高等数学一致收敛

高等数学课件一致收敛2024/3/23同济版高等数学课件第1页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛区间上的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点.例如,级数每项在[0,1]上都连续,其前n项之和为和函数该和函数在x＝1间断.第2页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件因为对任意x都有:所以它的收敛域为(

,

),但逐项求导后的级数其一般项不趋于0,所以对任意x都发散.又如,函数项级数问题:对什么样的函数项级数才有:逐项连续和函数连续;逐项求导=和函数求导;逐项积分=和函数积分第3页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件定义.设S(x)为若对都有一个只依赖于

的自然数N,使当n>N时,对区间I上的一切x都有则称该级数在区间I上一致收敛于和函数S(x).在区间I上的和函数,任意给定的

>0,显然,在区间I上一致收敛于和函数S(x)部分和序列一致收敛于S(x)余项一致收敛于0第4页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件几何解释:(如图)当n>N时,曲线总位于曲线之间.第5页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件例1.研究级数在区间[0,+∞)上的收敛性.解:第6页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件余项的绝对值:因此,任给

>0,取自然数则当n>N时有这说明级数在[0,+∞)上一致收敛于第7页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件例2.证明级数在[0,1]上不一致收敛.证:取正数对无论多么大的正数N,因此级数在[0,1]上不一致收敛.第8页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件说明:对任意正数r<1,级数在[0,r]上一致收敛.事实上,因为在[0,r]上任给

>0,欲使只要因此取只要即级数在[0,r]上一致收敛.第9页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出这往往比较困难.下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数在区间I上满足:则函数项级数在区间I上一致收敛.简介第10页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件证:由条件2),根据柯西审敛原理,当n>N时,

对任意正整数p,都有由条件1),对x∈I,有故函数项级数在区间I上一致收敛.证毕第11页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件推论.若幂级数的收敛半径R>0,则此级数在(－R,R)内任一闭区间[a,b]上一致收敛.证:则对[a,b]上的一切x,都有由阿贝尔定理(第三节定理1)级数绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.说明:若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛区间可包含此端点.证毕

第12页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件例3.证明级数在(

,

)上一致收敛.证:而级数收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在(

,

)上一致收敛.第13页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收敛性,而且能判别其绝对收敛性.当不易观察到不等式可利用导数求例如,级数用求导法可得已知收敛,因此原级数在[0,

)上一致收敛.第14页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件二、一致收敛级数的基本性质定理1.若级数证:只需证明由于第15页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件因为级数一致收敛于S(x),使当n>N时,有对这样选定的n,从而必存在

>0,从而得证毕第16页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件说明:(1)定理1表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限求和运算可交换,即有(2)若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数在区间[0,1]上处处收敛,而其和函数在x=1处不连续.第17页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件定理2.若级数则该级数在[a,b]上可逐项积分,且上式右端级数在[a,b]上也一致收敛.证:因为第18页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件所以只需证明对任意

一致有根据级数的一致收敛性,使当n>N时,有于是,当n>N时,对一切

有因此定理结论正确.证毕第19页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件说明:若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数它的部分和因此级数在[0,1]上收敛于S(x)=0,所以但是①对级数①定理结论不成立的原因:第20页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件级数①的余项可见级数①在[0,1]上不一致收敛,此即定理2结论对级数①不成立的原因.①第21页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件定理3.若级数且可逐项求导,即证:先证可逐项求导.根据定理2第22页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件上式两边对x求导,得再证根据而定理2第23页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件所以级数一致收敛并不保证可以逐项求导.例如,例3中的级数说明:在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数其一般项不趋于0,所以对任意x都发散.证毕第24页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件例4.证明函数对任意x有连续导数.解:显然所给级数对任意x都收敛,且每项都有连续导数,而逐项求导后的级数故级数②在(

,

)上一致收敛,故由定理3可知②再由定理1可知定理1定理3第25页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件定理4

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若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即证:

•由维尔斯特拉斯判别法的推论及定理1,2可知和函数连续、级数逐项可积；

•级数逐项可导分两步证：内收敛.第26页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件则由比值审敛法知因此存在M>0,使得由比较审敛法可知从而在(

R,R)内任一闭区间上一致收敛,故原级数上满足定理3条件,定理3第27页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件从而可逐项求导,再由[a,b]的任意性,即知再证的收敛半径R=R.前面已证定理3逐项积分,得证毕因逐项积分所得级数的收敛半径不会缩小,综上所述第28页，课件共30页，创作于2023年2月2024/3/23同济版高等数学课件幂级数(－R,R)内有任意阶导数,且有其收敛半径都为R.推论:的和函数S(x)在收敛区间作业P2991;3(2);4(2),(4),(5)第七节第29页，课件共30页，创作于2023年2月维尔斯特拉斯