解三角形之三角形的角平分线和中线问题（典型例题+练习）-2023年高考数学（新高考通用）解析版

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）

专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题

目录一览

一、梳理必备知识

二、基础知识过关

三、典型例题讲解

四、解题技巧实战

五、跟踪训练达标

、梳理必备知识

1.正弦定理

（其中R为ΔABC外接圆的半径）

=SinA=——,sinB=——,sinC二二上；（角化边）

2R2R2R

2.余弦定理：

[“b2+c2-a2

COSA=-------------,,

2bca2=∕√+0?一2∕?CCOSA

a-+c-b-I

<cosBn=---------------,=>∖Ao2=cr-∖-c~-2。CCOSB,

2ac

222

222c=a+h-2ahcosC.

「a+Z?-CI

cosC=--------------.

2ah

3•三角形面积公式：

:LaCSinB」（a+b+c）r（r为三角形ABC的内切圆半径）

SAABC=^absinC=gbcsinA二

22

4.三角形内角和定理:

在^ABC中，WA+B+C=Ti<=>C=7Γ-（A+B）O%—ɪ=2ɑ=2万一2（A+5）.

5.三角形中线问题

如图在ΔABC中，。为CB的中点，2AO=AC+A8,然后再两边平方，转A

化成数量关系求解！（常用）

6.角平分线

如图，在AABC中，AD平分乙BAC,角A,B,C所对的边分别为。，b,C

①等面积法

^ΛABC=SMBD+SΔADC

IIA1A

—AB×AC×sinA=-AB×AD×sin——ɪ--AC×AD×sin-（常用）

22222

②内角平分线定理：

ABACTABBD

----=------SZ-----=------

BDDCACDC

aAq

③边与面积的比值：

ɔADC

【常用结论】

①在ΔABC中，tz>∕?osinA>sinB<≠>A>B;

②Sin24=41128,则4=8毗+3=工.

2

③在三曲申数中，SinA>sinB=A>8不成立。但在二曲形中，SinA>sinBoA>B成立

二、基础知识过关

1.A。是ΛBC的边BC上的中线，若AD=g,BC=4,ZβQA=f,贝ILABC的面积为（）

6

A.√3B.2C.2√3D.4

【答案】A

【分析】根据△诙以及三角形面积公式即可求出.

S=2Sa<ro

【详解】Sλnc=2S.nn=2×-DB-DA-SinZBDA=2×-×2×y∕3×-=>β.

222

故选：A.

若的三个内角B,成等差数列，且边上的中线。=又则

2.ΔABCA,CBCA√7,AB=2,SAABC=

A.6B.3√3C.2√3D.3

【答案】B

【分析】三角形内角成等差数列，可求得B=60,利用余弦定理列方程可求得8。的长，由此得到BC的长,

利用三角形的面积公式可求得三角形面积.

【详解】因为A48C的三个内角A,B,C成等差数列，则8=60。，在AABC中，由余弦定理得:

AD-=AB-+BD2-2AB-BD-cosB,即7=4+Bb-2B。，所以80=3或-1（舍去），

可得BC=6,所以SiMBC=〈AbBC∙sinB=Jχ2χ6χ等=3√L故选B.

【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查利用余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基

础题.

3.在AABC中，8C边上的中线Af)长为3,且cos8=巫，COSNAOC=-L则AC边长为

84

A.4B.16C.√WD.√6

【答案】A

【详解】试题分析：COS8=把。sin8=^cosZADC=-ɪ.,.sinZADB=»

8844

邛曲黑=焉∙3232

.,.sinZBAD=Sin(Z)-JB)

ΔAE>C中，由余弦定理的χ=4

考点：1.三角函数基本公式；2.正余弦定理

4.在ΔASC中，3=120。，AB=g,角A的角平分线AO=G,贝IJAC=（）

A.√2B.毡C.√3D.√6

3

【答案】D

【分析】本题首先可根据正弦定理以及8=120。、AB=母、AD=G计算出ZAZ）B=45,然后根据AD是

角A的角平分线计算得出NBAC=30以及NC=3（）,最后利用正弦定理即可得出结果.

【详解】

如图所示，因为8=120。，AB=√2,AD=B

bhIADAB72

所以./解得SinNAD8=、一,∕ΛDB=45,

smBsɪnZADB2

因为AE＞是角A的角平分线，?BAD180-120-45=15,

所以N8AC=3(),?C兀-120-30=30,

AoAR

所以嗯解得AC=灰,故选D.

smπSinDC

【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查正弦定理公式的灵活使用，正弦定理公式为

Cl_b_C

2R,考查计算能力，是简单题.

sinAsinBsinC

5.已知ABC中，AB=6,AC=2,A3为/84C的角平分线，AD=B则ABC的面积为（）

A.2√2B.4√2C.3√2D.3√3

【答案】B

【分析】根据SABC=SAM>+Sg5利用三角形面积公式、倍角公式化简整理可得CoSe=立，再求sin。，代

3

入面积公式运算求解.

【详解】ΛBADΛCAD=θ

,：SABC=SABD+Sλcd,贝UJAB∙AC∙sinZBAC=∣AB∙AD∙sinZBAD+∣AD∙AC∙sinZCAD

即gx6x2xsin2O=gx6x√5xsin（9+gx2x百XSin6,∏I^√3sin2∕9=2sin∕9=2√3sin6>cos6*

Vsinι9≠0,贝IJCOSe=也

3

2

sin0=Vl-cosθ=,贝（jSAM=SARΓ,+SAm=-×6×j3×-^-+-×2×y∕3×^-=4夜

3ΛoCΛBLfACiz2323

故选：B.

6.在△ABC中，AB=4,AC=3,BC=5,则NA的角平分线AZJ的长为（）

A.3√2B.2C.D.—

74

【答案】C

【分析】由已知判断出一"C是直角三角形，求出CoSB,再利用余弦定理计算可得答案.

【详解】因为AB=4,4C=3,8C=5,所以A8?+AC?=,所以NBAC=伙），

4/?4ARAC

由已知得CoSB=黑=?,因为Ao是-A的角平分线，所以第=痣,

DCɔBDL/C

即---=---9所以---=------

BDDCBD5-BDBD吟

在AABD中，由余弦定理得

222

AD=AB+BD-2AB×BDcosZB=16+--2×4×-×-=-t

497549

所以正苧

故选：C.

二、填空题

7.在ΔABC中，已知CB=7,AC=8,43=9,则AC边上的中线长为

【答案】7

【分析】先利用余弦定理求得CoSA的值,再设中线,利用余弦定理求出中线的值.

4B2+AC2-8C292+82-72_2

【详解】由条件知:COSA=

2-AB-AC-2×9×8^3,

第AB2-2.^-.ABcosA

设中线长为X,由余弦定理知：X2=+

ɔ

=42+92-2×4×9×-=49

3

所以x=7.所以AC边上的中线长为7.

故答案为：7.

【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.

8.已知ΔABC的三个内角4,8,(:满足28=4+(7,且帅=1,8。=4,则8(7边上的中线4。的长为.

【答案】√3

【解析】根据三角形内角和定理可得B=60。,在MBD中根据余弦定理可得答案.

t详解】Y28=A+C,...A+B+C=3B=∖Sd,：.B=60.

•：βC=4,ΛBD=2.

:•在AABD中,A。=y]AB2+BD2-2AB∙BDcos600=√12+22-2×l×2cos60°=√3•

故答案为:百

【点睛】本题考查了三角形内角和定理,考查了余弦定理解三角形,属于基础题.

9.已知AABC中，AC=2,AB=3,NBAC=60。，AD是AABe的角平分线，则AD=.

【答案】巫

5

【分析】由SMJC=SMW+SΛΛQ,利用三角形面积公式可得关于AO的方程，从而可得结果.

.∖-×3×2sin60=-×3ADsin30+-×2AD×sin30,

222

.∙.AO=述，故答案为还.

55

【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，以及特殊角的三角函数，意在考查灵活应用所学知识解答

问题的能力，属于简答题.

10.在ABC中，ZA=60,NA的角平分线与BC边相交于O.AD=—,BC=√7.则AB边的长度为

5

【答案】2或3

【分析】分别求得4ΛBO∖ACD和；ABC的面积，利用等面积法可得A8+AC=0ABχ4C,利用余弦定

O

理，可得48χAC=6,联立即可得答案.

【详解】由题意得Sabd=—AB×AD×sin30=LAB=AB,

24510

Sacd=-AC×AD×sin30=lχc×^=-AC,

24510

Sλlic=-AB×AC×sin60=BABXAC,

'24

由S.C=SAw+SAS，RΓ⅜ɜʌʃɜ(AB+AC]=AB×AC,

104

所以AB+AC=9ABXAC,

6

又由余弦定理，AB*12+AC2-ABxAC=I,可得(43+AC)?-3ABχ4C=7,

25O

所以一(ABXAe)--34BXAC=7,解得ABXAC=6,

36

[AB=2]A3=3

又由ΛB+AC=5,可得&或“ɔ.

[AC=3[AC=2

故答案为：2或3

四、解题技巧实战

ɪ.4?C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.ABC的面积S=tanA,BC边上的中线长为√3.

⑴求。；

(2)求,A8C外接圆面积的最小值.

4

【答案】(l)α=2;(2)-.

【分析】(1)利用三角形面积结合已知求出根8SA,再借助向量数量积运算律、余弦定理求解作答.

(2)利用正弦定理及(1)中信息，结合均值不等式求出KBC外接圆半径最小值即可计算作答.

11qinA

LWMl(I)ABC的面积S=二人CSinA,又S=tanA,于是得不历SinA=^——,而OVAV乃，即SinA>0,

22cosA

因此hccoSA=2,

令边BC的中点为。，则线段AD是ABC的中线，有A£>=；(A8+4C),

因此4AD?=AB。+2Aδ∙AC+AC?，即有12=⅛2+c2÷2⅛ccosA,解得〃?÷c2=8,

由余弦定理得/=6+廿-2⅛'cosA,BPa2=8-4=4,解得。=2,

所以〃=2.

(2)设ΛBC外接圆半径为R,由正弦定理得W^=2R,即有R=J7,

SInASinA

241

由(1)知COSA=丁≥~~=-,当且仅当b=c=2时取等号，

betbξ+cr2

而OVA〈4，于是得O<A≤f,⅛0<sinA≤—,

32

1I2y∕3r-

因此而一耳=丁，当且仅当SinA=业，即A=W时取等号，

—2J

2

所以ABC外接圆面积最小值为%X(手)2=g-

2.△ABC中，角A8,C所对的边分别是α,0,c,2αcos8=2c+A,b=L

(1)求角A；

(2)若BC边的中线AZ)=且，求4ASC面积.

2

【答案】⑴A=?⑵3

【分析】(1)用正弦定理进行边化角得2sinAcos8=2sinC+sinB,再用三角恒等变换处理;

(2)利用向量AD=；(A8+AC),两边平方展开即可得出结果.

⑴由题意2qCOSB=2r+Z?与正弦定理可得2sinAcosB=2sinC+sinB,

由A+8+C=τr,可得sinC=sin[π-(A+β)J=Sin(A+B)=SinAcosB+CosAsinB.

代入整理得：2cosAsinB+SinB=0.

故CoSA=-g,可得A=等.

(2)VAD=∣(AB+AC),贝!∣AO?=：(AB+AC)，=-(/?2+c2+2⅛ccosA)

可得：c2-c—2=0,故c=2或C=-I(舍去)

1C

贝()△ABC5=-bcs∖nA=——・

22

3.在三角形ABC中，∕A,NB,NC的对边分别为〃，b,C.己知〃=历，b=3,NA=I20。.

(1)求一A5C的面积;

(2)/A的角平分线交边BC于点。，求Ao的长.

1ɔ

【答案】⑴3百；⑵y∙

【分析】(1)利用面积公式进行计算即可得解；

(2)将ΛBC由AD分成两个三角形，分别计算即可，或者利用三角形角平分线性质，再结合余弦定理即

可得解.

【详解】(1)a2=b2+c2-2⅛ccos?A,37=9+c2+3c,

2

C+3C-28=0,C=4(负值舍)，Sabc=^bcsinA=3y∕3.

(2)法1：由SAABC=Jx3x4SinI2(Γ=gχ3x4f)sin60t5+Jχ4χA£)sin60。

得AD=苗12.

法2：由三角形内角平分线定理，黑=若=：，BD=W后,

在三角形ASD中，根据余弦定理得(生篝)=AD2+42-2×AD×4COS600,

AD2-4AD+-^0,解得3葭或牛(舍去).

4.在.ABC中，A3=3,8C=4,线段5。是/3的角平分线，且S,皿=6.

(1)求SABCD-

(2)若ABAC=-,ZABD=α(α<二),求sin(2a+工)的值.

3126

【答案】(1)8；(2)纪亘.

16

SAB

【分析】(1)根据面积公式得到I=评,即可得解;

ɔBCD力C

(2)过点A作交83于点E,并延长AE交BC于点F,即可求出C尸，在AACR中，由正弦定理

得缶=煞，求出疝＞+。再根据三角恒等变换求出SiWa+专

【详解】解(1)QBD平分/A8C

.∙.ZΛBD=ZDBC

cɪAB∙BDsinZABDλπq

.SABD_2_AB3

SBCD工BD∙BCsinNDBCBC4

2

_4_

♦SBCD=个SABD=8

(2)如图，过点A作AEj交8。于点E,并延长AE交3C于点尸,

TT

在..ABE中，NBAE=-^--α,AE=3Sina

TTTT

:.ZEAD=--NBAE=--,AF=2AE=6sin1

36a

・∙.在中'由正弦定理得总正AF

sinC

I6sina

--------------=----------------4jζ

即.乃.C、兀、,所以sin(2]+)=6SinaSin(α一7)

sɪn(ɑ——)sm(2a+-)3τr6

63

所以sin(2a+ʒ-)=6sinezfsinacosɪ一cosαsin看]

所以sin(2ez+—)=3&sin2a-3sincrcosa=-cos2a--sin2a

3222

所以sin(20+马=3sin(20+Q

32I3J

..π3∖∣3

..Sin(26ZHι—)=-----

38

71、TtTl,ʌπ.y/37

乂τ7Ct<—,..20H—<一,二.cos(2tzH—)=-----

123238

.,.Sin(21+ɪ)=sin(2α+ɪ--)=sin(2α÷ɪ)cosɪ-cos(2α+—)sinɪ=-~~

636363616

五、跟踪训练达标

1.（2023春•四川成都•高三校联考期末）在斜三角形A8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满

足“sinA+4⅛sinCcos2A=⅛sinB+CSinC.

（1）求角A的大小；

（2）若α=2,且BC上的中线Ao长为√5,求斜三角形ABC的面积.

【答案】⑴Aq

⑵囱

【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角A的大小；

（2）根据为AZ）为BC上的中线得AO=；（AB+AC）,结合余弦定理求出从∙=4,进而求出面积.

【详解】（1）因为4114+4加拓。（：0024=加由8+与11。，

所以由正弦定理可得：a2÷4⅛ccos2A=lτ÷c2,

即4Z?CCoS2A=b2+c2-a2,

所以2COS2A=6+C2-"=COSA,又Aw∙J,所以COSA=1,所以4

Ibc223

（2）因为A0为BC上的中线，所以AO=g（A8+AC）,

即Ao=；（AB+AC）,所以4AZ∕i=ABOZTW∙AC+AC。，即］2=c?+2bccosA+/，

所以12=/+历+°2①，由余弦定理可得：cr=b2+c2-IhccosA,

所以4=∕+∕-6c②

①-②得：bc=4,所以S“阮.=；历SinA=G.

2.（2022春・河南周口•高一扶沟县第二高中校考阶段练习）设，ABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,

且cos8=逅,c=垃.

63

（1）若MBC的面积为与，求公

（2）若AC边上的中线8。=石，求SinA的值.

【答案】⑴括

⑵普

【分析】（1）由三角形的面积公式可求解;

(2)由B。为AC边上的中线，则有3D=；(3A+3C),可得。=2,再根据余弦定理及正弦定理可求解.

(1)因为CoSB=揖~,Bw(0,4)所以SinB=赵,

66

因为SABC=/，所以;。CSin3==，所以。=6.

(2)因为BZ)为AC边上的中线，所以BO=；(3A+8C),

贝!∣8炉=i(BA+BC)2=^BA2+2BΛBC+BC2)

因此IBr)H(C2+2CaCoSB+α2),Bβ5=-Iy+-α+α2I

化简得3α2+84-28=0,(α-2)(3a+14)=0,α>0,所以α=2,

-2cαcosB，解得"=空〃=酒，

由余弦定理6="+C2

33

2√ΣT

由-=~~7=~~^n~,解得SinA=

SinAsinBsinA√3014

^6^^

3.(2023春・广东广州•广东番禺中学校考阶段练习)45C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知

GaSinC-CCoSA=C・

⑴求A；

(2)若6=2c,点。为边BC的中点，且AO=√7,求.∙A3C的面积.

【答案M呜

(2)2√3

【分析】(D利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简求出A；

(2)因为AD为二ABC的中线，所以2AC=AB+AC,两边平方后利用向量的数量积公式进行求解，再代

入b=2c可解得c=2,)=4,再代入面积公式求解即可.

【详解】(1)由正弦定理，原式可化为GSinASinC-SineCoSA=SinC,

因为OeC<π,所以SinCW0,

化简得λΛsinA-COSA=1,即2sin(A-1)=1,sin(A-

662

XVA∈(0,π),：.--<A--<—；.A=~.

6663

(2)由点D为边BC的中点可知，AD=^(AB+AC),

.∙.AD2=^AB2+AC2+2AB-AC^,BP7=^-(c2+⅛2+26c∙cosA).

由题及(1)知，b=2c9A=p解得。=4,c=2.

∙φ∙,ABC的面积S=LXABXACXSinA=LX2X4X^^=26.

222

4.(2023春・福建三明•三明一中校考阶段练习)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是m仇c,且

(b—C)(Sin5+sinC)=(⅛-a)sinA.

⑴求C；

2

(2)若α=l,b=2,。在线段A8上，且满足Ao=WA8,求线段CD的长.

【答案】(l)C=g;

⑵迎

5

【分析】(1)根据正弦定理边角互化结合余弦定理即得；

(2)利用余弦定理可得AB=G，进而可得ZABC=然后根据勾股定理结合条件即得；或由题可得

CD=-CA^CB然后利用向量的模长公式结合数量积的运算律即得.

ɔ+ɔ9

【详解】(1)因为(A-C)(Sin8+sinC)=仅一α)sin4,

由正弦定理得，伍一c)仅+c)=(。一ɑ)ɑ,^a2+b2-c2=ab,

又由余弦定理得COSC==L且Ce(O,π),所以C=?；

(2)解法一：结合(1)由余弦定理得482=/=储+b2-2"cosC=3,即AB=ʌ/ɜ，

则^=∕+c2,所以NABC=

又AD=24B,即Ao=ZAB=毡，则BD=迈，

5555

则在Rt△(:即中，CD2=BC2+BD2=I2+=||,所以CD=2√13

-------;

5

232

解法二：因为AO=1A8,所以CO=gC4+gC8,

所以ICoI2=C02=[-CA+-CB↑=-CAL+—CACB+—CB2

11(55J252525

即3个

所以卜4=季∙

5.（2023・重庆・统考模拟预测）在ABC中，a,4c分别是ABC的内角A,B,。所对的边，且

h_a-c

sinA÷sinCsinB-SinC

(1)求角A的大小；

（2）记√1BC的面积为S,若BM=（MC,求包L的最小值.

2S

【答案】（I）Aq（2）∣√3

【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果;

（2）根据题意可得，AM=^AC+^AB,然后得到再由三角形的面积公式可得S,最后结合基本

不等式即可得到结果.

【详解】（D因为---------=——,即"O二任£=伫£

sinA+sinCSinB-SinCsinA+sinCb

由正弦定理可得，"£=££,化简可得a?="+。?—秘，

a+cb

且由余弦定理可得，a12=b2+c2-2bccosA,所以cos4=；,且A∈（θ,兀），所以A=（

所叫时=CAC+|呵盟AClTACI.网COSA+aA田山2+如2+/

∣21,2422/4.21

AM-b+—c-+—be-be+—be

1CI=999>99

且S=—⅛csinΛ=-z-bc,即

S

24——瓦be-——瓦be

44

λm

当且仅当?1=21，即8=2c时，等号成立.所以l∖-l∖=《86Γ

I)min

6.(2023春•全国•专题练习)锐角.∙ΛBC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,且‘一=tanB+tanC.

ccosB

⑴求角C的大小；

(2)若边¢=2,边AB的中点为O,求中线Co长的取值范围.

【答案】⑴E

4

(2)(√5,l+√2].

【分析】(I)结合同角三角函数基本关系以及正弦定理化简求解IanC=1,因为Ce(0,乃)，所以C=:；

(2)由余弦定理与正弦定理。^=；(4+2缶4=1+#•，然后结合三角函数性质求解其取值范围即可.

■、乂AT/＜、E、ta八sinAsinβsinC

【详解】(1)因为-----=tanB+tanC,所以一一-=--+--,

CCOSJDSinCcθSΠCOSBCOSC

即sinA_SinBcosC+SinCcosB_sin(B+C)_SirLA

SinCcosBcosθcosCCOSBCOSCCoSBcosC

又因AB∈(0,Æ),所以SinAW0,

又由题意可知COSBW0,

所以tanC=l,因为Ce(0,万)，所以C=?.

(2)由余弦定理可^c2=*4a2+h2-IabcosC=a2+b2-√2α⅛=4,

XCD=∣(CA+CB),

2122

贝!∣CZ∕=-(CA+CB)2-∖CA+CB'+2CACB

44

=；(/+〃+展劝=14+2√2α⅛)=1+避血

2

ab

由正弦定理可得=25/2,所以“=2及SinA>

sinAsinBsinC

b=2λ∕2sinβ=2∖∕2sin学-A)=2cosA+2sinΛ,

所以C浴=4√2sin2A÷4√2sinAcosA=4√2∙i；s2A+2^sin2λ

0<Λ<-

=4Sin(2A-0+2√Σ,由题意得<2M相π.π

2，解得:<A<7,

八3nAπ42

0<------A<—

42

则2A-?π3π∖

了彳),

所以Sinl2A-π(1e-y∙>l,所以"∈k√∑,4+2√f∣,

4

所以。户45,3+2近],所以中线CD长的取值范围为("1+√Γ∣∙

7.(2023•山东淄博・统考一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,满足(α+b+c)(α+b-c)=α∕>

(1)求角C；

(2)若角C的平分线交AB于点£>,且CD=2,求2α+6的最小值.

【答案】⑴5

⑵6+40

【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；

⑵利用正弦定理得到"=2(1+*方=2(当+1],然后利用基本不等式即可求解.

Isιnθ)ISlnA)

222

【详解】(D由(ɑ+6+c)(α+b—c)=αb可得：a+b-c=-ab,

由余弦定理知，COSC=)+从-，2=-处=」,又C∈(0,π)因此C==.

2ab2ab2'’3

CDADQ

(2)在AeD中，由SinA=.兀，得/1£)=〃-,

SmMSinA

CDBDI—∣-r—

在438中，由SinB一.兀，可得BO=所以C=A。+=*-+*-;

sin§sinBSinASinB

在ABC中，由W=号=，不，得_、=_勺=全白区，

sinAsɪnBsinCsinAsinB√3

~2

.<sinAA,JsinB八,..2sinASinB)

解ττ得xα。=21+—^,ft=2--+1,所以2。+〃=23+—+,

∖sinð√ISmAJIsinBsmA)

因为SinA>O,sinB>O,

所以2α+f3+2用X瞿>2(3+20)=6+40,当且仅当2—"时取等号,

因此为+6的最小值为6+4夜.

8.(2023春•福建三明•三明一中校考阶段练习)已知ABC的内角A,B,C的对边为α,b,c,且

3(sinA-sinB)_3c-Ih

sinCa+b

⑴求SinA；

⑵若..ABC的面积为g夜，求内角A的角平分线Ao长的最大值.

【答案】⑴平

⑵孚

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到cosA=g,进而求出sinA；

（2）由面积公式求出灰∙=4,由正弦定理得到当=黑，不妨设**=k,AC=m,得到加=4.

An

延长至点E,使得京厂二七连接CE,构造相似三角形，在"CE中，由余弦定理得到AO2,由基本不

DE

Q

等式求出AD2≤号，得到角平分线A。长的最大值.

3(a-b)3c-2b,即C?+〃一/=∙∣%C,

【详解】（1）由正弦定理，得

a+b

2,

故=上L

2bc2bc3

因为COSA>0,所以Ado,]

Γ-Γ2√2

所以SinA=Λ∕1-COS2A=1^9=~Γs

（2）由（1）知SinA=延，

3

因为ABC的面积为g√∑,所以g*sinA=g√Σ,解得历=4,

ABBD

在AABO中，由正弦定理，得

sinZADB~sinΛBAD,

ACCD

在A8中，由正弦定理，得

sinZ.ADCsinZ.CAD'

因为AD为角A的角平分线，所以SinNBAD=SinNCAD,

ADBD

XZADB÷ZADC=π,所以SinZAzW3=sinZADC,所以---=---,

ACDC

不妨设==左，AC=m,则AB=Am,⅛knr=4,

ΔΓ)

延长AD至点E,使得M=k,连接CE,

DE

贝展=黑=%，又乃B=NEDC,

DECD

所以aABXZ∖ECD,故NBAZ)=NE,—=⅛,

CE

则AB∕∕CK,CE=m9

则ZACE+ZBAC=π,cosZACE=-cosZBAC=,

2苏-11+“AD2

在“CE中'由余弦定理'得8SNACE=生*_L_d_=Λ'

2m23

Aa-8"8

因为切P=4,所以"，疗Y(1m21V

3[1+句3⅛+l6+iJ

其中工+=当且仅当即帆=2时，等号成立,

m216‰2162m-16

AD-«~~2娓

故3」+士，3,故3半.

(加162)

所以Ao长的最大值为友.

3

【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，

或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，

通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

9.（2022♦福建莆田•莆田华侨中学校考模拟预测）在ΛBC中，ΛB=2,AC=4,角A为钝角，ΛBC的面

积为2√L

(1)若。是BC的中点，求4。的长度；

(2)若AE为ΛBC的角平分线，求AE的长度.

【答案】(I)AO=百；

4

(2)AE=-.

【分析】⑴求出ZBAC=年，利用AO=ι(48+ACj求解；

IJT

(2)求出NBAE=NC4E=]N8AC=5,再利用S=S△.£+Sgn求解.

⑴解：'：AB=2,AC=4,ΛBC的面积为26,

：.sʌ.=-AB-ACsinABAC=ɪ×2×4×sinZBAC=2√3,

△ΛboCγ22,

sinZBAC=——>又NBAe为钝角，Z.BAC-――,

23

：D是BC的中点，：.AD=^AB+ACy；.AD=^AB+AC^,

2

×AB=2,AC=4,ZBAC=y,Λ∣λd∣=4+16+2A⅛∙AC=3j：.AD=拒.

(2)解：TAE为ΛBC的角平分线，

：.NBAE=NCAE=-ZBAC=-,

23

因为S△的=SAABE+SMCE，所以TABAESinq+gAC∙AEsin5=2百,

即,x2AEx且+Lχ4AEx巫=26，所以4E=g.

22223

10.(2022秋・江西九江・统考期末)ABC中，三内角A,B,C所对的边分别为α",c,已知“cos5+>=c.

⑴求角A；

⑵若c=2,角A的角平分线AO交BC于。，AO=±3,求".

3

【答案】(I)A=?

(2)a=2√3

【分析】(D根据正弦定理统一为三角函数化简即可求解;

(2)根据角平分线建立三角形面积方程求出b,再由余弦定理求解即可.

⑴