5.1.2数据的数字特征（原卷版）

5.1.2数据的数字特征TOC\o"13"\h\z\u题型1平均数相关考点 4题型2众数相关考点 5题型3中位数百分位数 6题型4极差、方差、标准差 7◆类型1极差、方差、标准差的意义 7◆类型2极差、方差、标准差的计算 8◆类型3极差、方差、标准差的性质 9◆类型4极差、方差、标准差的作用 10题型5最值相关考点 12知识点一.最值1.最值的定义∶一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值。2.最值的特征∶最值反应的是这组数最极端的情况。3.最值的表示∶一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。知识点二.平均数1.平均数的定义∶如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为x=2.平均数的特征∶平均数用来刻画一组数据的平均水平（或中心位置）。3.平均数的表示∶x=x1+x2+...+xnn=i=1nxin,其中的符号""4.性质：如果x1，x2，…，xn，的平均数为x，且a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为ax+b.注意：平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值．很多情况下，为了避免过于极端的值对结果影响太大等，会去掉最小值与最大值后再计算平均数.知识点三.中位数定义：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，则称xn+1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称xn+注意∶优点∶①不受少数几个极端数据的影响。②易计算，便于利用中间数据的信息。缺点：对极端值不敏感。知识点四.百分位数1.定义：一组数的p%（p∈（0，100））分位数指的是满足下列条件的一个数值∶至少有p%的数据不大于该值，且至少有（100p）%的数据不小于该值.直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数.2.步骤：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i=np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取Xi0为p%分位数；如果i是整数，取xi+xi+12为p%分位数.特别地，规定∶0分位数是x（即最小值），100%注意：(1)中位数就是一个50%分位数.(2)按照定义可知，p%分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件所得出的p%分位数可能会有差异.（3）实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数）.知识点五.频数与众数：1.频数的概念∶一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数。2.众数的概念∶一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数。注意：若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都称为众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数。注意：(1)众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.(2)众数一定是原数据中的数，百分位数和中位数都不一定是原数据中的数.知识点六.极差、方差与标准差1.极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.极差反映了一组数的变化范围.不难看出，极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度.注意：(1)极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极差小，则数据相对集中，数据的波动性小，极差的计算非常简单，但极差只考虑了两个极端值，而没有考虑中间的数据，因此很多时候，极差作为数据的离散程度的统计量，可靠性较差.(2)极差的取值范围是[0，+∞）.2.方差（1）定义∶如果x1，x2，…，xn，的平均数为x，则方差可用求和符号表示为s（2）性质∶如果a，b为常数（a=0），则ax1+b，ax2+b，...,axn+b的方差为a2s2.3.标准差（1）定义∶方差的算术平方根称为标准差.一般用s表示，即样本数据x1，x2，…，xn，的标准差为s=（2）性质∶如果a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，...,axn+b的标准差为|a|s（3）如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性;若各数的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高，因此标准差（或方差）描述了数据相对于平均数的离散程度.题型1平均数相关考点【方法总结】平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据（比其他数据大很多或小很多的数据）的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体，有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体.【例题1】（2022·全国·高一课时练习）一组5个数据中，前4个数据的平均数是20，全部5个数据的平均数是19，则第5个数据是______．【变式11】1．（多选）（2023下·四川乐山·高一期末）下列说法中正确的是（

）A．数据1，1，2，3，4，4的众数是1，4B．数据2，3，4，5，6，7的中位数是4，5C．一组数据的中位数、众数、平均数可能是同一数D．3个数据的平均数是5，另外4个数据的平均数是4，则这7个数据的平均数是3×5+4×4【变式11】2．（2022·广东·）已知一组数x1,x【变式11】3．（2021·辽宁大连·）已知一组数x1,x【变式11】4．（2022·全国·高一课时练习）一般地，若取值为x1,x题型2众数相关考点【方法总结】确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势.【例题2】（2023上·云南红河·高一校考开学考试）空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数.某市4月30日22时至5月1日5时的空气质量指数的整点报告为70,71,69,70,72,70,68,72，这一时段整点空气质量指数的众数是（

）A．69 B．70 C．71 D．72【变式21】1．（2023下·全国·高一随堂练习）惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（

）A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【变式21】2．（2022上·高一校考单元测试）一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为（

）A．14，14 B．12，14 C．14，15.5 D．12，15.5【变式21】3．（2023下·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,84，则这组分数的中位数和众数分别是（

）A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，85【变式21】4．（2022·全国·）2022年6月6日是第27个“全国爱眼日”，为普及科学用眼知识，提高群众健康水平，预防眼疾，某区残联在残疾人综合服务中心开展“全国爱眼日”有奖答题竞赛活动.已知5位评委老师按百分制（只打整数分）分别给出某参赛小队评分，可以判断出一定有评委打满分的是（

）A．平均数为98，中位数为98 B．中位数为96，众数为99C．中位数为97，极差为9 D．平均数为98，极差为6题型3中位数百分位数【方法总结】计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．【例题3】（2024上·辽宁朝阳·高一统考期末）抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为86,84,88,86,89,89,90,87,85,92，则该学生这10次成绩的40%A．86.5 B．87.5 C．91 D．89【变式31】1．（2023上·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考阶段练习）学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分（单位：分）分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75%分位数为.【变式31】2．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）高一某班举行党史知识竞赛，其中12名学生的成绩分别是：82、74、76、90、94、82、87、73、61、67、97、98，则该小组12名学生成绩的75%【变式31】3.下表记录了一个家庭6月份每天在食品上面的消费金额：（单位：元）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天31292632342834313434第11天第12天第13天第14天第15天第16天第17天第18天第19天第20天35262735342828303228第21天第22天第23天第24天第25天第26天第27天第28天第29天第30天32263534353028343129求该家庭6月份每天在食品上面的消费金额的5％，25％，50％，75％，95％分位数.【变式31】4.（多选）（2023下·全国·高一随堂练习）已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（

）A．这10个数据中至少有8个数小于或等于31B．把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C．把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D．把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31题型4极差、方差、标准差【方法总结】标准差与方差的统计意义（1）标准差（方差）的取值范围是[0，+oo）（标准差的大小不会超过极差）.（2）标准差（方差）描述了一组数据相对于平均数离散程度的大小.◆类型1极差、方差、标准差的意义【例题41】（2022上·高一单元测试）为了判断甲乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定，通常需要知道这两人的（

）A．平均数 B．众数 C．方差 D．频率分布【变式41】1．（2023上·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）下列统计量中，能更好地度量样本x1，x2，…，A．样本x1，x2，…，xn的众数 B．样本x1，C．样本x1，x2，…，xn的标准差 D．样本x1，【变式41】2．(多选)（2023下·湖北·高一安陆第一高中校联考期末）学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是（

）A．平均来说乙班比甲班防守技术好B．乙班比甲班防守技术更稳定C．乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差D．甲班很少不失球【变式41】3．（多选）（2023下·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．抽样调查具有花费少、效率高的特点B．数据2，3，9，5，3，9的中位数为7，众数为3和9C．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度D．数据a1,a2,⋅⋅⋅,a【变式41】4．（2022下·福建福州·高一校考期末）下列命题中是真命题的有（）A．有A，B，C三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30B．一组数据1,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，则这两组数据中较稳定的是甲D．一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位数为5◆类型2极差、方差、标准差的计算【例题42】（2023下·天津武清·高一校考阶段练习）设样本数据1，3，a，2的平均数为5，则样本的方差为（）A．5 B．27.5 C．27 D．110【变式42】1．（2023上·云南保山·高一校考开学考试）若一组数据a1，a2，a3的平均数为4，方差为3，那么数据a1+2A．4，3 B．6，3 C．3，4 D．6，5【变式42】2．（2023上·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知一组数据9.92,9.96,9.97,9.98,10,10.02,10.03,10.04,10.08的平均数为X，方差为s2，则这组数据的平均数X=；若新增3个均为10的数据，方差记为s'2，那么s'2s2【变式42】3．（2023·全国·）已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的极差最大时，方差的值是__________.【变式42】4．（2020·广西·平果二中）在某次测量中得到的A样本数据如下17，25，11，27，18，19，31，27，41，16，若，B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（

）A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数◆类型3极差、方差、标准差的性质【方法总结】一般地，设样本数据为x1,x2,（1）数据x1+b,x（2）数据ax1,ax（3）数据ax1+b,【例题43】（2023上·全国·高一专题练习）已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是x=2，方差s2=2，则数据2A．3，4 B．2，8 C．2，4 D．5，8【变式43】1．（2023下·云南玉溪·高一统考期末）若数据x1,xA．5，5 B．15，15 C．19，19 D．19，45【变式43】2．（2023下·广西南宁·高一校联考期末）设一组数据x1,xA．3 B．5 C．9 D．13【变式43】3．（2023下·安徽淮南·高一淮南第三中学校考期末）已知一组数据x1,xA．6 B．10 C．18 D．22【变式43】4.（多选）（2023下·福建福州·高一校联考期末）设一组样本数据x1，x2，⋅⋅⋅，xn的平均数为2，方差为0.01，则数据2x1+3，A．平均数为5 B．平均数为7 C．标准差为0.2 D．标准差为0.1◆类型4极差、方差、标准差的作用【例题44】（2022上·辽宁阜新·高一校考期末）甲、乙两机床同时加工直径为100mm甲9910098100100103乙9910010299100100分别计算甲乙的众数、中位数、平均数、方差，根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．【变式44】1．（2023下·陕西西安·高一校考阶段练习）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)请你计算这两组数据的方差，现要从中选派一人参加操作技能比赛，从平均数、中位数和方差的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由（言之有理即可）.【变式44】2．（2023下·云南·高一校考期末）某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩（单位：分）如下：甲组60，90，85，75，65，70，80，90，95，80乙组85，95，75，70，85，80，85，65，90，85(1)试分别计算两组数据的平均数、方差；(2)判断哪一组的成绩较稳定？【变式44】3．（2023下·广西南宁·高一校联考期末）某旅游网考察景区酒店A，B，依据服务质量给酒店综合评分，下表是考察组给出酒店A，B的评分（满分100分），记A，B两个酒店得分的平均数分别为x和y，方差分别为s12和A（单位