吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高二上学期（老教材）期末备考卷（A）数学（理）试卷

20202021学年上学期高二期末备考卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“存在，使得”的否定是（）A．对任意，都有 B．不存在，使得C．存在，使得 D．对任意，都有【答案】A【解析】命题“存在，使得”为特称命题，该命题的否定为“对任意，都有”．故选A．2．已知函数，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，．3．经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线的斜率为，倾斜角为，，，由图可知，，所以或．4．若直线（为参数）与直线平行，则常数（）A． B． C． D．【答案】D【解析】直线（为参数）化为普通形式，因为两直线平行，所以，即．5．已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题知，因此，该双曲线的离心率．6．已知函数，则在处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，求导得，∴，又∵，∴在处的切线方程为，即．7．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】抛物线的焦点，准线，连接，，由抛物线定义，∴，当且仅当，，三点共线时，取“”号，∴的最小值为．8．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，动点满足，则动点轨迹与圆位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【解析】设，由，得，整理得，表示圆心为，半径为的圆，圆的圆心为为圆心，为半径的圆，两圆的圆心距为，满足，所以两个圆相交．9．已知，若方程表示圆，则此圆的圆心坐标为（）A． B．C．或 D．不确定【答案】A【解析】∵方程表示圆，∴，解得或．当时，方程化为．配方，得标准式方程，所得圆的圆心坐标为，半径为；当时，方程化为，其中，方程不表示圆．故选A．10．设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，，若，且，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，则，又因为，则，，，，，即，解得，故选A．11．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则（）①以线段为直径的圆与准线相切；②以为直径的圆经过焦点；③，，（其中点为坐标原点）三点共线；④若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切．则以上说法中正确的个数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于①，设，，则，，所以线段的中点到准线的距离为，所以以线段为直径的圆与准线相切，故①正确；对于②，连接，，如图，因为，，，所以，所以，所以，即，所以以为直径的圆经过焦点，故②正确；对于③，设直线，，，将直线方程代入抛物线方程化简得，，则，又，，因为，，所以，所以，，三点共线，故③正确；对于④，不妨设，则，则直线，代入抛物线方程化简得，则，所以直线与该抛物线相切，故④正确．12．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，，，．令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，且，即，所以．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线经坐标变换后所得曲线的方程为．【答案】【解析】由，得，代入，得，所以变换后所得曲线的方程为，故答案为．14．“”是“直线，垂直”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）．【答案】充分不必要【解析】∵直线和垂直，∴，解得或，故实数“”是“直线，垂直”的充分不必要条件．15．既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展．现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道（与，不重合），，相距米，在紧邻休闲小道的两侧及圆弧上进行绿化，设，则绿化带的总长度的最大值约为米．(参考数据：，)【答案】【解析】如图所示，设圆心为，连接，，因为点在半圆上，所以，所以，弧的长为，所以绿化带的总长度为，，所以．令，得，所以．当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，所以，故答案为．16．已知、是椭圆短轴上的两个顶点，点是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点与点关于轴对称，则下列四个命题中，其中正确的是．①直线与的斜率之积为定值；②；③的外接圆半径的最大值为；④直线与的交点的轨迹为双曲线．【答案】②③【解析】①设，，则，因此①不正确；②∵点在圆外，∴，所以，②正确；③当点在长轴的顶点上时，最小且为锐角，设的外接圆半径为，由正弦定理可得．∴，∴的外接圆半径的最大值为，③正确；④直线的方程为，直线的方程为，两式相乘可得，化为，由于点不与，重合，∴的轨迹为双曲线的一部分，∴④不正确，故答案为②③．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题：，，命题：，．（1）若为真，求实数的取值范围；（2）若为假，为真，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）若为真：，解得，∵为真，∴为假，∴或．（2）由（1）得：真，若为真：，，∴，∵为假，为真，∴、一真一假．①真假：，∴；②假真：，∴，综上：的取值范围是．18．（12分）已知圆过点，且直线，圆与圆相切于原点．（1）求圆的方程；（2）求直线经过的定点的坐标及直线被圆所截得的弦长的最小值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）设，，则，所以圆的方程．（2）直线，，由，得，所以直线过定点，由（1）知，所以直线与轴垂直，，当时弦长最短，最短弦长．19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程，曲线的参数方程；（2）若，分别为曲线，上的动点，求的最小值，并求取得最小值时，点的直角坐标．【答案】（1），（为参数）；（2）．【解析】（1）由，消去得，即的普通方程为；由，得，∴，即，∴的参数方程为（为参数）．（2）设，则的最小值即为到直线的距离，，其中，，当时，，此时，，∴，即，此时点直角坐标为．20．（12分）已知抛物线，焦点为，准线为，抛物线上一点的横坐标为，且点到焦点的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）抛物线的准线方程为，∵抛物线上一点的横坐标为，∴根据抛物线的定义可知，，∴，∴抛物线的方程是．（2）由题意可知，直线不垂直于轴，可设直线，则由，可得，设，，则，因为以为直径的圆过点，所以，即，∴，解得，∴直线，即．21．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于第一象限内的点，连接并延长交椭圆于另一点，点，若为锐角，求的面积的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，，解得，所以椭圆的方程为．（2）当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时设为，联立，整理得，设，，则，，，由为锐角可知，，即，，解得，又点在第一象限，，当时，，，当时，，，所以，所以的面积，因为，所以，令，，，在单调递增，所以，，∴，综上所述，的面积取值范围是．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，设，是函数的两个极值点