中考数学一轮复习高频考点专题04 二次根式（12个高频考点）（举一反三）（原卷版）

专题04二次根式（12个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1二次根式的定义】 1【考点2二次根式有意义的条件】 2【考点3二次根式的性质与化简】 2【考点4最简二次根式】 2【考点5二次根式的乘除】 3【考点6分母有理化】 3【考点7同类二次根式】 4【考点8二次根式的加减法】 5【考点9二次根式的混合运算】 5【考点10二次根式的化简求值】 6【考点11比较二次根式的大小】 6【考点12二次根式的应用】 6【要点1二次根式的定义】一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。【考点1二次根式的定义】【例1】（2022·河南·灵宝市实验中学三模）下列式子：①13；②1−2；③x2+1；④327；⑤−4A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤【变式1-1】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【变式1-2】（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）下列各式中是二次根式的为（

）A．a+b B．st C．−x【变式1-3】（2022·河南省淮滨县第一中学三模）已知x=6−25为一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，且a，b为有理数，则【考点2二次根式有意义的条件】【例2】（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）若等式(x−1)(x+2)=x−1⋅x+2成立，则字母A．x≥0 B．x≥−2 C．−2≤x≤1 D．x≥1【变式2-1】（2022·四川师范大学附属中学模拟预测）已知x，y均为实数，y=x−2+4−2x【变式2-2】（2022·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝x+3x中，自变量x的取值范围是（

A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0【变式2-3】（2022·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1【要点2二次根式的基本性质】①(a)2=a(a≥0)；②a2=a【考点3二次根式的性质与化简】【例3】（2022·四川宜宾·二模）下列计算正确的是（

）A．721=3 B．3−8【变式3-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【变式3-2】（2022·福建·莆田第十五中学八年级阶段练习）若12a是整数，则正整数a的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-3】（2022·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．【要点3最简二次根式】最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。【考点4最简二次根式】【例4】（2022·江苏·射阳县第四中学一模）下列二次根式中是最简二次根式的是（

）A．30 B．12 C．8 D．1【变式4-1】（2022·湖北襄阳·二模）若最简二次根式a+1与8是可以合并的二次根式，则a＝______．【变式4-2】（2022·重庆文德中学校二模）下列二次根式是最简二次根式的是（

）A．8 B．13 C．ab【变式4-3】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、bA．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【要点4二次根式的乘除】二次根式的乘法：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(a≥0，b≥0)二次根式的除法：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(a≥0，b＞0)【考点5二次根式的乘除】【例5】（2022·湖北恩施·中考真题）从2，−3，−2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（A．0 B．1 C．2 D．3【变式5-1】（2022·广东番禺中学三模）计算：abA．1|a|b2ab B．1【变式5-2】（2022·广东佛山·一模）下列整数中，与(424A．5 B．6 C．7 D．8【变式5-3】（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）能与3÷A．1÷2 B．2÷6 C．【考点6分母有理化】【例6】（2022·福建·漳州三中八年级阶段练习）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：12+1=2−1

(1)求110(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；(3)利用这一规律计算：1【变式6-1】（2022·安徽·二模）-23的倒数是（A．-232 B．-2【变式6-2】（2022·河北保定·一模）已知x=12+3（1）x2（2）(x−y)2【变式6-3】（2022·重庆·西南大学附中三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，(5−2)(5+2)=1，甲：13−乙：设有理数a，b满足：a2+1+丙：12022丁：已知43−x−11−x=4戊：13+以上结论正确的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁【考点7同类二次根式】【例7】（2022·上海普陀·二模）下列二次根式中，与3x是同类二次根式的是（

）A．x3 B．3x C．3【变式7-1】（2022·上海崇明·二模）如果最简二次根式3x−5与x+3是同类二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式7-2】（2022·上海·模拟预测）二次根式5x+8与7是同类二次根式，则x的最小正整数为（）A．4 B．5 C．6 D．−【变式7-3】（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室模拟预测）如果二次根式x+5与2可以合并，那么x的值可以是_________（只需写出一个）【考点8二次根式的加减法】【例8】（2022·河北·模拟预测）如果a+1与12的和等于33，那么a的值是___________．【变式8-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算3+3【变式8-2】（2022·河北省保定市第二中学分校一模）18−【变式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：−50+12=a【考点9二次根式的混合运算】【例9】（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）计算23【变式9-1】（2022·山东泰安·中考真题）计算：8⋅【变式9-2】（2022·江苏泰州·中考真题）计算:(1)计算：18−(2)按要求填空：小王计算2xx解：2xx==小王计算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第步出现错误.直接写出正确的计算结果是.【变式9-3】（2022·江苏·九年级二模）如图，一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（

A．6+2 B．32 C．【考点10二次根式的化简求值】【例10】（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式(x+2【变式10-1】（2022·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知a+b=3，ab=2，则ab【变式10-2】（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）已知x−1x【变式10-3】（2022·湖北·荆门市海慧中学八年级阶段练习）已知xy=3，则yx【考点11比较二次根式的大小】【例11】（2022·四川泸州·中考真题）与2+15最接近的整数是（

A．4 B．5 C．6 D．7【变式11-1】（2022·陕西延安·二模）比较大小：23_____3【变式11-2】（2022·湖南怀化·中考真题）比较大小：22__________1【变式11-3】（2022·贵州安顺·中考真题）估计(25+52A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【考点12二次根式的应用】【例12】（2022·四川眉山·中考真题）将一组数2，2，6，22，…，42，2，6，2210，23，14…若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27【变式12-1】（2022·江苏无锡·一模）按一定规律排列的一列数：3，82，153，244，……其中第5个数为______，第n【变式12-2】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道(a−b)2≥0，即a2−2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)阅读1：若a、b为实数，且a>0，b>0，∵(a−b)2≥0，∴a−2阅读2：若函数y=x+mx(m>0，x>0，m为常数)．由阅读1结论可知：x+mx≥2x⋅m阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为4x，周长为2x+4问题2：若函数y=a+9a−1(a>1)，则a=问题3：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y元，求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？【变式12-3】（2022·贵州铜仁·三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=p