2023-2024学年福建省普通高中高二学业水平合格性考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年福建省普通高中高二学业水平合格性考试数学模拟试题

参考公式:

样本数据为，L,乙的标准差

V=-Sh

2锥体体积公式3,

S+∙∙∙+(x,,-x)]

其中S为底面面积，刀为高

其中嚏为样本平均数

球的表面积公式S=44笈，

柱体体积公式％=SA,其中S为底面面积，h为高

4

V=-πRi

V=-(S'+4S7S+S)h球的体积公式3,

台体体积公式3'>

其中R为球的半径

其中S',S分别为上、下底面面积，h为高

第I卷（选择题57分）

一、单项选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若集合"={LZ3},B={2,3,4},则Nn6=（）

A.{1}2,3}B.{1,2,3,4}C.{2,3,4}D.{253}

【正确答案】D

【分析】根据给定的条件，利用交集的定义求解作答.

【详解】集合4={1,2,3},8={2,3,4},则∕c8={2,3}.

故选：D

2.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，那么，下列各角与380。角终边

相同的是（）

A.20oB.30oC.40oD.50°

【正确答案】A

【分析】利用终边相同的角的集合逐一对各个选项分析判断即可求出结果.

【详解】因为与380。角终边相同的角的集合为{0P=38O°+h36O°,左eZ},当左=—1时，得到

0=20。,又keZ,所以易知BCD均不符合题意.

故选：A.

3.函数/(x)=In(X—2)的定义域是()

A.(0,2)B,(2,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,2)

【正确答案】B

【分析】解x—2>0,即可得出函数的定义域.

【详解】解x—2>0,可得x>2,

所以，函数/(x)=In(X-2)的定义域是(2,+8).

故选：B.

4.函数/(x)=2'+x-7的零点所在的区间是()

A(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【正确答案】C

【分析】由函数可得/(2)∙∕(3)<0,再利用函数的零点的判定定理可得函数/(x)=2*+χ-7的零点所

在的区间.

【详解】：函数/(x)=2*+x-7,.∙.∕(2)=-KO,/(3)=4>0,/(2)∙f(3)<0,根据函数的零点

的判定定理可得，

函数/(x)=2*+χ-7的零点所在的区间是(2,3),

故选C.

本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题.

5.计算ln3+ln1=()

3

A.-1B.0C.2D.3

【正确答案】B

【分析】利用对数的运算法则即可求出结果.

【详解】因为In3+ln'=ln3+ln3τ=In3-ln3=0,

3

故选：B.

4

6.已知x〉0,则x+-的最小值为()

X

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】C

【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.

444

【详解】因为χ>0,所以x+222jx∙2=4，当且仅当X=一时，即x=2时，等号成立,

XNXX

4

所以χ+2的最小值为2.

X

故选：C.

7.下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是()

1-1_

A.a=(1,2),b=(0,0)B.a=(1,2),⅛=(-1,-2)

J∙一、1→

C.a-(1,2),⅛=(5,10)D.a-(1,2),6=(-1,2)

【正确答案】D

【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.

【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，

A.向量很是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A错误；

B.Q=-B,两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B错误；

C.B=5万，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C错误；

D.不存在实数/1,使B=府,所以向量口行不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D正确.

故选：D

8.AZ8C的内角A、B、。所对的边分别为。、b、c,且α=Jj,/=60"，C=45°,则边C的值为

()

A.1B.√2C.√3D.2

【正确答案】B

【分析】利用正弦定理可求得边C的长.

/7V2

caαsinC心XF

1

【详解】因为a=G，/=60°，C=45°,由正弦定理^—=——，可得c=-ʒ=—r^-=√2.

smCSinJsɪnA√3

T

故选：B.

9.甲、乙两人进行投篮比赛，他们每次投中的概率分别为0.5,0.6,且他们是否投中互不影响.若甲、

乙各投篮一次，则两人都投中的概率为()

A.0.2B.0.3C.0.4D.1.1

【正确答案】B

【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解.

【详解】设甲投中为事件A,乙投中为事件5,两事件相互独立,

所以P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.

故选：B

10.为了得到y=Sin(X+,)，XeH的图象，只需把曲线y=sinx上所有的点

3

1

A.向左平行移动π/个单位长度B.向左平行移动一个单位长度

33

C.向右平行移动£4个单位长度D.向右平行移动一1个单位长度

33

【正确答案】B

【详解】需把曲线y=sinx上所有的点向左平行移动■!■个单位长度,得到y=Sin(X+'),xwA的图象.

33

故选B.

11.不等式X(X-2)>0的解集为()

A.{x∣x<-2或x>0}.B.{x∣x<0或x>2}.

C.{x∣0<x<2}D.{x∣-2<x<0}

【正确答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】不等式X(X-2)>0,解得：χ>2或x<0,

所以不等式的解集为{x∣x<0或X>2}.

故选：B

12.设a=#，6=2；，c=bgj,则“，h,C的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.b>c>a

【正确答案】A

2

【分析】根据指数幕以及对数的运算性质，可得c=-log32,进而根据指数函数以及对数函数

的性质，即可得出答案.

【详解】因为"4：>>2匕>0,C=嗔2=-32<。,

所以，a>b>c.

故选：A.

13.函数y=2凶的图象大致是()

【分析】设/(x)=2H,根据解析式得出函数的奇偶性以及单调性，即可得出答案.

【详解】设/(x)=2同，则/(-x)=2T=/(x),所以/(x)为偶函数，所以A、B项错误.

又当XNO时，/(x)=2'为增函数，所以C项错误，故D项正确.

故选：D.

14.”是“α>b”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果.

【详解】若α∣c∣>"d,则4dd=(α—创。|〉0,又因为ICIz0,所以"b〉o,即α>z>,

若a>b,因为H≥O,当C=O时，4d>"d不成立，

所以“。目>Ud”是“α>6”的充分不必要条件.

故选：A.

15.某学校新建的天文观测台可看作一个球体，其半径为3m.现要在观测台的表面涂一层防水漆，若每

平方米需用0∙5kg涂料，则共需要涂料(单位：kg)()

A.1.5πB.4.5πC.6πD.18π

【正确答案】D

【分析】先利用球的表面积公式求出表面积，再根据条件即可求出结果.

【详解】因为r=3,所以球的表面积为S=4π∕?2=36π>又每平方米需用0∙5kg涂料，所以共需

36π×0.5=18πkg涂料.

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得O分.

16.下列函数中，是偶函数的有()

2x

A.y=x+∖B.y=Iog2ɪC.y=2D.y=cosr

【正确答案】AD

【分析】先求出函数的定义域，然后将一X代入，结合偶函数的性质，即可得出答案.

【详解】对于A项，设/(x)=f+l,函数/(X)定义域为R,且∕∙(-χ)=χ2+l=∕(χ),

所以函数y=f+l为偶函数，故A正确；

对于B项，因为函数y=log2%的定义域为(。,+8),不关于原点对称，

所以函数y=10g2X为非奇非偶函数，故B错误；

对于C项，设g(x)=2*,函数g(x)定义域为R,但g(-x)=2-*≠2',

所以函数＞=2、不是偶函数，故C错误；

对于D项，设〃(X)=COSA-,函数A(x)定义域为R,

且/z(—x)=COS(―X)=CoSX=〃(x),所以函数V=COSX为偶函数，故D正确.

故选：AD.

17.袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球.现从中随机摸取2个球，下列结论正

确的有()

A.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件

B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件

C.“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件

D.“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件

【正确答案】BC

【分析】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为。={0,1,2}.将事件用集合表示出来，即可得出答案.

【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为Q={0,1,2}.

对于A项，

“恰有一个红球”可用4={1}来表示，“都是红球”可用事件8={0}来表示.

所以，事件48互斥，但48不是对立事件，故A项错误；

对于B项，

“恰有一个黑球"可用力={1}来表示，“都是黑球”可用事件C={2}来表示.

所以事件4。互斥，故B项正确；

对于C项，

“至少有一个黑球”可用事件。={1,2}来表示，“都是红球”可用事件8={0}来表示.

所以，事件6,。为互斥事件，也是对立事件，故C项正确；

对于D项，

“至少有一个红球，，可用事件E={O,"来表示，“都是红球”可用事件8={0}来表示.

所以，事件8∏E={0},即交事件为“都是红球”，故D项错误.

故选：BC.

18.如图，在长方体ZBCQ-ClA中，AB=BC,下列命题正确的有（）

DiC1

A.AxBLCCx

B.A∣B∕∕B[C

C.平面46。，平面441CC

D.平面平面CAA

【正确答案】CD

【分析】根据长方体的性质推得44∣∕/CG，即可判断A项；根据长方体的性质推得四边形。CB/是平

行四边形，得出4。//与。，即可判断B项；根据长方体的性质以及线面垂直的判定定理，可得出8。工

平面44GC,即可得出C项；根据长方体的性质以及线面平行的判定定理，可得出4。//平面C8∣R,

BD//平面CBQ∣,然后即可判定面面平行，得出D项.

【详解】对于A项，由长方体的性质可知44∣"CG.

又44∣,4B不垂直，所以Ce不垂直，故A错误；

对于B项，由长方体的性质可知44〃C。，A1B1=CD,

所以，四边形。C44是平行四边形，

所以，4∣D∕∕B∖C.

因为4。不平行，所以4S,4。不平行，故B错误；

对于C项，因为/8=8。，根据长方体的性质可知Z5C。是正方形，

所以，BDlAC.

根据长方体的性质可知，CG，平面ZBCO,6。U平面/8C。，

所以，CCiIBD.

因为ZCU平面44jC∣C,CClU平面44∣C∣C,ZCnCG=C,

所以，8。人平面Z4GC.

因为8。U平面4成)，所以平面，平面44ClC,故C项正确；

对于D项，由B知，A]D∕/BlC.

因为8∣Cu平面C8Q],ZQZ平面C8Q∣,所以4。//平面C8Q∣.

根据长方体的性质可知，BBJ∕DD∣,且BBl=DDI，

所以，四边形£>88Ql为平行四边形，所以B∣D∣∕∕BD.

因为4。U平面C3Q∣,60(χ平面C8Q∣,所以80//平面CA

因为NQu平面4区0,60U平面4即，AlDCBD=D,

所以平面48。//平面C8∣°,故D项正确.

故选：CD.

19.某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有()

2兀

B.该简谐运动的初相是‘

5

C.该简谐运动往复运动一次需要2s

D.该简谐运动IOOS往复运动25次

【正确答案】ABD

【分析】结合简谐运动在一个周期内的图象可判断A；设该函数解析式为

/(x)=/SinWX+¢)(/>0,/>0),由简谐运动在一个周期内的图象可得3，把点(2.2,-3)代入解析

(7ΓA

式可得一3=3Sin-X2.2+e,可判断BCD.

127

【详解】对于A,由简谐运动在一个周期内的图象可得该简谐运动的振幅是3cm,故A正确;

对于B,设该函数解析式为/(x)=NSin(ox+*)(N>0,<υ>0),

由简谐运动在一个周期内的图象可得1T=3.2-L2=2,可得4T=3.2-1.2=Lχ空，所以

2ω22ω

T=4,69=9，所以/(x)=3Sin]x+9

2

因为把点(2.2,—3)代入解析式可得一3二3SinlX2.2+/

所以1.1兀+夕=一]+2kτt(k∈Z),所以夕=一1.6兀+2E(左∈Z),

2兀

若e=—1.6ττ+2Λπ=y~,则％=1,故B正确；

对于C,由B可知T=4s,故C错误；

对于D,该简谐运动IOOS往复运动100÷4=25次，故D正确.

故选：ABD.

第II卷(非选择题43分)

(请考生在答题卡上作答)

三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.

20.已知i为虚数单位，计算i(l-i)=.

【正确答案】l+i##i+l

【分析】根据复数的乘法运算，计算即可得出答案.

【详解】因为i(l—i)=i—i2=l+i.

故答案为.1+i

]+X2X≤0

21.已知函数/(x)=<'一，贝∣J∕(∕(T))=_______.

Iog2x,x>0

【正确答案】1

【分析】根据分段函数的表达式由内向外计算即可.

【详解】∕∙(-l)=l+l=2,/(2)=log22=l,

“(/(T))=L

故1.

22.已知向量£=(1,0),⅛=(1,√3),且Z与B的夹角为。，贝IJCoSe=

【正确答案】-##0.5

2

【分析】先求向量Z与B的数量积及Z和B的模，再利用向量夹角公式即得.

【详解】向量7=(1,0),B=(L百)，

所以4%=lχl+0χ百=1，H=1，：=2，

a∙b11

则COSZel-I，=-~,

Lz∙⅛1×22

故一.

2

23.已知定义在R上的函数f(x)同时满足下列两个条件:

∕⅛)-∕(⅞)

①VX1,%,∈R,/(X∣+X2)=/(X,)∕(X2);②VX∣,々eR，<Q

试给出函数/(X)的一个解析式：f(x)=

【正确答案】0.5"(答案不唯一)

【分析】根据已知结合指数函数的性质，即可得出答案.

【详解】根据指数函数的性质=d1/2,可知指数函数满足①；

由②可知，函数为单调递减函数.

所以可取/(x)=∕(0<α<l),即可满足.

故答案为.0.5'

四、解答题：本题共3小题，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

24.已知α为第一象限角，且CoSa=I.

(1)求Sina的值；

(2)求tan(π-2α)的值.

4

【正确答案】(1)-

5

【分析】(1)根据条件，利用平方关系即可求出结果;

4

（2）先利用（1）中结论求出tana=一,再利用诱导公式和正切的二倍角公式即可求出结果.

3

【小问1详解】

因为a为第一象限角，且COSa=g,所以Sina=JI-CoS=4

5

【小问2详解】

8

-

3

,4一/c、C2tan6z24

-一

由(1)知tana=一、又tan(π-2a)=一tan2α=--------7

16

3l-tan√z9一

25.如图，三棱锥力-BCO中，E，F分别是/C,6。的中点.

（1）求证：EF//平面ABD；

（2）若ADJ.BD，ZD=3,60=4,AC=5,BC=班'NCBD=30。,求三棱锥Z—8C0的体

积.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵4√3

【分析】（1）分别取/0,8。的中点为G,//,连结GE,G","/.可证明四边形G"FE为平行四边形,

EFHGH,然后即可根据线面平行的判定定理得出证明；

（2）在ABCO中，根据余弦定理求得CD=4.进而在△//）C中，根据勾股定理得出_LCD.结合已

知条件，根据线面垂直的判定定理即可得出/0，平面8CO.根据面积公式求出C。的面积，即可根

据棱锥的体积公式得出答案.

【小问1详解】

如图，分别取力。,8。的中点为G,〃，连结GE,GH,HF.

因为E/,G,〃分别为/C,6C,80的中点，

所以，GE//CD,且GE=,。。，HF//CD,HF=-CD,

22

所以GE//HF,且GE=HF.

所以，四边形G"EE为平行四边形，

所以，EFHGH.

因为G"1平面ABD,EF<Z平面ABD,

所以，EF//平面4BD.

【小问2详解】

由已知可得，在ABCO中，有80=4,BC=4∖β,NC5。=30。，

根据余弦定理可知，CD1=BD2+BC2-2BD×BDcosNCBD=42+（4√3）2-2×4×4√3=16-

所以，CO=4.

在ANOC中，有=9+16=25=/。2,

所以，ZADC=90o,ADlCD.

因为4D上BD，CDU平面8CO,BDU平面BC