新版高中数学人教A版必修5习题第一章解三角形检测B

第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知腰长为定值的等腰三角形的最大面积为2,则等腰三角形的腰长为().A.C.2 D.3解析:设该等腰三角形的腰长为a,顶角为θ,则该等腰三角形的面积为12a2sinθ,易知当θ=90°时,该等腰三角形的面积取得最大值1答案:C2在△ABC中,b=3A.C.解析:∵sinC=sinBb∴C=60°或C=120°.∴A=90°或A=30°.当A=30°时,a=b=当A=90°时,a=答案:C3在△ABC中,∠ABC=π4,AB=2,A.C.解析:在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC22AB·BCcos∠ABC=2+92×2×由正弦定理所以sin∠BAC=答案:C4在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>b>c,a2<b2+c2,则A的取值范围是().A.C.解析:cosA=又a>b>c,∴A>B>C.∴A>π3答案:C5在△ABC中,sinA=3A.C.(0,10) D.解析:由正弦定理得c=asinA·sinC=103又c>0,故0<c≤40答案:D6路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20m,则折断点与树干底部的距离是().A.C.解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.由正弦定理知∴AO=答案:A7在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1sinA),则A=().A.C.解析:由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA,又因为b=c,所以a2=b2+b22b×bcosA=2b2(1cosA).由已知a2=2b2(1sinA),所以sinA=cosA,因为A∈(0,π),所以A=答案:C8在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若tanA=7tanB,aA.4 B.3 C.7 D.6解析:由tanA=7tanB,得即sinAcosB=7sinBcosA,所以sinAcosB+sinBcosA=8sinBcosA,即sin(A+B)=sinC=8sinBcosA.由正、余弦定理可得c=8b·b即c2=4b2+4c24a2.又a2-b2c=3,所以c答案:A9在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2c2,则tanC等于().A.C.-解析:由2S=(a+b)2c2,得2S=a2+b2+2abc2,即2×12absinC=a2+b2+2所以absinC2ab=a2+b2c2.由余弦定理可知cosC=所以cosC+1=即2cos2所以tan所以tanC=答案:D10甲船在B岛的正南方10km处,且甲船以4km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是().A.C.21.5min D.2.15h解析:如图,设经过xh后甲船处于点P处,乙船处于点Q处,两船的距离为s,则在△BPQ中,BP=104x,BQ=6x,∠PBQ=120°,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ22BP·BQ·cos∠PBQ,即s2=(104x)2+(6x)22(104x)·6x·cos120°=28x220x+100.当x=--202此时x=答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=.

解析:∵3sinA=5sinB,∴3a=5b.①又∵b+c=2a,②∴由①②可得,a=∴cosC=∴C=答案:212已知△ABC的面积为S,且|BC解析:设AB=c,BC=a,AC=b,则∵|∴a2=abcosC+absinC,即a=bsinC+bcosC.由正弦定理得sinA=sinBsinC+sinBcosC.又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴sinB=cosB,即tanB=1,B=答案:π13在△ABC中,BC=1,B=π3,当△解析:设AB=c,AC=b,BC=a,则△ABC的面积S=12acsinB所以b=所以cosC=所以sinC=答案:214在△ABC中,已知b=1,sinC=3解析:由余弦定理的推论知cosC=a2∵bcosC+ccosB=2,∴∴a=2,即又b=1,∴|∵sinC=∴cosC=45或∴答案:815在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若1+tan解析:由正弦定理,得又因为1+==所以则cosA=又因为0°<A<180°,所以A=60°.答案:60°三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.解(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC22AB·AC·cosA=4+92×2×3×所以BC=(2)由正弦定理知所以sinC=ABBC·sin因为AB<BC,所以C为锐角,则cosC=因此sin2C=2sinC·cosC=2×17(8分)在△ABC中,∠A=3解设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c.由余弦定理得a2=b2+c22bccos∠BAC=(3所以a=3又由正弦定理得sinB=由题设知0<B<π4,在△ABD中,由正弦定理得AD=18(9分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BA(1)a和c的值;(2)cos(BC)的值.解(1)由BA·BC=2得c又cosB=13,由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sinB==由正弦定理,得sinC=cb因为a=b>c,所以C为锐角,因此cosC=于是cos(BC)=cosBcosC+sinBsinC=19(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ac=6(1)求cosA的值;(2)求cos解(1)在△ABC中,由及sinB=6sinC,可得又由ac=66b,所以cosA=(2)在△ABC中,由cosA=可得sinA=于是cos2A=2cos2A1=-14,sin2A=2sinA·所以cos2A-π6=cos2A·20(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=6(1)求b的值;(2)求△