《数学活动》名师教案

第三章数学活动课(蔡琼)一、教学目标（一）学习目标1.运用一元一次方程解决现实生活中的问题，进一步体会“建模”思想方法.2.通过数学活动进一步体会一元一次方程和实际问题中的关系，通过分析问题中的数量关系，进行预测、判断．3.通过体验数学活动，激发学习数学兴趣，增强自信心，进一步发展学生合作交流的意识和能力，培养求真的科学态度．（二）学习重点经历探索具体情境中的数量关系，体会一元一次方程与实际问题之间的数量关系，会用方程解决实际问题．（三）学习难点明确问题中的已知量与未知量间的关系，寻找等量关系．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）什么是增长率？增长率就是净增量占基础量的比例；（2）什么是下降率？下降率就是减少量占基础量的比例.2.预习自测（1）刘大伯种药材,去年比前年增产了25%,今年又比去年减产了25%.那么,今年与去年相比是__________了.(填：增产或者减产)【知识点】增长率的应用.【解题过程】解：（1+25%）×（1－25%）=125%×75%=93.75%＜1.∴今年与去年相比是减少了.【思路点拨】将前年的产量当作单位1，则去年产量是1+25%，今年比去年减产了25%，所以今年的产量为（1+25%）×（1－25%）.【答案】减少了．（2）一杯可乐售价1.8元，商家为了促销，顾客每买一杯可乐获一张奖券，每三张奖券可兑换一杯可乐，则每张奖券相当于（）A.0.6元 B.0.5元 C.0.45元 D.0.3元【知识点】一元一次方程的应用．【解题过程】解：设每张奖券相当于元，根据题意得：3×1.8=4（1.8﹣），解得：=0.45．故选C．【思路点拨】根据等量关系：4杯可乐的实际价格=3杯可乐的售价．因而设奖券的价格为x元由此可列方程求解．【答案】选C.(3)某商店有两种书包,每个小书包比大书包的进价少10元,而他们的售后利润额相同,其中,每个小书包的盈利率为30％,每个大书包的盈利率为20％,试求两种书包的进价.【知识点】一元一次方程的应用.【解题过程】解：设每个小书包的进价为元，则每个大书包进价为（+10）元.根据题意得，0.3=0.2（+10），解得：=20，∴+10=30.【思路点拨】抓利润额相同列方程.【答案】每个小书包的进价为20元，则每个大书包进价为30元.（4）现对某种商品降价20%促销，为了使销售总金额保持不变,销售量要比按原价销售时增加百分之几?【知识点】一元一次方程的应用．【解题过程】解：设销售量要比原价销售时增加x%，根据题意得：（1-20%）×（1+%）=1解得=25，∴销售量要比按原价销售时增加25%【思路点拨】等量关系：原价销售与促销总金额相等；原价销售总金额=原价×销售量（件数）；促销销售总金额=促销价×销售量（件数）,把原价当作1,则促销价=1×（1-20%）.【答案】销售量要比按原价销售时增加25%.(二)课堂设计1.问题探究探究一数学活动1—新闻报道中的统计数据★▲●活动①统计资料表明，山水市去年居民人均收入为11664元，与前年相比增长8﹪，扣除价格上涨因素，实际增长6.5﹪.你理解资料中有关数据的含义吗？如果不明白，请通过查阅资料或请教他人弄懂它们.根据上面的数据，你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（1）山水市前年居民的人均收入为多少元？（2）在山水市，去年售价为1000元的商品在前年的售价为多少元？师问：说说“去年人均收入与前年相比增长8﹪”，“扣除价格因素，实际增长6.5%”的意思？生答：“去年人均收入与前年相比增长8﹪”的含义是：（去年人均收入－前年人均收入）前年人均收入＝8%，即：前年人均收入×（1＋8%）＝去年人均收入.师问：由前面的8%和“扣除价格上涨因素，实际增长6.5﹪”能否求出去年价格的上涨率？生答：由前面的8%和这里的6.5%，可知去年的价格上涨率为：8%-6.5%=1.5%.总结：增长率问题有三个基本量：净增量、基础量、增长率．

基本关系是：增长率＝×100%【设计意图】通过学生分小组讨论交流，师生间的问答与交互，逐步剖析隐藏在统计数据中的数学问题，充分锻炼学生提高问题和解决问题的能力.●活动②解决问题师问1：要求得山水市前年居民的人均收入为多少元需要抓住什么等量关系？该怎样解决这个问题？生答1：需抓住增长率8%的含义：前年人均收入×（1＋8%）＝去年人均收入.生答2：用含未知数的式子表示出关键的两个量：前年人均收入和去年人均收入.生答3：解：设前年居民人均纯收入为元，则（1＋8%）=11664，解得：=10800，答：山水市前年居民的人均收入为10800元.师问2：要求得去年售价为1000元的商品在前年的售价为多少元，我们需要知道的是去年售价与前年的售价间有什么关系？这个关系藏在哪里的？又该怎样解决这个问题？学生回答：之前我们在审题时发现的去年的价格上涨率为：8%-6.5%=1.5%.即：去年价格是在前年的基础上增涨了1.5%.解：设去年售价为1000元的商品在前年的售价为元，则（8%-6.5%+1）=1000，解得：≈985.答：在山水市，去年售价为1000元的商品在前年的售价约为985元.总结：增长率问题有三个基本量：净增量、基础量、增长率，基本关系是：增长率＝×100%，降低率＝.【设计意图】通过学生自己收集数据、分析数据、结合统计知识，再和同伴讨论与交流求出某些隐藏的数据.挖掘出解决实际问题的等量关系，最后运用一元一次方程解决了实际问题，培养了学生分析和解决问题能力，同时也渗透了“建模”数学思想方法.探究二数学活动2—杠杆原理★▲●活动①本活动，课前布置学生做好活动前的准备工作：1.准备一根质地均匀的直尺（20）、一些相同的棋子和一个支架．

2.分组．（

4人一组）

开始做下面的实验：

（1）把直尺的中点放在一个支点上，使直尺左右两边平衡；

（2）在直尺两端各放一枚棋子，看看左右两边是否保持平衡；

（3）支点不动，在直尺一端的棋子上再加放一枚棋子，然后把这两枚摞在一起的棋子向支点移动，使左右两边保持平衡，记录支点到左右两边棋子中心位置的距离和；

（4）在两枚摞在一起的棋子上再加放一枚棋子，然后把这三枚摞在一起的棋子向支点移动，使左右两边保持平衡，记录支点到左右两边棋子中心位置的距离和；

（5）在一摞棋子上继续加放棋子，并重复以上操作和记录.

根据统计记录能发现什么规律？

以上实验过程可以填写在预先设计的记录表上．

实验次数棋子个数，的值，，间的关系左右第1次11第2次21第3次31第4次41……第次1师问1：据统计记录能发现什么规律？

生答：学生由实验发现的结论：（1）右边棋子数目、位置不变，左边棋子数目增多时，平衡时左边棋子离支点的位置越来越近.师问2：猜想，当第次实验时，和的关系如何？

生答：等量关系：，其中表示支点左边物体的个数，和分别代表支点到左右两边棋子中心位置的距离.师问3：如果直尺一端放一枚棋子，另一端放枚棋子，支点应在直尺的哪个位置？生答：用发现的等量关系，通过建立一元一次方程的模型来解决上面活动①中“思考的第（4）个问题”：

解：设直尺长为，支点距离放枚棋子的一端距离为，根据实验所得结论，支点离1枚棋子的一端距离为，根据相等关系，列方程：

，

合并（为的系数，这里）

，系数化为1，解得.总结：通过实验得到一些特殊数据，根据数据的变化规律从而得到一般规律，这种研究方法就是特殊到一般的研究方法.【设计意图】通过学生动手实验与动脑分析相结合，通过实验发现杠杆平衡条件，使学生从感性认识逐步上升到理性认识，从而解决实际问题.通过体验数学活动，激发学习数学兴趣，增强自信心，进一步发展学生合作交流的意识和能力，培养求真的科学态度.也为进一步学习物理杆杆原理知识打下基础.●活动②反思过程，发现规律师生共同小结归纳

（1）你验证得出的结论是什么？杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂（2）解决本题用到了什么知识与方法？运用一元一次方程解决现实生活中的问题.（3）试想，如果教科书中直接给出最后一段的问题，你认为题目是变简单了还是难了？为什么？教科书中的实验起到了什么作用？对你有什么启发？【设计意图】通过安排数学实验活动，让学生自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得规律、解决问题的方法.在这过程中，教师通过提问引导和启发学生学习研究数学问题的方法，而学生则处于主动学习的地位.进一步培养学生的创新意识，增强学生应用数学知识解决实际问题的能力.探究三运用知识解决问题★▲●活动①例1如图，用一根质地均匀的直尺和一些棋子做实验：在直尺的一端放一枚棋子．另一端放枚棋子，移动质点的位置，使两边平衡，记录支点到两端的距离，，如下表：（枚）12345/152022.52425/15107.565（1）根据统计记录，你发现的规律是；（2）若直尺长60，直尺的一端放一枚棋子，另一端放9枚棋子，试用一元一次方程求出、的值．【知识点】一元一次方程的应用.【解题过程】解：（1）根据题意可得：．故答案为：；（2）由题意可得：，解得：，则.答：，.【思路点拨】（1）利用已知表格得出数据之间的联系，进而得出、之间的关系；（2）利用（1）中所求进而得出关于的方程进而得出答案【答案】（1）；（2），．练习：如图，用一根质地均匀长30厘米的直尺和一些相同棋子做实验．已知支点到直尺左右两端的距离分别为、，通过实验可得如下结论：左端棋子数×=右端棋子数×，直尺就能平衡．现在已知厘米并且左端放了4枚棋子，那么右端需放几枚棋子，直尺才能平衡？【知识点】一元一次方程的应用.【解题过程】解：设右端需放枚棋子，根据题意得到4×10=（30﹣10），解得=2．【思路点拨】根据直尺的长是30厘米，而厘米，因而得到，根据：左端棋子数×=右端棋子数×，就可以列出方程．【答案】右端需放2枚棋子，直尺才能平衡.【设计意图】让学生应用本节课所学习的方法和策略解决同类问题.掌握物理杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂.●活动2例2为了准备小颖六年后上大学的学费15000元，她的父亲现在就参加了教育储蓄．下面有两种蓄方式：（1）先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期；（2）直接存一个六年期的．你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？期数教育储蓄年利率/%一年2.25三年3.24六年3.60【知识点】一元一次方程的应用.【解题过程】解：设开始存入元．如果按照第一种储蓄方式有：，解得：．如果按第二种储蓄方式有：，解得：，即第一种储蓄方式存入的本金约需12460元，第二种储蓄方式开始存入的本金约需12336元，因为12460＞12336，因此，按第二种储蓄方式开始存入的本金少．【思路点拨】根据本息和=本金+利息，利息=本金×利率×存期，分别将两种存款方式的利息的总和表示出来，再利用15000元建立方程，进而比较即可得出．【答案】按第二种储蓄方式开始存入的本金少．练习某公司生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了5万件，为进一步扩大市场，企业决定降低生产成本，经过市场调研，预计下一季度这种商品每件售价会降低4%，销售量将提高10%，问：（1）下一季度每件产品的销售价和销售量各是多少？（2）要使销售利润（销售利润=销售价﹣成本价）保持不变，该商品每件的成本应降低多少元？【知识点】一元一次方程的应用.【解题过程】解：（1）下一季度每件产品销售价为：510（1﹣4%）=489.6（元）．销售量为：（1+10%）×50000=55000（件）；（2）设该产品每件的成本价应降低元，则根据题意得[489.6﹣（400﹣）]×55000=（510﹣400）×50000，解得=10.4．答：该产品每件的成本价应降低10.4元．【思路点拨】（1）根据“商品每件售价会降低4%，销售量将提高10%”进行计算；（2）由题意可得等量关系：销售利润保持不变（销售利润=销售价﹣成本价）,列方程即可.【答案】（1）下一季度每件产品销售价为489.6元，销售量为55000件；（2）该产品每件的成本价应降低10.4元【设计意图】进一步巩固用一元一次方程解决实际问题.特别是体会利用方程模型解决实际问题的过程.3.课堂总结知识梳理在本节课的数学活动中，老师只是起到一个组织者，引导者，合作者的作用，通过这样的教学，使得人人都能获得良好的数学教育.（1）以活动探究——展示交流——小结提升的方式展开，充分发挥了数学活动课的作用.（2）所有结论由学生通过动手实验、合作交流、主动发现.学生在实验交流过程中动脑、动口、动手，培养良好的数学思维品质,充分感受到数学创造的乐趣.（3）列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、检、答.重难点归纳（1）建立方程模型，增强应用意识和应用能力．（2）突出一个“活”字，重在一个“动”字，落实一个“用”字.通过活动，让学生感受数学存在于生活又服务于生活.(三)课后作业基础型自主突破1.学生问老师多少岁了，老师说：我在你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就37岁了，则老师比学生大（）A.8岁 B.9岁 C.10岁 D.11岁【知识点】一元一次方程的应用．【解题过程】解：设老师比学生大岁，则学生的年龄为（+4）岁，老师的年龄为（2+4）岁，根据题意得：37﹣（2+4）=，解得：=11．故选D．【思路点拨】设老师比学生大岁，则学生的年龄为（+4）岁，老师的年龄为（2+4）岁，根据老师的年龄比学生大岁，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【答案】选D．2.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少？设定价为元，则下列方程中正确的是（）A.；B.；C.；D．【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程．【解题过程】解：设定价为，根据按定价的七五折出售将赔25元可表示出成本价为元，按定价的九折出售将赚20元可表示出成本价为：元．根据成本价不变可列方程为：，故选D．【思路点拨】首先理解题意找出题中存在的等量关系：定价的七五折+25元=定价的九折﹣20元，根据此等式列方程即可．【答案】选D.3.某块手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示时间为10点50分时，准确时间应该是（）A.11点10分 B.11点9分 C.11点8分 D.11点7分【知识点】一元一次方程的应用．【解题过程】解：慢表走：57分钟，则正常表走：60分钟，即如果慢表走：6小时20分（即380分），设正常表走了分钟，则，解得=400，400分钟=6小时40分，所以准时时间为11时10分．故选A．【思路点拨】根据题意假设该手表从4时30分走到10时50分所用的实际时间为小时，该手表的速度为57分/小时，再进行计算．【答案】选A.4.小明根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如图所示的水费计算数值转换机示意图，根据数值转换机程序，小明输入他家这个月的用水量，结果显示应缴水费70元，那么小明家这个月的用水量为m3．【知识点】一元一次方程的应用．【解题过程】解：设用水量为，当≤15时，∴3=70，∴=＞15，故不符合条件，舍去；当＞15时，5×（﹣15）+15×3=70，解得：=20.故答案为：20.【思路点拨】根据题意可分两种情况进行讨论，一种是x≤15，另一种是x＞15，然后根据程序图分别求出对应的的值．【答案】20.5.首位数字是2的六位数，若把首位数字2移到末位，所得到的新的六位数恰好是原数的3倍，原来的六位数为．【知识点】一元一次方程的应用.【数学思想】整体思想.【解题过程】解：设中间的五位数是，10+2=（200000+）×3，7=599998，=85714.所以原数是：285714.【思路点拨】为解答方便，可设中间的五位数是，那么根据“六位数左端的数字是2”可表示这个六位数是：200000+；根据“把左端的数字2移到右端”可表示这个新六位数是：10+2；再根据“新数=原数×3”可列方程解答即可．【答案】285714.6.丢番图是古希腊杰出的数学家，在他的墓碑上刻着一首谜语式的短诗，内容是一道有趣的数学问题，内容如下：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”问：大数学家丢番图活了多少岁？用白话翻译过来就是说：丢番图的一生，幼年占了，青少年占了，又过了才结婚，5年之后生子，子先其父4年而死，寿命是他父亲的一半．丢番图活了多少岁？【知识点】一元一次方程的应用．【解题过程】解：设丢番图活了岁，根据题意得，解得．答：丢番图活了84岁．【思路点拨】根据“各时间段的总和等于丢番图的岁数”列方程即可．【答案】丢番图活了84岁．能力型师生共研1.某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，已知A、B、C三地在一条直线上，若A、C两地距离为2千米，则A、B两地之间的距离是_______________千米．【知识点】一元一次方程的应用．【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解：设A、B两地之间的距离为千米，当C在AB的延长线上时：则，解得不合实际意义应舍去．当C在线段AB上时：则，解得.当C在AB的反向延长线上时：，解得：则A、B两地之间的距离是12.5或10千米．【思路点拨】由于点C的位置不确定，所以注意分类讨论，此题的关键是公式：顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度﹣水流速度，设未知数，列方程求解即可．【答案】12.5或10．2.有一玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为20，高20，现内装蓝色溶液若干．如图②放置时，测得液面高10；如图③放置时，测得液面高16；则该玻璃密封器皿总容量为cm3（结果保留π）【知识点】一元一次方程的应用.【解题过程】解：设该玻璃密封器皿总容量为cm3，π×102×10=V﹣π×102×（20﹣16），解得，V=1400π，故答案为：1400π．【思路点拨】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．【答案】1400π．探究型多维突破1.下列数阵是由偶数排列而成的：（1）在数阵中任意作一类似的框，如果这四个数的和为188，能否求出这四个数？如果能，求出这些数，如果不能，说明理由．如果和为288，能否求出这四个数？说明理由．（2）有理数110在上面数阵中的第排、第列．【知识点】一元一次方程的应用.【解题过程】解:（1）如果这四个数的和为188，能求出这四个数．理由如下：∵，∴，∴，∴这四个数是：40，42，52，54；如果和为288，不能求出这四个数．理由如下：∵，∴，∴，∵65不是偶数，∴四个数的和不能是288；（2）∵整10的数都在第5列，第5列的第一排是10，第二排是20，…，∴110在上面数阵中的第11排第5列．故答案为：11，5．【思路点拨】（1）可利用图例，看出框内四个数字之间的关系，上下相差10，左右相差2，用含的代数式分别表示、、根据这四个数的和为188列出方程，求解即可；（2）观察数阵可以得到，整10的数都在第5列，第5列的第一排是10，第二排是20，…，依此求解即可．【答案】（1）如果这四个数的和为188，这四个数是：40，42，52，54；如果和为288，不能求出这四个数．（2）11，5．2.如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50，第2节套管长46，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为．（1）请直接写出第5节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311，求的值．【知识点】一元一次方程的应用.【解题过程】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（）．（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（），设每相邻两节套管间重叠的长度为，根据题意得：，即：320﹣9=311，解得：=1．答：每相邻两节套管间重叠的长度为1．【思路点拨】（1）根据“第节套管的长度=第1节套管的长度－4×（﹣1）”，代入数据即可得出结论；（2）同（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为，根据“鱼竿长度=每节套管长度相加﹣（10﹣1）×2×相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．【答案】（1）第5节套管的长度为34；（2）每相邻两节套管间重叠的长度为1．自助餐1.王先生到银行存了一笔三年的定期存款，年利率是4.25%．若到期后取出得到本息（本金+利息）33825元．设王先生存入的本金为元，则下面所列方程正确的是（）A.；B.；C.；D..【知识点】一元一次方程的应用.【解题过程】解：设王先生存入的本金为元，由题意可得：.【思路点拨】根据利息=本金×利率×时间作为等量关系列方程即可.【答案】故选A.2.苏州市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽一棵，则树苗正好用完．设原有树苗棵，则根据题意列出方程正确的是（）A． B．C． D．【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程．【解题过程】解：设原有树苗a棵，由题意得：，故选A．【思路点拨】设原有树苗a棵，根据首、尾两端均栽上树，每间隔5米栽一棵，则缺少21棵，可知这一段公路长为；若每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，可知这一段公路长又可以表示为，根据公路的长度不变列出方程即可．【答案】故选A.3．有一个两位数，十位数字比个位数字的2倍多1，将两个数字对调后，所得的两位数字比原两位数字小27，原两位数为．【知识点】列一元一次方程解决实际问题.【解题过程】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为2+1，根据题意得：，解得：，可得．则原两位数为52．【思路点拨】设原两位数个位数字为，则十位数字为2+1，根据将两个数字对调后，所得的两位数字比原两位数字小27列出方程，求出方程的解即可得到结果．【答案】原两位数为52.4.某校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元．则去年的总收入为，总支出为．【知识点】一元一次方程的应用．【解题过程】解：设去年的总收入是万元．（1+10%）﹣（﹣50）（1﹣20%）=100，．200﹣50=150．去年的总收入是200万元，总支出是150万元．【思路点拨】设去年的总收入是万元，总支出就是（﹣50）万元，根据今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元，可列方程求解．【答案】去年的总收入是200万元