平面向量-2023上海市高三数学一模汇编【教师版】

2023一模汇编【平面向量】

一、填空题

L【黄浦4】已知向量〃=(-九1,3),⅛=(2,H,1),若】〃力,则加7的值为.

【答案】-2【解析】N=2

2n1

2.【长1!4］设向量0,b满足IαI=［,a∙b=2，则α，+.

【答案】3

【提示】d∙{d+b^=d2∙jrd∙b=∖+2=3

3.【杨浦6】向量α=(3,4)在向量b=(l,())上的投影的坐标为.

【答案】(3,0)

【解析】投影的坐标为"∙2=(3,0)

闻闻

4.【松江7】己知向量a=(5,3),b=(-1,2),则α在b上的投影向量的坐标为.

ɪ2

【答案】

5,5

【解析】向量4=(5,3),b=(-1,2)

---4在人上的投影向量的坐标为■,高=表∙%=g(-i,2)=(-g令

5.【宝山8］已知平面向量6满足忖=3,W=4,则2a+b在a方向上的数量投影的最小值是,

【答案】2

【解析】因为2a+6在a方向上的数量投影为

所以当(2a+^)∙a最小时，数量投影取得最小值

设(a,"=。，则Qa+6)∙a=21+〃力=2卜，WCOSe=I8+12cos，

因为-l≠fcosθ1,则当CoSe=-I时，仅a+b)∙a=18+12cose有最小值6

所以,2a+6在a方向上的数量投影的最小值是Γ2

置投影是则闸（丸∈）的最小值

6.【徐汇10】在ΔABC中,AC=4,且AC在AB方向上的数$—2,|BC—4R

【答案】2√3

，取则；。，

[zIbJ根据AC在48方向上的数量投影先求出ZBAC=I20XBA=30,BC-IBd=I4

即求I。Cl的最小值，过点C作AB的垂线即可求得.

【解析】AC在AB方向上的数量投影是一2

.,.IAC∣cosZBAC=-2

AC=4

∙,∙COSZ.BAC=——■=>ABAC=120

2

记XBA=BZ),则∣BC-λBA∣=∣BC-BD∣=∣DC∣

求,。一484|（；1∈R）的最小值即求IDel的最小值

过点C作AB的垂线交AB于点Q，此时IDC∖最小

如图所示，Qq=kqsinNC4D=4x*=2jJ

19

7.【浦东10]如图，在VABC中，点。、E是线段BC上两个动点，且A。+AE=KAB+yAC,则一十一

Ry

的最小值为_______.

【答案】8

//\\

【解析】:B。、C共线，。在线段BC上

//\\

.・与九€[0,1],使得4。=/148+(1—>04。

//\\

:B、E、C共线，E在线段BC上

g

.∙.m"∈[0J,使得AE=〃A3+(1-〃)AC----------------i-----------M

代入AD+AE=xAB+yAC,BDEC

X=λ+μ

得/IAB+(1-；I)AC+μAB+(1-〃)AC=xAB+yAC=■=X+y=2,且x,y>0

[y=2-λ-μ

19119..、IrlC∕9xy1八八

=>—I—=—(z—I—)(x+y)=—[1+9+(-----1—x)]ι≥—(10+6)=8

Xy2Xy2yx2

■j「LE、1〜fV,4uuaɪUUIΠUlHlUUUUIUIlUUnLIllUUUUK

8.【黄浦11］已知四边形ABCD是平仃四边形，若AO=2DE，BFBE`AFBE=O且AF∙AC=6(),

则混在器上的数量投影为.

【答案】10

【解析】如图，作CG_LAE,垂足为G

AACLACCnAEAO3

∙.∙AADE≈ACOB.,.——=——=-

BCOC2

ApΔ∩QQ

又∙.∙AA尸O≈ΔAGC/.—=-=-≡>AF=-AG

AGAC55

UUUUUn3UUinUUB3UL≡∣IUUDI3∣∣UUUU≡B∣2∣2∣uu≡∣2IUtnir.

QAQAC=60.•・二AG∙AC=60=1AGHAqcose=二叫=60=>AG=IOOnAG=IO

555

9.［崇明11］在边长为2的正六边形ABCCEF中，点P为其内部或边界上一点，则ADBP的取值范围

为

【答案】［-4,12］

［利用数量积的几何意义去求Ao∙BP的取值范围即可解决.

［解析］正六边形ABCDEF中，过点8作33'J_AD于8'，则=4,哂=3,两=1,

AD-BP=IADl•网CoS(AD,BP

AD∣∙∣B,A

∙'∙-≤回∙wCoS(A。,幽≤AoH叫，

CoS(AaBKWl2,故.的取值范围为［~4,12］.

即T≤河■向adbp

10∙【闵行12】已知平面向量a、b、C和实数义满足忖=W=Ia+4=2,

(a-Λc)∙(⅛+2c)≥0,则∣a-Xc∣+卜+Xc∣的取值范围是

【答案】［2,2√2］

根据,I=W=Ia+H=2,可得",力=年，利用平面直角坐标系,

【分析】

则取a—OA=(2,0),6=OJB=(-1,G),设G=(a,Z?),

结合已知条件可得”=-屏，-且」≤劝≤-@+L

2222

，故可得的取值

利用平面向量的坐标运算可得Ia-λc∖+∖b+Λc∣24λb+Ia-Xd

范围.

【解析】因为卜I=W=Ia+0=2,所以,+/?P=22=>a2+2α∙⅛+⅛2=4

即4+2a2+4=4--2,于是有，今二篇-2_1

~2^2~~2

因为(α")∈[θ,π],所以(α,"=g

法一：如图所示，在平面直角坐标系中取A(2,0),B(T⑹

JLX

则α=OA=(2,0),b=OB=^-l,ʌ/ɜj,设W=(α,))1

a∙c+h∙c=Q.∙.(α+B)∙c=0n(l,G)∙(α,b)=α+68=0=α=->∕5'b,即1=(一6匕力)

因为(a—Xe).仅+4c)≥0,所以((2,0)-1G劝,训)•((一1,6)+卜百劝,劝))20

=>(2+√3∕½,-∕½)∙(-l-√3∕½,√3+∕½)≥0=>-2-2√3^-⅛⅛-3Λ2⅛2-√3∕^-Λ⅛2>0

=>-4λ2b2-4√32⅛-2≥0=>2λ1b2+2√3Λ⅛+l≤0,解得一L<∕L8≤—3+!

2222

2

,4(劝)2+46心+4+M劝Y+4底Ib+4=4λ∕(Λ⅛)+√3λ⅛+l=/(彻

••・对称轴：助=—旦且YT)+(/+；)=也

2

2^^^T

；./(劝)∈[/(-ɪ),/(ɪʃ)]=[4%∣+1,4+2^二]=[2,2√2]

故,一/14+|6+/14的取值范围是[2,2血]

77

法二：如图，得ZAOE=BoE=m,故四边形Q4E8为菱形

a∙c+h∙c=O:.(^+Z7)∙c=O=>OE±c

设50=C4=Xc,则Q-XC=OC1)+λc=OD

(a-λc∖(b+