历年高考数学（理）知识清单-专题12 空间的平行与垂直（考点解读）（原卷+解析版）

专题12空间的平行与垂直考情解读1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适2.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等.3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现.重点知识梳理1．点、线、面的位置关系(1)平面的基本性质名称文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈lB∈l⇒A∈lB∈αA∈B∈α公理2过不在一条直线上的三点有且只有一个平面则A、B、C在同一平面α内且α是唯一的.公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.平面α与β不重合，若P=a，且P∈a(2)平行公理、等角定理等角定理：若OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB=∠A1O1B1或∠AOB+∠A1O1B1＝180°.2．直线、平面的平行与垂直定理名称文字语言图形语言符号语言理平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行=b，⇒a∥b理如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β且γ∩α=a且γ∩β=b⇒a∥b理一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直A，l⊥a，l⊥b⇒l理垂直于同一平面的两条直线平行理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直β理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直=a，b⊥a⇒b⊥α3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.【误区警示】1．应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件.2．作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图．注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化.a‘c3．若a、b、c代表直线或平面，‘代表平行或垂直，在形如a‘b⇒b‘ca‘c些是成立的，有哪些是不成立的．例如a、b、c中有两个为平面，一条为直线，命题a⊥α⇒α∥的.a∥α⇒α高频者点突破高频考点一空间中点、线、面的位置例1．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，‘ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【举一反三】已知m，n是两条不同直线，α,β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α,β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α,β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【变式探究】已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()4【举一反三】已知两个平面相互垂直，下列命题中，①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题个数是()高频考点二空间中平行的判定与垂直例2．由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.【变式探究】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC=CD＝AD，E为AD的中点．(1)求证：PA⊥CD.(2)求证：平面PBD⊥平面PAB.【变式探究】如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点.(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.【变式探究】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.高频考点三平面图形的折叠问题例3、如图①,在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°,AB＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图②所示，点E，F分别为棱PC，CD的中点.(1)求证：平面OEF∥平面PAD；(2)求证：CD⊥平面POF；(3)若AD＝3，CD＝4，AB＝5，求三棱锥ECFO的体积.【举一反三】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.6(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值.【变式探究】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AEOD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积.【方法技巧】平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.【变式探究】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且＝.将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示.7(1)求证：GR⊥平面PEF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P－DEF的内切球的半径.真题感悟1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α,β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为() 682.（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°,A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.(Ⅰ)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.3.（2018年北京卷）如图，在三棱柱ABC-AB1C1中，平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2.(Ⅰ)求证：AC⊥平面BEF；(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值；(Ⅲ)证明：直线FG与平面BCD相交.4.（2018年江苏卷）在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证1）ABI平面A1B1C；9B（2）平面ABB1,A1±平面A]BC.B1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()ABCD2．(2017·山东卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.3.【2017江苏，15】如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC.AAEFDC(第15题)专题12空间的平行与垂直考情解读1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适2.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等.3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现.1．点、线、面的位置关系(1)平面的基本性质名称文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈lB∈l⇒A∈lB∈αA∈B∈α公理2过不在一条直线上的三点有且只有一个平面则A、B、C在同一平面α内且α是唯一的.公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.平面α与β不重合，若P=a，且P∈a(2)平行公理、等角定理等角定理：若OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB=∠A1O1B1或∠AOB+∠A1O1B1＝180°.2．直线、平面的平行与垂直定理名称文字语言图形语言符号语言理平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行=b，⇒a∥b理如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β且γ∩α=a且γ∩β=b⇒a∥b理一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直A，l⊥a，l⊥b⇒l理垂直于同一平面的两条直线平行理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直β理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直=a，b⊥a⇒b⊥α3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.【误区警示】1．应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件.2．作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图．注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化.a‘c3．若a、b、c代表直线或平面，‘代表平行或垂直，在形如a‘b⇒b‘ca‘c些是成立的，有哪些是不成立的．例如a、b、c中有两个为平面，一条为直线，命题a⊥α⇒α∥的.a∥α⇒α∥高频考点突攻高频考点一空间中点、线、面的位置例1．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，‘ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】取CD的中点O，连接ON，EO，因为‘ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EOON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MPCP=，所以BM2＝MP2＋BP2＝()2＋()2＋22＝7，得BM所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.【举一反三】已知m，n是两条不同直线，α,β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α,β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α,β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【解析】对于A，α,β垂直于同一平面，α,β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α,β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α,β交线的直线平行于β,故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确.【答案】D【变式探究】已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()【解析】对于选项A，若m∥α,n∥α,则m与n可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；与α相交．D错误．故选B.【答案】B【举一反三】已知两个平面相互垂直，下列命题中，①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题个数是()【答案】C【解析】构造正方体ABCD-A1B1C1D1，如图，①,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；②,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故②正确；③,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；④,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故④错．故选C.高频考点二空间中平行的判定与垂直例2．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.【证明】(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD-A1B1C1D1为四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD.因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.【变式探究】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC=CD＝AD，E为AD的中点.(1)求证：PA⊥CD.(2)求证：平面PBD⊥平面PAB.证明：(1)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，又因为PA⊥AB，所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.(2)由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，又CD⊥AD，BC＝CD，所以四边形BCDE是正方形，连接CE(图略)，所以BD⊥CE，又因为BC∥AE，BC＝AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以CE∥AB，则BD⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PA∩AB＝A，则BD⊥平面PAB，且BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAB.【变式探究】如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点.(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.【解析】(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点.在ΔA1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1丈平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.同理AD1∥DC1.A1D1DC=D1C1AD.【变式探究】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.高频考点三平面图形的折叠问题例3、如图①,在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°,AB＝BC.把ΔBAC沿AC折起到ΔPAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图②所示，点E，F分别为棱PC，CD的中点.(1)求证：平面OEF∥平面PAD；(2)求证：CD⊥平面POF；(3)若AD＝3，CD＝4，AB＝5，求三棱锥E-CFO的体积.【解】(1)证明：因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC.由题意知O是AC的中点，又点E是PC的中点，所以OE∥平面PAD.同理，OF∥平面PAD.又OE∩OF＝O，OE，OF⊂平面OEF，所以平面OEF∥平面PAD.(2)证明：因为OF∥AD，AD⊥CD，所以OF⊥CD.又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，所以PO⊥CD.又OF∩PO＝O，所以CD⊥平面POF.而点O，F分别是AC，CD的中点，由题意可知△ACP是边长为5的等边三角形，2即点P到平面ACD的距离为，又E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为，【举一反三】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36，求a的值.【解析】(1)证明：在题图1中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD=，所以BE⊥AC.即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由图1知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BE·OC＝a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，【变式探究】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AEOD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积.【解析】(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得故AC∥EF.由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)由EF∥AC得.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4.所以OH＝1，D′H＝DH＝3.于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由＝得EF＝.五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝××2＝.【方法技巧】平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.【变式探究】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且＝.将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示.(1)求证：GR⊥平面PEF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P－DEF的内切球的半径.【解析】(1)证明：在正方形ABCD中，∠A，∠B，∠C为直角.∴在三棱锥P－DEF中，PE，PF，PD两两垂直.∴PD⊥平面PEF.∴GR⊥平面PEF.(2)正方形ABCD边长为4.由题意知，PE＝PF＝2，PD＝4，EF＝2，DF＝2.设三棱锥P－DEF内切球的半径为r，则三棱锥的体积VP－DEF＝××2×2×4＝(S△PEF＋2S△DPF＋S△DEF)·r，解得r＝.∴三棱锥P－DEF的内切球的半径为.1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α,β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行【答案】B【解析】对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EOON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MPCP=，所以BM2＝MP2＋BP2＝()2＋()2＋22＝7，得BM所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()【答案】C．如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AB2AA1AD122＋2DB1所以OM＝AD1AB2=1，OD＝DB1于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.2.（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°,A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.(Ⅰ)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.【答案】(Ⅰ)见解析【解析】方法一：所以.故AB1±A1B1.由BC=2，BB1=2,CC1=1,得B1C1=S，由AB=BC=2,2ABC=120°得AC=25，因此AB1⊥平面AB1C1.(Ⅱ)如图，过点C1作，交直线AB1于点D，连结AD.由AB1⊥平面AB1C1得平面AB1C1±平面ABB1，由得CD1平面ABB1，所以2C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.所以，故.因此，直线与平面ABB1所成的角的正弦值是.3.（2018年北京卷）如图，在三棱柱ABC-AB1C1中，平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2.(Ⅰ)求证：AC⊥平面BEF；(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值；(Ⅲ)证明：直线FG与平面BCD相交.【答案】(1)证明见解析(2)B-CD-C1的余弦值为(3)证明过程见解析【解析】(Ⅰ)在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形.又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF.∵AB=BC.∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF.(Ⅱ)由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.∵BE⊂平面ABC，∴EF⊥BE.如图建立空间直角坐称系E-xyz.设平面BCD的法向量为n=(a,b,c)，∴平面BCD的法向量n=(2，-1，-4)，又∵平面CDC1的法向量为，由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为.(Ⅲ)平面BCD的法向量为n=(2，-1，-4)，∵G（0，2，1F（0，0，2∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交.4.（2018年江苏卷）在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证1）ABI平面A1B1C；（2）.【答案】答案见解析【解析】证明1）