2024届江苏省南京市名校数学九年级上册期末统考试题含解析

2024届江苏省南京市名校数学九上期末统考试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.如图，在AABC中，于点M,CN上AB于氤N,尸为Be边的中点，连接尸M、PN、MN,则下列结论：

①PM=PN；Z=网；③若乙48C=60。，则APMN为等边三角形；④若NABC=45。，贝!]BN=夜PC.其中

ABAC

正确的是（）

上4

-Opc

A.①②③B.Φ（2XDC.①③④D.②③④

2.下列几何体中，主视图是三角形的是（）

BCD鼻

后∙I∙A∙SI

-A

3.如图，在ΔA5C中，NCAB=64°,将AABC绕点A旋转到ΔA3'C'，的位置,使得CC'//AB,则NB48'的大

小为（）

B'

AB

A.64oB.52oC.62°D.68°

4.求二次函数,丫=办2+法+8。/0）的图象如图所示，其对称轴为直线％=-1,与X轴的交点为(Xl,0)、(¾,0),

(ξ)a-b>ani1+bm^m≠-)；

其中0<x∣<l,有下列结论：（J）abc>O；（2）-3<x2<-2；（§）4«—2λ>+c<-l∖

⑤。>1；其中，正确的结论有（）

3

A.5B.4C.3D.2

3

5.如图，在直角坐标系中，点A是X轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y=—(x>())上的一个动点，当点B的

X

横坐标系逐渐增大时，AOAB的面积将会()

A.逐渐变小B.逐渐增大C.不变D.先增大后减小

6.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(∏√)的反比例函数,

其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的体积应()

-0L6Vrm)

C.不小于D.小于°n√

A.不小于一π√B.大于一π?

4444

7.一元二次方程(X-2>=O的根是()

A.x=2B.X]=X2=2C.x∣=-2,X2=2D.x1=0,X2=2

8.在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘一131,其浓度为0.(XX)0963贝克/立方

米，0.0000963数据用科学记数法可表示为()

A.9.63×10~5B.0.963×10-5C.963×10^4D.96.3XloY

9.一元二次方程f—3x+2=()的一个根为X=2,则2的值为()

A.1B.2C.3D.4

10.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知Sina=?，则小车上升的高度是:

A.5米B.6米C.6.5米D.7米

二、填空题(每小题3分,共24分)

11.已知二次函数y=χ2-4x+3,当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为-1,则a的取值范围是

12.如图，在aABC中，ZBAC=90o,ZB=60o,AD_LBC于点D,则^ABD与aADC的面积比为,

13.如图，在RtAABC中，NACB=90。，NA=α,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC,此时点D在

AB边上，则旋转角的大小为

14.如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=IOcm,则EF=

15.某校共1600名学生，为了解学生最喜欢的课外体育活动情况，学校随机抽查了200名学生，其中有92名学生表

示喜欢的项目是跳绳，据此估计全校喜欢跳绳这项体育活动的学生有____________人.

16.如图，AB.AC是。的切线，8、。为切点，连接BC.若NA=50。，则NABC=

17.计算(G)2+1的结果是.

18.一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲:

7,9,10,1,5,9；乙：9,6,1,10,7,1.

(1)请补充完整下面的成绩统计分析表：

平均分方差众数中位数

甲组19

5

乙组11

3

（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的

成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由______________________________.

三、解答题（共66分）

19.（10分）已知抛物线y=χ2+∕λχ+c的图象经过点（-1,0）,点（3,0）；

（1）求抛物线函数解析式；（2）求函数的顶点坐标.

20.（6分）如图1,在∕⅛ΔA3C中，NACB=90°,AB=5,BC=3,点。是边Ae上一个动点（不与A、。重

合），点。为射线AB上一点，且04=0。，以点C为圆心，CD为半径作C,设。4=χ.

（1）如图2,当点D与点3重合时，求X的值;

（2）当点。在线段AB上，如果C与AB的另一个交点E在线段Ar）上时，设AE=y,试求）'与X之间的函数解

析式，并写出X的取值范围；

（3）在点。的运动过程中，如果-C与线段AB只有一个公共点，请直接写出X的取值范围.

33

21.（6分）如图，已知抛物线y=5χ2--χ-3与X轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.

84

⑴直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得AMAD的面积与ACAD的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯

形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22.(8分)如图，AABC内接于OO,AB=AC=IO,BC=12,点E是弧BC的中点.

⑴过点E作BC的平行线交AB的延长线于点D,求证：DE是OO的切线.

(2)点F是弧AC的中点，求EF的长.

23.(8分)二次函数y=aχ2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题:

(1)方程aχ2+bx+c=0的两个根为

(2)y随X的增大而减小的自变量X的取值范围为；

(3)若方程aχ2+bx+c=k有两个不相等的实数根时，k的取值范围为；

(4)求出此抛物线的解析式.

24.(8分)2019年12月27日，我国成功发射了“长征五号”遥三运载火箭.如图，“长征五号”运载火箭从地面A处垂

直向上发射，当火箭到达3处时，从位于地面M处的雷达站测得此时仰角NAMB=45。，当火箭继续升空到达C处

时，从位于地面N处的雷达站测得此时仰角NANC=30，已知MN=I2Okm,BC=AOkm.

(1)求AB的长;

(2)若“长征五号”运载火箭在C处进行“程序转弯”，且NAa)=I05，求雷达站N到其正上方点。的距离.

25.（10分）感知：如图①，在等腰直角三角形AZJC中，NAC3=90。，BC=m,将边AB绕点8顺时针旋转90°得

到线段B。，过点。作。E_LCB交CB的延长线于点E,连接CZX

（1）求证："CBgABED;

（2）48（7）的面积为（用含机的式子表示）.

拓展：如图②，在一般的R348C,NAC8=90。，BC=m,将边AS绕点8顺时针旋转90°得到线段5。，连接QD,

用含机的式子表示aBCO的面积，并说明理由.

应用：如图③，在等腰aABC中，A8=AC,BC=S,将边48绕点及顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,则ABCD

的面积为;若BC=%，则ABCD的面积为（用含机的式子表示）.

26.（10分）解方程:

⑴χ2-2x-1=0

(2)2(x-3)2=x2-9

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、B

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明AAi?MS2∖ACN,再根据相似三角形的

对应边成比例可判断②正确；如果△尸MN为等边三角形，求得NMPN=60。，推出△CPM是等边三角形，得到AA8C

是等边三角形，而AABC不一定是等边三角形，故③错误；当NABC=45。时，NBCN=45。,由尸为BC边的中点，

得出BN=0PB=0PC,判断④正确.

【详解】解：①∙.∙5M,AC于点Λ/,CNLAB于点N,尸为5C边的中点，

11

：.PM=-BC,PN=-BC,

22

IPM=PN,正确；

②在AA与AACN中，

VZA=ZA,ZAMB=ZANC=90o,

J.∆ABM‹^∕∖ACN,

.ANAC

''~AM~~AB

.ANAM

②正确;

"~AC~~AB

③TNABC=60°,

二NSPN=60°,

如果aPMN为等边三角形,

二NMPN=60°,

二NCPM=60。，

.∙.ZiCPM是等边三角形，

ΛZACB=60o,

则aABC是等边三角形，

而AABC不一定是等边三角形，故③错误;

④当NA3C=45。时，，：CNLAB于/N,

.∖ZBNC=90o,NBCN=45°,

：.BN=CN,

TP为BC边的中点，

：.PNlBC,ZSBPN为等腰直角三角形

.∖BN=42PB=√2PC,故④正确.

故选:B.

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角

形的性质.

2、C

【分析】主视图是从正面看所得到的图形，据此判断即可.

【详解】解：A、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；

B、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误：

C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；

D、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了几何体的三视图，解此题的关键是熟练掌握几何体的主视图.

3、B

【分析】由平行线的性质可得NCCA=NCAB=64。，由折叠的性质可得AC=AC,NBAB'=NCAC,可得NACC'

=ZC'CA=64o,由三角形内角和定理可求解.

【详解】TCC，〃AB,

ΛZCCA=ZCAB=640,

将aABC绕点A旋转到的位置，

ΛAC=AC',NBAB=NCAC',

ΛZACC=ZC'CA=64o,

ΛZCAC=180o-2×64o=52o,

故选：B.

【点睛】

本题考查旋转的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键.

4、C

【分析】由抛物线开口方向得a>O,由抛物线的对称轴为直线X=-K=T得匕=2。>0,由抛物线与y轴的交点位

2a

置得c<0,则abcVO；由于抛物线与X轴一个交点在点（0,0）与点（1,0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物

线与X轴另一个交点在点（-3,0）与点（-2,0）之间，即有-3V%V-2;抛物线的对称轴为直线x=—l,且CV-1,

X=—2时，4a-2b+c<-∖;抛物线开口向上，对称轴为直线X=—1,当％=—1时，y最小值=α-8+c,当X=加得：

y=am2+bm+c,且m≠-l,.∖3⅛小值=a-h+c<,即。一人<am2+bm;对称轴为直线X=匕=7得b=2a,

Ia

由于X=I时，y>0,则α+h+c>0,所以。+2。+。>0,解得4>-！。，然后利用（?<一1得到。>一：.

【详解】V抛物线开口向上，.∙.a>0,

b

∙.∙抛物线的对称轴为直线X=—==-1,.∙.b=2a>0,

2a

Y抛物线与y轴的交点在X轴下方，.∙.c<0,.∙.abc<O,

所以①错误；

T抛物线y=0r?+⅛r+c与X轴一个交点在点（0,0）与点（1,0）之间，而对称轴为X=-1,由于抛物线与X轴一

个交点在点（0,0）与点（1,0）之间，根据抛物线的对称轴性，.∙.抛物线与X轴另一个交点在点（-3,0）与点（-2,

0)之间，即有-3V%V-2,所以②正确；

抛物线的对称轴为直线％=-1,且c<-l,.∙.当％=-2时，4a-2b+c<-l,所以③正确；

；抛物线开口向上，对称轴为直线X=—1,...当X=T时，y最小值=α-8+c,

当X=加代入y=<2√+bχ+c得：y=am2+bm+c,

".'m≠-∖,Λ=a-b+c<,即。一力<。〃/+人相，所以④错误；

：对称轴为直线x=-2=-i,.∙.h=2”,

Ia

•：由于x=l时，y>0,Λa+h+c>Qf所以α+2α+c>0,解得。>-ɪe,

根据图象得c<T,.∙.a>-g,所以⑤正确.

所以②③⑤正确，故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与X轴、y轴的交点，二次函数y=ax∙bx+c(a≠0),a决定抛

物线开口方向;C的符号由抛物线与y轴的交点的位置确定;b的符号由a及对称轴的位置确定;当x=l时,y=α+匕+c；

当X=-I时，y=a-b+c.

5、A

【解析】试题分析：根据反比例函数的性质结合图形易知4OAB的高逐渐减小，再结合三角形的面积公式即可判断.

要知△OAB的面积的变化，需考虑B点的坐标变化，因为A点是一定点，所以OA(底)的长度一定，而B是反比

例函数图象上的一点，当它的横坐标不断增大时，根据反比例函数的性质可知，函数值y随自变量X的增大而减小，

即AOAB的高逐渐减小，故选A.

考点：反比例函数的性质，三角形的面积公式

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成.

6、C

k964

【解析】由题意设设P=M(V>0),把(1.6,60)代入得到k=96,推出P=M(V>0),当P=120时，V...-,由

此即可判断.

k

【详解】因为气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(∏√)的反比例函数，所以可设P=M(V>0),由题图可知,

96

当V=1.6时，〃=60,所以A=L6x60=96,所以〃=一(丫>0).为了安全起见，气球内的气压应不大于120kPa,

964

即120,所以V…

故选C.

【点睛】

此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把已知点代入解析式.

7、B

【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【详解】(X-2)2=0,

则Jn=X2=2,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1,再开

平方取正负，分开求得方程解”来求解.

8、A

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为“xl(Γ",与较大数的科学记数法不同的是其

所使用的是负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的()的个数所决定.

【详解】0.()000963,这个数据用科学记数法可表示为9.63X10-5.

故选：A.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为αxll(Γ",其中l≤∣α∣<10,n为由原数左边起第一个不为零的数

字前面的0的个数所决定.

9、B

【分析】将x=2代入方程即可求得k的值，从而得到正确选项.

【详解】解：•••一元二次方程χZ3x+k=0的一个根为x=2,

Λ22-3×2+k=0,

解得，k=2,

故选：B.

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立.

10、A

【分析】在RΔABC,直接根据正弦的定义求解即可.

【详解】如图：

B

AB=13,作BCJ_AC,

..∙5BC

.Slna=—=----

13AB

IBC=AB?=13?ɪ5.

1313

故小车上升了5米，选A.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题.解决本题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造∕⅛ΔABC,在

心ΔABC中解决问题.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、-3≤a≤l

【分析】求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得.

【详解】解：二次函数y=x∣-4x+3=(x-l)1-1,

.∙.对称轴为直线X=I,

当aVlVa+5时，则在a≤x≤a+5范围内，X=I时有最小值T,

当a≥l时，则在a≤x≤a+5范围内，x=a时有最小值-1,

.*∙a'-4a+3=-1,

解得a=l,

当a+5≤l时,则在a≤x≤a+5范围内，x=a+5时有最小值-1,

Λ(a+5),-4(a+5)+3=-1,

解得a=-3,

.∙∙a的取值范围是-3≤a≤l,

故答案为：-3≤a≤l.

【点睛】

本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

12、1:1

【分析】根据NBAC=90°,可得NBAD+NCAD=90°,再根据垂直的定义得到NADB=NCDA=90°,利用三角形的

内角和定理可得NB+NBAD=90。，根据同角的余角相等得到NB=NCAD,利用两对对应角相等两三角形相似得到

ΔΓ)l-

∆ABD-∆CAD,由tanB=tan6()。=—=√3,再根据相似三角形的面积比等于相似比(对应边的之比)的平方即可

求出结果.

【详解】：∙.∙NBAC=90°,

ΛZBAD+ZCAD=90o,

XVAD±BC,

ΛZADB=ZCDA=90o,

ΛZB+ZBAD=90o,

AZB=ZCAD,又NADB=NCDA=90。,

.∙.∆ABD<^∆CAD,

,U/驾2,

CADVA.C)

VZB=60o,

.AB√3

••-----------,

AC3

.∙.I≡=M2=L

S.CADVA.C)3

故答案为1：1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似比即为对应边之比，周长比等于相似比，面积之比等于相似比的

平方是解决问题的关键.

13、2α

【解析】分析：由在RtAABC中，ZACB=90o,NA=a,可求得：NB=90。-a,由旋转的性质可得：CB=CD,根据

等边对等角的性质可得NCDB=NB=90。-a,然后由三角形内角和定理，求得答案：

T在RtAABC中，NACB=90。，NA=a,ΛZB=90o-a.

由旋转的性质可得：CB=CD,ΛZCDB=ZB=90o-a.

ΛZBCD=180o-NB-NCDB=2a,即旋转角的大小为2a.

14、5cm

【分析】先求出BF、CF的长，利用勾股定理列出关于EF的方程，即可解决问题.

【详解】V四边形ABCD为矩形，

ΛZB=ZC=90o；

由题意得：AF=AD=BC=IO,ED=EF,

设EF=x,则EC=8-χ;

由勾股定理得：BF2=AF2-AB2=36,

ΛBF=6,CF=10-6=4；

由勾股定理得：x2=42+(8-x)2,

解得：x=5,

故答案为：5cm.

【点睛】

该题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答.

15、736

(分析】由题意根据样本数据的比值和相对应得总体数据比值相同进行分析求解即可.

【详解】解：设全校喜欢跳绳这项体育活动的学生有m人，由题意可得：

所以全校喜欢跳绳这项体育活动的学生有736人.

故答案为：736.

【点睛】

本题考查的是通过样本去估计总体对应的数据，熟练掌握通过样本去估计总体对应数据的方法是解题的关键.

16、65°

【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论.

【详解】解：•••A3、AC是。的切线，

AAB=AC

ΛZABC=ZACB=ɪ(180o-NA)=65°

2

故答案为：65°.

【点睛】

此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键.

17、4

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.

【详解】解：原式=3+1=4.

故答案为4

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键.

18、(1)∣,1.5,1；(2)两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定.

【分析】(1)根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；

(2)根据(1)中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组,

由此找出乙组优于甲组的一条理由.

【详解】(1)甲组方差：

22

ɪ(7—8)2+(9—8)2+00—8)2+(8—8)2+(5-8)+(9-8)^=|

甲组数据由小到大排列为：5,7,1,9,9,10

故甲组中位数：(1+9)÷2=1.5

乙组平均分：(9+6+1+10+7+1)÷6=1

填表如下：

平均分方差众数中位数

8

甲组191.5

3

5

乙组111

3

(2)两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组，所以乙组成绩更稳定.

故答案为：1.5,1；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定.

【点睛】

本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和

定义是解题关键.

三、解答题(共66分)

19、(l)y=x2-2x-3；(2)(1,-4)

【分析】(1)将两点代入列出关于b和C的二元一次方程组，然后进行求解;

(2)根据二次函数的顶点坐标的求法进行求解.

【详解】解：(1)把(-1,0),(3,0)代入y=χ2+bχ+c(a≠0)得

1—〃+C=O[b=-2

!,解得4

[9+3力+c=01c=-3

・・・所求函数的解析式为y=x2-2x-3,

(2)抛物线的解析式为y=x2-2x-3,

22

.b-2ιAac-b4×Ix(-3)-(-2).

2a2×14tz4×1

•••抛物线的顶点坐标为(1,-4)

考点：待定系数法求函数解析式、二次函数顶点坐标的求法.

ɔeQ32(25、7

20、(1)X=?；(2)γ=-%+—2<x<-；(3)当0<x<,或χ=2或三<x<4时，C与线段A3只有

85518yz88

一个公共点.

【分析】(1)在RtABOC中，利用勾股定理即可解决问题.

(2)如图2中，作OHj_AB于H,CG_LAB于G,连接CE.证明ΔAGCΔACB,利用相似三角形的性质构建关

系式即可解决问题.

(3)分三种情形分别求解即可解决问题.

【详解】解：(1)如图1中，

在放ΔASC中，ZAcB=90°,Aδ=5,BC=3,

:.AC=4,

设Q4=O6=x,

.∖OC=A-x,

在R∕ΛBOC中，OB1=BC2+OC1>

%2=32+(4-Λ)2,

25

X=一

8

(2)过点O,C分别作O"LAB,CGlAB,垂足为点”，G

OH±AD;CGAB

：.AH=DH;DG=EG

4

又在RfMBC中CoSNA=M；

4

在Rf△(?HA中A"=-x;

5

.∙,AD^-x

5

VZAGC=ZACB=90o，NA=NA,

ΛMGCΔACfi

AG_AC

-Tc-TB

.∙.AG=-

5

又AE=y,.∙,GE=^--y

：.DG=GE=--y

5-

又DG+GE+EA-AD

16168

即y-y+y-y+y=-∙^

儿包㈤832C「28

化简得y=一丁+三I2<X≤y

(3)①如图1中，当.C经过点8时,

B

图1

9

易知：BH=DH

5

.∙,BD=-

5

“cU187

AD=5-----=-

55

87

一X=一

55

:.x=—7

8

7

观察图象可知：当O<X<G时，C与线段AB只有一个公共点.

O

此时x=2

综上所述，当0<x<7(或x=2或2三5<x<4时，-C与线段AB只有一个公共点.

88

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解直角三角形以及相似三角形的判定与性质等知识，解

题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，

21、(I)A点坐标为(4,0),D点坐标为(-2,0),C点坐标为(0,—3)；(2)(2,-3)或(1+J万,3)或(1-717,3);

(3)在抛物线上存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为(-2,0)或

(6,6).

【分析】(1)令y=0,解方程三好—三X—3=0可得到A点和D点坐标；令x=0,求出y=-3,可确定C点坐标；

84

(2)根据两个同底三角形面积相等得出它们的高相等，即纵坐标绝对值相等，得出点M的纵坐标为：±3,分别代入

函数解析式求解即可；

(3)分BC为梯形的底边和BC为梯形的腰两种情况讨论即可.

【详解】(1)在y=3f-3χ-3中令0=2%2一2%一3,解得玉=-2,/=4,

■8484^

.∙.A(4,0)、D(-2,0).

33

在y=-/——x―3中令x=0,得y=-3,

84

ΛC(0,-3)；

(2)过点C做X轴的平行线。，交抛物线与点M∣,做点C关于X轴的对称点C,过点C'做X轴的平行线〃，交抛物

线与点M2、A/?，如下图所示:

•；∆MAD的面积与ACAD的面积相等，且它们是等底三角形

；.点M的纵坐标绝对值跟点C的纵坐标绝对值相等

•••点C的纵坐标绝对值为：|一3|=3

：.点M的纵坐标绝对值为：IyM=3

二点M的纵坐标为：±3

当点M的纵坐标为一3时，贝3=0χ2-0%一3

84

解得：x=2或X=O(即点C,舍去)

.∙.点∕∣的坐标为：(2,—3)

当点M的纵坐标为3时，则3=二/——χ-3

84

解得：X=1±VΓ7

二点的坐标为：(1+√∏,3),点M3的坐标为：(1一J万,3)

：.点M的坐标为：(2,-3)或(1+√Γ7,3)或(1-√∏,3)；

(3)存在，分两种情况：

①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(-2,0).

②如图，当BC为梯形的腰时，过点C作CP〃AB,与抛物线交于点P,

I点C,B关于抛物线对称，.∙.B(2,-3)

4攵-∖~b—Ok=_

设直线AB的解析式为y=Z∕+4,则:一,解得｛,一2.

2匕1+b[,=—3IZS

bx=-6

3

ʌ直线AB的解析式为y=^x-6.

VCP//AB,

3

.∙.可设直线CP的解析式为y=5X+根.

；点C在直线CP±,

ʌm=-3.

3

.∙.直线CP的解析式为y=]X-3.

3Q

了=产3

联立｛3233

y=-x——x-3

84

%,=0X=6

解得｛2

弘=一3%=6

ΛP(6,6).

综上所述，在抛物线上存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(-2,0)或(6,6).

考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.轴对称的应用(最短线路问题)；

5.二次函数的性质；6.梯形存在性问题；7.分类思想的应用.

22、(1)见解析；(2)EF=5√5

【分析】(1)连接AE,由等弦对等弧可得AB=AC，进而推出ABE=ACE，可知AE为。。的直径，再由等腰三角

形三线合一得到AE_LBC,根据DE〃BC即可得DELAE,即可得证；

(2)连接BE,AF,OF,OF与AC交于点H,AE与BC交于点G,利用勾股定理求出AG,然后求直径AE,再利

用垂径定理求出HF,最后用勾股定理求AF和EE

【详解】证明：(1)如图，连接AE,

A

VAB=AC

∙*∙AB=AC

又点E是弧BC的中点，即BE=CE

AB+BE=AC+CE，即ABE=ACE

.∙.AE为。O的直径，

•：BE=CE

.∙.NBAE=NCAE

XVAB=AC

ΛAE±BC

VDE/7BC

ΛDE±AE

.∙.DE是Oo的切线.

(2)如图，连接BE,AF,OF,OF与AC交于点H,AE与BC交于点G,

A

ΛZABE=ZAFE=90o,OF±AC

由（1）可知AG垂直平分BC,ΛBG=ɪBC=6

2

在Rt△ABG中，AG=√AB2-BG2=√102-62=8

∙.∙cosNBAE=CoSNBAG

ABAG108

«——，即hπ一=—

AEABAE10

25

2

2525

.∙.0O的直径为三，半径为3.

24

设HF=X,贝!|OH=町-X

.∙.在RtaAHO中，AH2+OH2=OA2

解得X=M

2

【点睛】

本题考查圆的综合问题，需要熟练掌握切线的证明方法，以及垂径定理和勾股定理的运用是关键.

2

23、(1)Xi=LX2=I；(2)x>2；(1)k<2；(4)y=-2x+8x-6.

【分析】(D利用二次函数与X轴的交点坐标与对应一元二次方程的解的关系即可写出；

(2)由图像可知，在对称轴的右侧，y随X的增大而减小；

(1)方程aχ2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函数y=ax?+bx+c(a≠0)与y=k有两个交点，画图分析即可；'

(4)由图像可知：该抛物线的顶点是(2,2),过(1,0),设抛物线解析式为：y=α(x-2『+2,把(1,0)代入

y=a(x—2『+2,求出a即可.

【详解】解：(1)当y=0时，函数图象与X轴的两个交点的横坐标即为方程aχ2+bx+c=0的两个根，

由图可知，方程的两个根为Xi=LX2=l.

故答案为：xι=l,X2=l.

(2)根据函数图象，在对称轴的右侧，y随X的增大而减小，

此时，x>2,

故答案为：x>2

(1)方程aχ2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函数y=ax?+bx+c(a≠0)与y=k有两个交点，如图所示：

当k>2时，y=ax2+bx+c(a≠0)与y=k无交点；

当k=2时，y=ax2+bx+c(a≠0)与y=k只有一个交点；

当k<2时，函数y=aχ2+bx+c(a≠0)与y=k有两个交点，

故当kV2时，方程aχ2+bx+c=k有两个不相等的实数根.

故答案为：k<2.

(4)由图像可知：该抛物线的顶点是(2,2),过(1,0),

.∙.设抛物线解析式为：y=a(x—2)〉+2

把(1,0)代入y=a(x—21+2得：0=α(l-2『+2,

:∙a—2，

：.y=-2(Λ-2)2+2=-2X2+8X-6,

.∙.抛物线解析式为y=-2x1+8Λ-6.

【点睛】

此题考查了二次函数与X轴的交点坐标与对应一元二次方程的解的关系、通过图像观察抛物线的增减性、利用画图解

决抛物线与直线的交点个数问题、求函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键.

24、(1)A5=40√3km；(2)↑60lan

【分析】(1)设AB为Xhn,根据题意可用含X的代数式依次表示出AM、AC.AN的长，然后在直角中利用

解直角三角形的知识即可求出X的值，进而可得答案；

(2)由(1)的结果可得CN的长，作DHLCN,垂足为点H,如图，根据题意易得NOaV和NoNC的度数，设

HN=y,则可用y的代数式表示出CH,根据C"+HN=CN可得关于y的方程，解方程即可求出y的值，进一步即可求

出结果.

【详解】解：(1)设AB为Xkm,

VZAMB=45°,

.∙.NABA/=45。，

则AM=AB=xkm,

在R∕ΔAOV中，

∙.∙∕AM7=30°,AC=A8+6C=X+40,AN=AM+MN=x+l2Q,

AAN=AC.tan60o=√3ΛC，

即√3(40+x)=120+x,

解得：X=408，

：.ΛB=40√3km；

⑵作DHLCN,垂足为点“，如图，

由(1)可得，AC=4θJi+4O,

'：ZANC^30°,

∙∙∙CN=80百+80,

∙.∙NACr>=105°,

：.NNCD=45。,

：.CH=DH,

•：NATVr>=90°,

：.NCND=60°,

设HN为y,

则DH=CH=&,

.,∙Gy+y=80∖∕3+80，

解得：y=80,

.∙.Z)N=2y=16