河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考试题数学

原阳一中20232024学年上学期高一年级12月月考数学试卷总分150分时长120分钟命题人审核人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.3.命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.以上都不对4.若规定，则不等式的解集是（）A B. C. D.5.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是（）A.y＝m(1－x)2 B.y＝m(1＋x)2 C.y＝2m(1－x) D.y＝2m(1＋x)6.已知，，，则，，的大小关系为A. B. C. D.7.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（）A.2026年 B.2027年 C.2028年 D.2029年8.定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数值域为，则的定义域可以是（）A. B. C. D.10.已知正实数a，b满足，则（）A. B. C. D.11.（多选）已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.12.设，若有三个不同实数根，则实数的取值可以是（）A. B.1 C. D.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．13.已知奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________．14.若关于x不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．15.若正数，满足，则的最大值为________．16.设函数，，（其中），（1）________；（2）若函数与的图象有3个交点，则实数的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值．（1）；（2）．18.（1）已知集合，满足，，求实数，的值；（2）已知集合，函数的定义域为，若，求实数的取值范围．19.已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．20.某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为，，其中为污水治理调节参数，且．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？21.（1）对任意，函数的值恒大于0，求实数的取值范围；（2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．22.已知函数和有相同的最小值，（e为自然对数的底数，且）（1）求m；（2）证明：存在直线与函数，恰好共有三个不同交点；（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为，，，求的值．原阳一中20232024学年上学期高一年级12月月考数学试卷总分150分时长120分钟命题人审核人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解指数不等式化简集合N，再利用集合的交并补运算逐项判断即可.【详解】依题意，，而，对于A，，因此，A是；对于B，，因此，B不是；对于C，，因此或，C不是；对于D，或，因此或，D不是.故选：A2.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】解：因为，，即，，所以故选：A3.命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可.【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求；当时，即有，解得且；综上所述，.故选：B.4.若规定，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意化简，直接求解即可.【详解】因为，所以，所以，即，解得或，故选：D5.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是（）A.y＝m(1－x)2 B.y＝m(1＋x)2 C.y＝2m(1－x) D.y＝2m(1＋x)【答案】A【解析】【分析】根据指数函数模型列式求解．【详解】第一次降价后价格为，第二次降价后价格变为．故选：A．【点睛】本题考查指数函数模型应用，平行增长率问题．属于基础题．6.已知，，，则，，的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，，，再比较的大小.【详解】，，，，故选A.【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（）A.2026年 B.2027年 C.2028年 D.2029年【答案】C【解析】【分析】依据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可.【详解】设第年获利元，则是正整数，年是第一年，故，解得故，即从年开始这家加工厂年获利超过60万元.故选：C8.定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据＜0，得到在上递减，然后由，得到，将不等式转化为求解.【详解】因为定义在上的函数满足：＜0，所以在上递减，因为，所以，因为不等式，所以，所以，所以，即，所以，故选：B【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数的值域为，则的定义域可以是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据的图象求得正确答案.【详解】画出的图象如下图所示，由解得，的图象是函数的图象的一部分，依题意，的值域为，由图可知，的定义域可以是、.故选：AB10.已知正实数a，b满足，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式可得A,B,D正误，利用1的妙用可得C的正误.【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确；对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确；对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确；对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误．故选：ABC.11.（多选）已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据题意求出的定义域，将的解析式中绝对值符号去掉，结合二次函数的图象与性质即可判断.【详解】因为函数的定义域为，对称轴为直线，开口向下，所以函数满足，所以.又且图象的对称轴为直线，所以由二次函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间是和.故选BC.【点睛】本题主要考查含绝对值的二次函数的单调性问题，注意数形结合思想的应用，属于提升题.12.设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（）A. B.1 C. D.2【答案】AB【解析】【分析】先作出函数的图像，有三个不同的实数根，化为函数与直线有三个交点，结合图像，即可得出结果.【详解】解：作出函数图像如下：又有三个不同的实数根，所以函数与直线有三个交点，由图像可得：故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．13.已知奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________．【答案】9【解析】【详解】由已知得，f(6)＝8，f(3)＝－1，因为f(x)是奇函数，所以f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9.答案：9.14.若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围.【详解】关于的不等式的解集为.当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：15.若正数，满足，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】先利用基本不等式中“1”妙用求得的取值范围，从而求得的最大值.【详解】因为正数，满足，所以，即，则，当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9，则的最大值为．故答案为：16.设函数，，（其中），（1）________；（2）若函数与的图象有3个交点，则实数的取值范围为________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据题意，推得，即可求得的值，作出函数和的图象，结合和，结合图象，即可求得的取值范围.【详解】由题意，函数，所以；当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得，画出函数和的图象，如图所示，由，可得；又由，可得，由图象可知，若两个函数的图象有3个交点时，可得，所以实数的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值．（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解.【小问1详解】解：根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：.【小问2详解】解：由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：.18.（1）已知集合，满足，，求实数，的值；（2）已知集合，函数的定义域为，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题目条件得到，从而得到方程组，求出实数，的值；（2）先根据对数函数的定义域得到，分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.详解】（1），，故，故，解得；（2）由题意得，解得，故，，当时，，解得，当时，需满足或，解得或，综上，实数的取值范围是.19.已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）时，，令可得，即．的零点是．（2）令，显然，则．有两个零点，且为单调函数，方程在上有两解，，解得：．的取值范围是．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20.某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为，，其中为污水治理调节参数，且．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？【答案】（1）一天中早上点该厂的污水污染指数最低（2）调节参数应控制在内.【解析】【分析】（1）时，令，解得即可得出；（2）利用换元法，再利用函数的单调性即可得出.【小问1详解】因为，.

当时，，即，解得.所以一天中早上点该厂的污水污染指数最低.【小问2详解】设，则当时，.设,则,

在上是减函数，在上是增函数，则,

因为,则有，解得，

又，故调节参数应控制在内.21.（1）对任意，函数的值恒大于0，求实数的取值范围；（2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简后分离参数，求出函数的最小值即可得解；（2）转化为二次不等式恒成立，利用判别式建立不等式求解即可.【详解】（1）由题意，当时，恒成立，则，因为，所以，所以，由单调递减，知当时，，即.（2）因为对于任意的成立，所以对于任意的成立.即恒成立，由二次不等式的性质可得，，所以