高中数学人教A版选修2-1测评第一章常用逻辑用语测评

第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:∀x>0,x+1x≥2,那么命题p为(A.∀x>0,x+1x<2 B.∀x≤0,x+1xC.∃x0>0,x0+1x0<2 D.∃x0≤0,x0+1解析全称命题的否定是特称命题,要前改量词,后面否定结论,故选C.答案C2.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A.逆命题 B.否命题C.逆否命题 D.无关命题答案A3.已知命题p:若m>0,则函数y=log2x+m(x≥1)没有零点,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析原命题p为真命题,故其逆否命题为真命题;命题p的逆命题为真命题,故其否命题也为真命题,因此假命题个数为0.答案A4.已知直线l1:x+ay+1=0,直线l2:ax+y+2=0,则命题“若a=1或a=1,则直线l1与l2平行”的否命题为()A.若a≠1且a≠1,则直线l1与l2不平行B.若a≠1或a≠1,则直线l1与l2不平行C.若a=1或a=1,则直线l1与l2不平行D.若a≠1或a≠1,则直线l1与l2平行解析命题“若A,则B”的否命题为“若A,则B”,显然“a=1或a=1”的否定为“a≠1且a≠1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”.答案A5.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若a+b=0,则a=b,所以a∥b.若a∥b,则a+b=0不一定成立,所以“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.答案A6.已知命题p:∀x∈R,sin(πx)=sinx;命题q:若α>β,则sinα>sinβ,则下列命题是真命题的是()A.p∧(q) B.(p)∧(q)C.(p)∧q D.p∧q解析由已知得p为真命题,q为假命题,所以q是真命题,从而p∧(q)为真命题.答案A7.下列有关命题的说法错误的是()A.“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件B.命题“若x23x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x23x+2≠0”C.若命题p:∃x0∈R,使得x02+x0+1<0,则p:∀x∈R,均有x2+x+1D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题解析对于A,x23x+2=0的解为x=1或x=2,所以“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件,A正确;对于B,命题“若x23x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x23x+2≠0”,B正确;对于C,特称命题的否定为全称命题,C正确;对于D,若p∧q为假命题,则p,q中至少有一个为假命题,D错误.故选D.答案D8.下列命题是真命题的是()A.若x=y,则1B.若f(x)为偶函数,则f(-xC.若a=2b,则|a|=2|b|D.若a>b+1,则a2>b2解析对A,当x=y=0时,1x,1y无意义,故A为假命题.对B,当f(x)=0,x∈R时,f(-x)f(x)无意义,故B为假命题.C为真命题.对D,当a=1,b=3答案C9.在△ABC中,能使sinA>32成立的充分不必要条件是()A.A∈0,π3 B.C.A∈π3,π2 D解析∵在△ABC中,当sinA>32时,π3<A<∴能使sinA>32成立的充分不必要条件是选项C答案C10.“m≥0”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的()A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立⇔Δ≤0⇔m≥1,∵m≥0m≥1,m≥1⇒m≥0,∴“m≥0”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的必要不充分条件.答案C11.已知命题p:函数y=loga(x1)+1的图象恒过定点(2,2);命题q:若函数y=f(x1)为偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列命题为真命题的是()A.p∨q B.p∨(q)C.(p)∧q D.p∧q解析函数y=loga(x1)+1的图象可看作把y=logax的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到,而y=logax的图象恒过(1,0),所以函数y=loga(x1)+1恒过(2,1)点,所以命题p为假命题,则p为真命题;函数f(x1)为偶函数,则其对称轴为x=0,而函数f(x)的图象是把y=f(x1)向左平移了1个单位,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以命题q为假命题,则命题q为真命题.综上可知,四个选项只有命题p∨(q)为真命题.故选B.答案B12.已知函数f(x)=log2x,x≥1,c+x,x<1,则“c=1”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若函数f(x)在R上递增,则需log21≥c+1,即c≤1.由于c=1⇒c≤1,但c≤1c=1,因此“c=1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题p:∃x0∈(0,+∞),x02≤x0+2,则p是答案∀x∈(0,+∞),x2>x+214.已知命题p:若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:函数y=x-3的定义域是[3,+∞),则“p∨q”,“p∧q”,“p”中是真命题的为解析由题意知p是假命题,q是真命题,所以“p∨q”,“p”是真命题.答案p∨q,p15.关于x的方程m2x2(m+1)x+2=0的所有根的和为2的充要条件是.

解析当m=0时,原方程即x=2,满足条件;当m≠0时,m+1m2=2,解得m=1或但当m=1及m=12时,均使Δ=(m+1)28m2<0,故充要条件是m=0答案m=016.下列四个命题:①“∃x0∈R,x02x0+1≤0”②“若x2+x6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>12”的充分不必要条件④“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”.其中真命题的序号是.

解析对于①,因为x2x+1=x122+34>0,所以命题“∃x0∈R,x02x0+1≤0”为假命题,所以命题“∃x0∈R,x02x0+1≤对于②,由x2+x6=(x+3)(x2)≥0,解得x≥2或x≤3,即命题“若x2+x6≥0,则x>2”的逆命题为真命题,所以其否命题为真命题;对于③,例如:A=160°,此时sinA<sin150°=12,所以充分性不成立反之,若sinA>12且0°<A<180°,根据三角函数的性质,可得A>30°,即必要性成立所以在△ABC中,“A>30°”是“sinA>12”的充分不必要条件是假命题对于④,由函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数可得φ=kπ或φ=π2+kπ(k∈Z),所以该命题为假命题答案①②三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)把下列命题作为原命题,分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假.(1)若α=β,则cosα=cosβ;(2)若x2+7x8=0,则x=8或x=1.解(1)逆命题:若cosα=cosβ,则α=β,假命题;否命题:若α≠β,则cosα≠cosβ,假命题;逆否命题:若cosα≠cosβ,则α≠β,真命题.(2)逆命题:若x=8或x=1,则x2+7x8=0,真命题;否命题:若x2+7x8≠0,则x≠8且x≠1,真命题;逆否命题:若x≠8且x≠1,则x2+7x8≠0,真命题.18.(本小题满分12分)设q(x):cos2x=cos(x+π).(1)写出q(π),并判断它是否是真命题;(2)写出“∀x∈R,q(x)”,并判断它是否是真命题.解(1)q(π)为cos2π=cos(π+π),即cos2π=cos2π,是真命题.(2)“∀x∈R,q(x)”为“∀x∈R,cos2x=cos(x+π)”,这是假命题.因为当x=0时,cos2x=cos0=1,cos(0+π)=1,cos2x≠cos(x+π),所以该命题不是真命题.19.(本小题满分12分)已知命题p:∃x0∈R,使得4x02+(a2)x0+14≤0,命题q:a27a+10≤0,若命题p为假,命题q为真,求解因为命题p为假,所以其否定“∀x∈R,4x2+(a2)x+14>0恒成立”为真命题则Δ=(a2)24×4×14=a24a<所以0<a<4,又命题q为真,得2≤a≤5,所以a的取值范围是2,20.(本小题满分12分)已知命题p:∀x∈(0,+∞),12x+m1<0;命题q:∃x0∈(0,+∞),mx02+4x01=0.若“p且q”为真命题,求实数m的取值范围解若命题p是真命题,则12x+m1<0对x>0恒成立,即m1<12x对x>0恒成立,当x>0时,0<12x<1,则1<12x<0,∴m1≤1,即m≤0;若命题q是真命题,则关于x的方程mx2+4x1=0有正实数根,∵x>0,由mx2+4x1=0,得m=1x2-4x=1x224∈[因为“p且q”为真命题,所以p和q都是真命题,故实数m的取值范围是[4,0].21.(本小题满分12分)已知命题p:∀x∈0,π3,tanx≤m,命题q:∃x0∈π2,π,使不等式sin2x0+2cos(1)若q为真命题,求实数m的取值范围;(2)若p和q有且只有一个为真命题,求实数m的取值范围.解(1)∵∃x0∈π2,π,使得sin2x0+2cosx∴∃x0∈π2,π,使得m<sin2x0+2cosx0=cos2x0+2cosx0设y=cos2x+2cosx+1=(cosx1)2+2,x∈π2,π,∴cosx∈[1,0],则ymax=1+2∴当q为真命题时,实数m的取值范围为(∞,1).(2)∵函数f(x)=tanx在0,π3上为增函数,故在0,π3上,f(x)的最大值为∵∀x∈0,π3,tanx≤m,∴m≥f(x)max∴当p为真命题时,m≥3.又p和q有且只有一个为真命题,∴p与q中一真一假,①当p真q假时,m≥3,m≥1,解得m∈[②当q真p假时,m<3,m<1,综上,m的取值范围是(∞,1)∪[3,+∞).22.(本小题满分12分)已知m∈R,命题p:对∀x∈[0,8],不等式log13(x+1)≥m23m恒成立;命题q:对∀x∈(∞,1),不等式2x2+x>2+mx(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若p∧q为假,p∨q为真,求实数m的取值范围.解(1)令f(x)=log13(x+1),则f(x)在(1,+∞)因为x∈[0,8],所以当x=8时,f(x)min=f(8