2022-2023学年江苏省淮安市淮安区高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省淮安市淮安区高一(下)期中

数学试卷

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1.已知复数Z=cosa+icos2α(0<a<2τr)的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为

()

Tr

A.BC.πD.5π

3∙⅞

2.⅛∆ABC中，4=1a=c=y]~2,则角C的值为()

TrT37T3τrTr

―πy—B-

A.产44C.TD.2

Q

3.已知角α+,Tr的终边经过点(一2,6),则3si∏2α—sin(∏∙+α)CoSa=()

A.-2B.yC.3D.9

4.已知复数Z=芸，则∣z∣=()

3

A.√-5B.?C.红ID.

55

5.已知α∈(pɪ),且5cos2α+10sin2a9,则£加戊=()

9

A.IB.2C.Id∙

2

6.已知AABC中，NBaC=I20。，AC=3AB=3,DC=2AD,在线段BD上取点E,使得

品=3前,则CoS乙4EB=()

AWBqD.@

3777

7.我国古代数学家刘徽在其撰写的陶岛算经沙中给出了著名的望海岛问题：今有望海岛，

立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直.从前表却行一百二十三步，人目着

地取望岛峰，与表末三合.从后表却行一百二十七步，亦与表末三合.问岛高及去表各几何.这

一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年.其大意为：测量望海岛48的高度及海岛离海岸

的距离，在海岸边立两等高标杆DE,FG{AB,DE,FG^,均垂直于地面)，使目测点H与B,

D共线，目测点C与8,尸共线,测出EH,GC,EG,即可求出岛高4B和AE的距离(如图).若DG=

FG=3,EH=7,HC=12,GC=9,则海岛的高AB=()

A.18B.16C.12D.21

8.已知平面向量五、b、下满足方∙b=0,IαI=IhI=1,（c—0）∙（c—ð）=ɪ,则|下一五|的

最大值为（）

A.√-2B.1+?C.ID.2

9.在C中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,下列各组条件中使得△力BC有两个

解的是（）

A.α=2√-3»6=4,cosA=ɪB.α=2y∕~3^b=8,cosA=

44

C.α=Cl5,b=4,D.α=2√~3,6=4,4=看

10.在448C中，已知4=3C=*'CD=3DB^则（）

13

--

4AB4

11.已知复数Zi=α⅛+b]i,z2=c⅛+b2i(<⅛b1,α2,b2均为实数)，下列说法正确的是()

A.若Zl=2Z2>则Zl>Z2B.Zi的虚部为瓦

2

C.若IZll=∖z2∖,则z：=zlD.∖z1∖=∣zf∣

12.设函数f(*)=l-2S讥2(3X-*(3>0),则下列结论正确的是()

A.若函数/(x)的最小正周期为2兀，则3=1

B.存在3∈(0,1),使得/Q)的图象向右平移看个单位长度得到的函数图象关于原点对称

C.若3=；,当X∈(Oq)时，函数/(x)的值域为学)

D.若/Q)在[0,兀]上有且仅有4个零点，则3∈[∣∣,∣∣)

二、非选择题(90分)

13.若复数2-抗(beR)的实部与虚部之和为0,则b的值为.

14.在AABC中，已知。2加九8=块1Cma,则此三角形的形状为___三角形.

15.tana+tan(^-α)+√^^3tαnatαn(^-a)的值为.

16.如图在△4BC中，∆ABC=90o,BC=8,AB=12,尸为4B

中点，E为CF上一点.若CE=3,则丽.丽=：若痈=

ΛCF(O≤λ≤1)＞则而•福的最小值为.

17.当实数Tn为何值时，复数Z=On2一2m-3)+(τ∏2一是:

(1)实数；

(2)虚数;

(3)纯虚数.

18.己知Sina并且a是第二象限角，求:

2sin2a+sin2a

的值;

⑴cos(2a+4τr)

(2)求tan(a-:)的值.

19.已知4、B、C为AABC的三内角，且其对边分别为a、b、c,若acosC+(c+2b)CoSa=0.

⑴求4

(2)若a=2，？，b+c=4,求△ABC的面积.

20.在直角坐标系Xoy中，已知点A(L1)，B(2,3),C(3,2),点P(X,y)在△ABC三边围成的区

域(含边界)上.

(1)若对+而+同=6,求I赤|：

(2)设而=m希+n1?(m,n6R),用x，y表示TΠ-M.

21.在①函数/(x)=；sin(3X+w)(3>0,Wl<勺的图象向右平移着个单位长度得到g(x)

的图象，g(x)的图象关于原点对称，

②向量记=(√-3sinɪX,cosωx),n=(ɪcosɪxl^),ω>0,/(x)=m∙n↑

③函数/(%)=CoSsXSm(^X+ɪ)-ɪ(ω>0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中,

ZZD4

并解答.

已知一，函数/(X)图象的相邻两条对称轴之间的距离为宏

(1)求/¢)的值；

(2)求函数/(x)在［0,扪上的单调递减区间.

y∕~2sinA+l_sin2C

22.在AABC中，内角4、B、C所对的边分别是a、b、c

l->Γ~2cosAl+cos2C

⑴若B建，求C；

(2)若8€成,力，求关的取值范围.

答案和解析

1.【答案】ACD

【解析】解：因为复数Z=cosa+icos2a(0<a<2兀)的实部与虚部互为相反数,

所以CoSa=-Cos2α,则有2cos2α+cosa—1=0,解得CoSa=-I或COSa=

因为O<α<2π,

所以α=Tr或々或

故选：ACD.

利用复数的定义得到c。Sa=-cos2a,再利用余弦的二倍角公式得到2cos2α+cosa-1=0,求

出cosα,结合特殊角的三角函数求解即可.

本题考查了复数定义的理解，同时考查了余弦的二倍角公式的应用以及特殊角的三角函数，属于

基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由正弦定理可得，7⅛=τ⅛,

ɑv7Lz*v*ιL*

.Cc-sinA√^2×^«

・•・SinC=----------=≡≠-=-----

C2

又∙.∙α>c,二A>C,且Ce(O,兀),

ʌC=ɪ4.

故选：B.

先利用正弦定理求出SinC,再结合大边对大角求出角C即可.

本题主要考查了正弦定理得应用，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：•••角ɑ+如的终边经过点(—2,6),

rtQ

则tan(α+-π)=—3,

91tanα+ta畤_tατια+l

即tan(α+-ττ)=tan(α+-τr)=

ITanataW-1-tana

解得tcmα=2,

3sin*2a+sinacosa3tan2a+tana12+214

.∙.3sin2a—sin(π+a')cosa=

sin2α+cos2αtanza+l

故选：B.

由已知求得tcma,结合诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求解即可.

本题主要考查了诱导公式，三角函数的定义及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础

题.

4.【答案】C

【解析】解：依题意，Z=横笔盘=弩=一|+，

所以IZl=J(—|)2+(》2=平.

故选：C.

利用复数的除法运算求出复数Z,再求出复数Z的模作答.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由5cos?a+10sin2a=9,得5cos?a+20sinacosa=9,

Scos2a+20sinacosa

sin2a+cos2a

BP—2~~—=9,得9ta∏2a_2OtXma+4=0,

tanza+l

则(9tcmα—2)(tana-2)=0,

2

^tana=-^citana=2,

又α∈G(),所以tcma>l,

zt∙L

故tcmα=2.

故选：B.

由已知利用二倍角公式，平方关系sin2α+cos2α=l代换，可得土弊≡=9,根据α的范围即可

tanza+l

求解.

本题考查二倍角公式的应用，三角函数化简求值，是中档题.

6.【答案】D

【解析】解：由题意知：44EB是而与前的夹角,

BD=BA+AD=-48+逐，

—>—>>—≠q1，1—>

AE=AB+BE=AB+-BD=ABΛ--ΛC,

4144

,----->----->1----->1----->1-----»1----->22----->----->1-----»2

BD-AE=(-48+“C)∙+^C)=式-48一^ABAC+^AC)

=7×(—1-1×3cθsl20o+3)=ɪ×(―1÷∣×3×∣+3)=p∣BD∖=/(-AB+∣ΛC)2=

»ɔ*ɔτ,Yɔ

J荏2―I而.就+'前2=J1+∣χ3χ∣+lχ9=Gl福=J(萍+泳)2=

I-⅛ΛB2+⅛∙^C+-⅛½C2=IΛ-⅛×3×∣+⅛=⅛,

y16816Y1682164

前.荏_£21

则CoSZTlEB=

函画—7

故选：D.

分析得到乙4EB是荏与前的夹角，利用向量基本定理得到前=-^β+⅛,½E=⅛+⅛,

344

利用向量数量积公式得到前.荏=(-荏+3硝《荏+［硝=：,I前I=q,I荏I=?,

从而利用夹角余弦公式求出答案.

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：由题意可知DE〃/IB,FG//AB,

r∣>∣DFEHFGGC

所fi以而~AH,AB~AC,

又DE=FG=3,EH=7,HC=12,GC=9,

所以/_=_Z_,A=―2-,

AB7+AEABAE+7+12

则AE=35,AB=18,

即海岛的高为18,

故选：A.

由题意可知。E〃朋FG//AB,所以第=翳篇=器即:⅛=7⅛,余=高近，然后求解

即可.

本题考查了解三角形，重点考查了阅读理解能力，属基础题.

8.【答案】B

【解析】解：如图,

在平面内一点0,作方=济OB=b，0C=c,

则小至=3X∙而=0,即。AJ∙OB,

根据题意可知，AH。B为腰长为1的等腰直角三角形，

贝IJl荏I=√^2-

又④+石尸=五2+石2+2万］=2-

所以(苧)2.

取AB的中点E,则赤=X罚+证)=^0+石)，

因为化-ɑ)∙(c-ð)=C2-c∙(ɑ+K)=ɪ,

所以于一A0+3)+反誓=(c-竽)2=(OC-OE)2=EC2=1，则I就I=1,

所以I下一项=∖0C-OA∖=∖AC∖=∖AE+^EC∖≤∖AE∖+∖EC∖=^+1.

当且仅当荏、正同向时，等号成立，

故Ie-初的最大值为苧+1.

故选：B.

在平面内一点。，作瓦5=五，OB=b>OC=c,取AB的中点E,计算出|荏|、|前|的值，利用

向量三角不等式可求得I及-硕的最大值.

本题考查平面向量的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】CD

【解析】解:对于4因为α=2√3,b=4,CosA=所以由余弦定理可得α?=h2+c2-2bccosA,

所以12=16+C2-2C,所以C2-2C+4=0,因为4=4-4x1X4<0,所以方程无解，故A

错误；

对于B：由于α=2yΓ3,b=Q,cosA=空，所以sim4=?，由于α=bsinA,故三角形有一解，

故8错误；

对于C：由于α==4,4=/满足b>α>bsinA,故三角形有两解，故C正确；

对于D：由于α=2C,b=4,4=I满足b>α>bs出4故三角形有两解，故。正确.

故选：CD.

直接利用三角形的解的情况的应用，判定4、8、C、。的结论.

本题考查的知识要点：三角形的解得情况的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：因为4=3C=S,所以B=gC=≡

ZɔO

选项A,I超+就I的几何意义为以4B、4C为邻边构成的矩形的对角线的长度，而I旅I是该矩形

另一条对角线的长度，所以选项A正确；

选项B,不妨设4B=2m,则4C=2C∏ι,BC=4m,

因为而=3万所以BD=JBC=m,所以AD=V耳m=即选项B正确；

选项C,AD=AC+^CD=AC+^CBAC+^(AB-AC)=^AB+^AC,即选项C错误；

选项。，由选项8可知，AB=2m,BD=m,AD=yΓ3m,

MAB2=BD2+AD2,所以BDj.4。，所以而1而，即选项O正确.

故选：ABD.

选项A,根据向量的加法运算法则及其几何意义，可判断：

选项B,设4B=2m,根据边角关系，推出4C=2Cm,AD=CTr1,得解；

选项C,由平面向量的线性运算法则，可得解；

选项。，利用勾股定理，证明BDlAD,即可.

本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力

和运算能力，属于基础题.

11.【答案】BD

【解析】解：复数Zi=%+瓦3Z2=C⅛+数1，ɑ2，力2均为实数)，

对于4复数不等比较大小，4项错误：

对于B,复数Zι=αι+b/,%是实部，瓦是虚部，B项正确；

对于C,∣z∕=∣Z2∣,所以J宙+*=J及+状,而口=al-bl+2a1b1i,zl=aj-b1+2a2b2i>

不能得到皆=z%所以C项错误；

22

对于D,∣z∕2=yJal+b1=aj+bl>Zj=宙—必+2a1b1i,IZjl=ʌ/(ɑɪ—hf)+(2α1h1)=

2

7(ɑɪ+feɪ)=aɪ+比,所以∣z∕2=∣z2∣j。项正确.

故选：BD.

根据复数和复数的模的概念，判断选项正误.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

12.【答案】BD

【解析】解：由倍角公式降幕可得：函数/(x)=l-2sin2(wfγ)=cos(23x*),ω>0,

根据它的最小正周期为T=警=2兀，可知：ω=i,所以4选项错误；

2ω2

将/(x)图像向右平移着得到y=cos(2ω%-ψ-^),该函数图像关于原点对称，

则詈+R∕OT+1(keZ),所以3=3k+5当k=0时，3="满足题意，故B选项正确；

当3时，/(X)=COS(X冶)，所以％—江(一祝)，

则/Q)的值域为1],所以C选项错误；

若x∈[O,τr],pl∣J2ωx-≡∈[-≡,2τrω-^],

因为函数有且仅有4个零点，所以?≤27T3T<M解得36伟,歙D选项正确，

乙ɔMɪMɪ

故正确选项为BD,

故选：BD.

由题意，利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查二倍角的余弦公式应用，余弦函数的图象和性质，属于中档题.

13.【答案】2

【解析】解：复数2-bi(beR)的实部与虚部分别为2,-b,因此2-b=0,解得b=2,

所以b的值为2.

故答案为：2.

利用复数的意义结合给定条件，列式计算作答.

本题主要考查复数实部、虚部的定义，属于基础题.

14.【答案】等腰或直角

【解析】

【分析】

根据同角三角函数的基本关系与正弦定理化简题中的等式，可得S讥AcosA=SinBcosB,由二倍角

的正弦公式算出S讥24=sin2B,再利用诱导公式得出4=B或A+B=*从而可得4ABC是等腰

三角形或直角三角形.

本题给出满足的边角关系式，判断三角形的形状.着重考查了正弦定理、同角三角函数的

基本关系与诱导公式、三角形形状的判断等知识，属于中档题.

【解答】

解：•：a2tanB=b2tanAʌa2------=b2-----

1CosBCosA

根据正弦定理，可得SiMa.包I=Sin2B•吗，

CosBCosA

化简整理，得Si和4cosA=SinBcosB,

・•・2sinAcosA=2sinBcosB,即s⅛ι24=sin2Bf

又・・・4、B∈(0,兀)，

.∙.2A=2B或24=π-2B,解得4=B或4+B=p

因此可得44BC是等腰三角形或直角三角形.

故答案为等腰或直角.

15.【答案】V-3

【解析】解：因为tan(α+g-α)=a)、_C

3yl-tanatan(ɜ-a)

所以ttma+tan(g—a)=√-3—>J~3tanatan(^—α),

故tαnα+tan(^—α)+>J~3tanatan(^-α)=√-3.

故答案为：y∕~3.

由己知结合两角差的正切公式进行化简，即可求解.

本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题.

16.【答案】13—36

【解析】解：因为乙4BC=90。，BF=^AB=6,BC=8,

则CF=√BC2+BF2=10-

当CE=3时，EF=7,

此时瓦？-EB(EFΛ-FA)■(EF+FB}

=(EF-FB)-(EF+FrB)

—>2—>2__

=EF-FB=72-62=13；

又前=CF-CE=(l-λ)CF,

则£71∙EB=EF-FB=(1-λ)2CF-36≥-36∙

当且仅当;1=1时，等号成立,

故瓦？•丽的最小值为-36.

故答案为:13；-36.

求得丽•丽=市2一万2,计算出CF、BF的长，当CE=3时，可求得丽•丽的值；计算得出前=

(l-λ)CF.利用平面向量数量积的运算性质以及二次函数的基本性质可求得丽•丽的最小值.

本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属中档题.

17.【答案】解：(I)：复数Z为实数，.∙∙r∏2-i=o,解得7n=±ι.

.∙.m=±l时，复数Z为实数.

(2):复数Z为虚数，.∙.r∏2-i≠o,解得nι≠±ι.

τnk±l时，复数Z为虚数.

(3)；复数Z为纯虚数，：.m2—2m—3=0,m2-1≠0,解得τn=3.

ʌτn=3时，复数Z为纯虚数.

【解析】(1)由于复数Z为实数，可得巾2-1=0,解得m即可.

(2)由于复数Z为虚数，可得加2一1工0,解得即可.

(3)由于复数Z为纯虚数，可得τ∏2-2m-3=0,m2-l≠0,解得m即可.

本题考查了复数为实数、虚数及纯虚数的充要条件，属于基础题.

18.【答案】解：⑴由α是第二象限角，Sina=得COSa=-√1—sin2ɑ=-J1—(|)2=—/,

则tma=鬻3

4,

所以2sin2α+siπ2α_2siτιza+2sinacosa_2sina(sina+cosa')_2sina

2

cos(2α+4ττ)cos2acos2α-s∣nαCOSa-Sina

3

_2tana_2x(—Q_6

1—tanaɪ-ɜ)7*

(2)由(1)知，tana=

Tr3Y

—>,STTittunct-tanɪ-^τ-1

所以tan(a-ɪ)=tan(α--)=—~~—⅛=T-=-7.

4y4yl+tanatan-τ1--×1

4ɪ4

【解析】(1)根据给定条件，求出tαna,再利用诱导公式、二倍角的正余弦公式，结合齐次式法求

值作答.

(2)由(1)的信息，利用诱导公式及差角的正切求值作答.

本题主要考查了同角基本关系，和差角公式的应用，属于中档题.

19.【答案】解：(I)QcosC+(c+2b)cosA=0,

・∙・由正弦定理可得：SinAcosC+(smC+2sinB)cosA=0,

可得SiTlACoSC+SinCcosA+2sinBcosA=0,

可得Sin(4÷C)+2sinBcosA=0,BPsinfi+2sinBcosA=0,

VsinB≠0,

41

・•・cosA=-

•••A∈(0l7T),

.2τr

ʌA=

(2)由α=2√^3,b+c=4,由余弦定理得ɑ?=炉+c?-2bccos4,

：.12=(6+c)2-2be—2bccos等即有12=16—be,

.∙.be=4,

∙,∙ΔABC的面积S=ɪbcsinA=ɪ×4×sinʒɪ=√-3.

【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理，三角形的面积公式在解三角

形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得SinB+2sinBcosA=0,由于SinB≠0,

可求cos4的值，结合a∈(O,ττ),可求4的值.

(2)由已知利用余弦定理可求be的值，进而根据三角形的面积公式即可得解.

20.【答案】解:(1)已知点4(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在AZBC

三边围成的区域(含边界)上，

又可+而+定=0.

ʌ(1—匕1—y)+(2—%,3—y)+(3-%,2—y)=0,

ʌ3%—6=0,3y—6=0,

ʌ%=2,y=2,

即加=(2,2),

：.∖OP∖=√22+22=2√-2;

(2)∙∙∙4(1,1),B(2,3),C(3,2),

・•・荏=(L2)，就=(2,1),

VOP=mA5+nΛC,

••・(居y)=(m+2n,2m+n)，

ʌ%=m+2n,y=2m+n,

n=y-x.

【解析I(I)先根据两+而+正=6,以及各点的坐标，求出点P的坐标，再根据向量模的公式,

问题得以解决；

(2)利用向量的坐标运算，先求出四，AC,再根据而=nɪ而+n而，用％,y表示m-n即可.

本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，

21.【答案】解:(1)选择条件①：

依题意，/(χ)相邻两对称轴之间距离为看则周期为兀，

从而3=2,/(x)=∣sin(2x+φ~),g(x)=∣sin(2x+φ-

又，g。)的图象关于原点对称，则g(0)=0,由∣W∣<*知W=?

从而/(x)=；sin(2x+≡),∕φ=p

选择条件②：

依题意，/(x)=m-n=ʃsinXcosX+∣cosωx>

即有：/(x)=Isinωx+ɪcosωx=ɪsin(ωx+3)，

又因为f(%)相邻两对称轴之间距离为全

则周期为兀，从而3=2,

从而fQ)=gsin(2x+,∕φ=ɪ,

选择条件③：

依题意，/(x)=cos^xsin(^x+^)-p

BP/(x)=COSy%(^SinyX+∣COSyX)-ɪ)

乙乙LΛLΛLΛ1

化简得：/(%)=孕sin冬XCos号X÷∣(cos^x)2—

4

LΛLΛ乙乙乙T

即有：/(x)=?Sirla)X+^cosωx=∣sin(ωx+)

又因为f(%)相邻两对称轴之间距离为今

则周期为江