高等数学第九章三重积分

高等数学第九章三重积分第1页，课件共30页，创作于2023年2月三重积分一、三重积分的概念

1．定义:

2．物理意义:

的空间物体的质量。表示体密度为

第2页，课件共30页，创作于2023年2月二、三重积分的性质

1.线性性质：

2.可加性：

4.单调性：若在上，，则

3.的体积：

第3页，课件共30页，创作于2023年2月5．估值性质：的体积，则在上至少存在一点，使得

6.中值定理：设函数在闭区域上连续，是

,则7.奇偶对称性：关于xoy面对称，为z的奇函数关于xoy面对称，为z的偶函数第4页，课件共30页，创作于2023年2月三、三重积分的计算方法

1．利用直角坐标计算

（1）“先一后二”法

则

（2）“先二后一”法

其中是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则

若为在面上的投影区域若第5页，课件共30页，创作于2023年2月2．利用柱面坐标计算若

3．利用球面坐标计算若

则

则

第6页，课件共30页，创作于2023年2月四、三重积分的解题方法计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标

三种坐标计算。通常要判别被积函数和积分区域

所具有的特点。如果被积函数

积分区域的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果

被积函数，则可采用先二后一法计算；如果

被积函数，积分区域为柱或的投影

是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备，

则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：第7页，课件共30页，创作于2023年2月利用球面坐标计算先一后二的方法YesNoNoYes转化为三次积分先二后一的方法求D1及截面面积求确定上顶曲面下顶曲面为柱或投影为圆域投影为圆域利用柱面坐标计算

确定上顶曲面下顶曲面利用直角坐标计算YesNo1231112解题方法流程图第8页，课件共30页，创作于2023年2月五、重积分的应用

1．几何应用2．物理应用（1）质量

（2）质心，，

（3）转动惯量

空间立体的体积:曲面的面积:第9页，课件共30页，创作于2023年2月六、典型例题【例1】设有一物体，占有空间闭区域在点处

的密度为，计算该物体的质量。分析由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为

。故只需计算三重积分即可。而积分区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。

解:由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为第10页，课件共30页，创作于2023年2月分析由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应考虑利用直角坐标计算；即按照框图中线路111的方法计算。

解:（如图）在平面上的投影域.

的上顶曲面为，即：。

【例2】计算三重积分。其中为平面，

，，，所围成的四面体。

下顶曲面为。

于是，得第11页，课件共30页，创作于2023年2月【例3】计算三重积分。其中是由曲面

与平面，及所围成的闭区域。

分析由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、柱面

坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标来计算，即按照框图中线路111的方法计算。

第12页，课件共30页，创作于2023年2月解:(1)求（如图）在平面上的投影区域为(2)确定上顶曲面及下顶曲面。(3)转化为先对后对的三次积分计算：因为当时满足，,。因此第13页，课件共30页，创作于2023年2月【例4】计算三重积分。其中是由曲面

及平面所围成的闭区域。

分析由于积分区域在坐标面上的投影区域为圆域

且被积函数中含有，所以可采用柱面

坐标计算，即按照框图中线路112的方法计算比较简单。

解：积分区域的如图所示。在柱面坐标下故有

第14页，课件共30页，创作于2023年2月【例5】计算三重积分.其中是由锥面

与平面所围成的闭区域。

被竖坐标为的平面所截的平面闭区域为圆域

故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法，即按照框图中面上的投影区域为圆域，所以本题也可采用柱面坐标计算，即按框图中线路112的方法计算。

解法1：利用“先二后一”方法计算。由于，

线路3的方法来计算比较简便；考虑到积分区域在坐标

分析由于被积函数只与变量有关，且积分区域

第15页，课件共30页，创作于2023年2月其中，故

解法2：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下

故有

注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但“先二后一”法相对简便。第16页，课件共30页，创作于2023年2月【例6】计算三重积分，其中是由圆锥面

与上半球面所围成的闭区域。

分析同上题的分析，本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面坐标方法进行计算。

解法1：利用“先二后一”方法计算。因

由于当时，；

而当时，。

第17页，课件共30页，创作于2023年2月故需用平面将积分区域划分为两部分：其中于是，得第18页，课件共30页，创作于2023年2月解法2：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下故有注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。第19页，课件共30页，创作于2023年2月【例7】求，其中是由球面

所限定的球域。分析由于积分区域是由球面所围成的球域，且被积函数线路2的方法计算比较简单。

在球面坐标系下，中含有

，故本题利用球面坐标计算，即框图中解：积分区域的图形如图。第20页，课件共30页，创作于2023年2月故有

分析由于积分区域是由两个球面及平面所围成的球壳体，故

【例8】计算三重积分。其中是由球面

和平面所确定的闭区域。

本题利用球面坐标计算，即框图中线路2的方法计算比较简单。第21页，课件共30页，创作于2023年2月解：积分区域的图形如图。在球面坐标系下

故有

【例9】计算三重积分。其中是两个球体

及的公共部分。

第22页，课件共30页，创作于2023年2月计算，即框图中线路2和线路1→12的计算方法。但由于被积

又满足框图中线路3的条件，故亦可用“先二后一”法来求解。解法1：利用球面坐标计算。用圆锥面将分成两部分分析由于在平面上的投影区域为圆域（如图），且

的边界曲面是球面，故很容易联想到用球面坐标和柱面坐标函数而的截面面积又非常容易求,因此，

其中第23页，课件共30页，创作于2023年2月于是，得解法2：利用柱面坐标计算。由于在平面的投影区域

；故在柱面坐标下，第24页，课件共30页，创作于2023年2月于是有第25页，课件共30页，创作于2023年2月解法3：用“先二后一”法计算。用平面将积分区域划分为两部分：，其中

于是，得注：从上面三种解法的计算过程中不难发现，虽然此题可用三种方法来求解，但其中的“先二后一”法最为简便。第26页，课件共30页，创作于2023年2月【例10】设，计算，

分析由于积分区域关于面对称，而函数关于变量为奇函数，所以，又，故本题可利用对称性及积分的性质计算。

解：

第27页，课件共30页，创作于2023年2月【例11】*计算三重积分。其中为：

分析由于被积函数中含有绝对值，所以应首先考虑如何去掉绝对值注意到积分区域关于三个坐标面均对称，同时被积

可将所求的三重积分简化为如下积分

其中为在第一卦限内的区域。而积分可在直角

解：设

函数关于都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，坐标系下采用先对后对的

“先二后一”的方法计算。在投影区域为：第28页，课件共30页，创作于2023年2月由于积分区域关于三个坐标面均对称，同时被积函数注：若本题用球面坐标法计算，尽管积分限很简单，但被积函数的积分却不易求得。

关于都为偶函数，故由三重积分的对称性结论，得【例12】*设连续，