求SKIPIF1<0的值．

10．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上一点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．（1）如图SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，求SKIPIF1<0的长．（2）如图SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的函数关系式，并写出它的定义域．（3）连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似时，求线段SKIPIF1<0的长．六、旋转相似模型例题6如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，SKIPIF1<0，点M、N分别在直线BC、DC上．（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为；（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求EF的长．练习题1．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，SKIPIF1<0．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．2．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M．(1)判断△APF的形状，并说明理由；(2)连接EF，求EF:PM的值．3．（1）【问题发现】：如图1在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E与点A重合，易知△ACF∽△BCE．线段BE与AF有怎样的数量关系？请直接写出．（2）【拓展研究】：在（1）的条件下，将正方形CDEF绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF．请猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；（3）【结论运用】：在（1）（2）的条件下，若△ABC的面积为8时，当正方形CDEF旋转到B、E、F点共线时，请直接写出线段AF的长．4．如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是有公共顶点直角三角形，SKIPIF1<0，点P为射线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交点．（1）如图1，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等腰直角三角形，求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，若SKIPIF1<0，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件下，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若把SKIPIF1<0绕点A旋转，当SKIPIF1<0时，请直接写出SKIPIF1<0的长度5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝SKIPIF1<0，请直接写出点D到CP的距离．6．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点E在SKIPIF1<0的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且SKIPIF1<0．【观察猜想】（1）如图①，当SKIPIF1<0时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．【探究证明】（2）如图②，当SKIPIF1<0时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若SKIPIF1<0，请直接写出SKIPIF1<0的面积．7．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形SKIPIF1<0绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到SKIPIF1<0吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形SKIPIF1<0和菱形SKIPIF1<0，将菱形SKIPIF1<0绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小满足怎样的关系时，SKIPIF1<0；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（如图3），连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．试求SKIPIF1<0的值（用a，b表示）．8．数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作．（1）如图1摆放，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，得知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．（2）如图2，在（1）的条件下，连结SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．（3）如图3摆放，把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板SKIPIF1<0绕着点SKIPIF1<0旋转，连结SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值．（4）SKIPIF1<0不变，当SKIPIF1<0的三边长扩大一倍后，绕点SKIPIF1<0旋转一周，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，请你直接写出点SKIPIF1<0所经过的运动路径．9．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．观察猜想：（1）如图1，当α＝60°时，SKIPIF1<0的值为，直线CD与AP所成的较小角的度数为°；类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出SKIPIF1<0的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H.若CD＝2＋SKIPIF1<0，求BD的长．10．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上任意一点，连接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为边作等边SKIPIF1<0，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；（2）变式探究：如图2，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上任意一点，以SKIPIF1<0为腰作等腰SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上一点，以SKIPIF1<0为边作正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的中心，连接SKIPIF1<0．若正方形SKIPIF1<0的边长为5，SKIPIF1<0，求正方形SKIPIF1<0的边长．七、K字型相似例题7已知正方形SKIPIF1<0的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延长线交于点E、F，连接SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0．（1）如图1，当SKIPIF1<0被对角线SKIPIF1<0平分时，求a、b的值；（2）当SKIPIF1<0是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索SKIPIF1<0绕点A旋转的过程中，SKIPIF1<0的面积是否发生变化？请说明理由．练习题1．在矩形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上一点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠，使点SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0边上的点SKIPIF1<0处．（1）如图1，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）如图2，在线段SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．2．如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在同一直线上时，求SKIPIF1<0的值．3．某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中SKIPIF1<0，如图1，进行了如下操作：第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；第二步，分别以点E，F为圆心，大于SKIPIF1<0EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．②当SKIPIF1<0时，连接DG，请直接写出SKIPIF1<0___；(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当