高数微分方程应用

高数微分方程应用1第1页，课件共33页，创作于2023年2月例7.2.1求微分方程的通解解:分离变量两边积分得所以例7.2.2求初值问题的特解.解:将已给方程分离变量两边积分得将代入得所以特解为2第2页，课件共33页，创作于2023年2月补充例题:1.解:当时,是方程的解.是奇解当时,分离变量两边积分得3第3页，课件共33页，创作于2023年2月2.在化学动力学中,用单位时间内反应物浓度的减少量或反应生成物的增加量表示反应速度,若反应速度与当时反应物的浓度成正比,则称为一级反应.设在时刻反应物的浓度为,初始浓度为,求反应物浓度随时间的变化规律.解:依题意列出微分方程分离变量得通解当时,初始浓度为得时间为半衰期.4第4页，课件共33页，创作于2023年2月2.齐次微分方程:方程的解法:通常是通过变换,把齐次方程化为可分离变量微分方程,求解.是的连续函数()定义:形如的微分方程称为齐次方程.┄(7.2.2)令代入(7.2.2)式得分离变量积分得5第5页，课件共33页，创作于2023年2月例7.2.3解方程解:原方程可写为设两端积分令得或6第6页，课件共33页，创作于2023年2月解:令得两边积分得所以通解为例7.2.4求方程的解7第7页，课件共33页，创作于2023年2月定义:形如的方程称为一阶线性微分方程.当时,称为一阶线性齐次方程.当时,称为一阶线性非齐次方程.一阶线性齐次微分方程的通解:分离变量两边积分所以通解为(为任意常数)3.一阶线性微分方程8第8页，课件共33页，创作于2023年2月积分得是的一个函数,所以令其等于则非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解:在的两边同时除以得9第9页，课件共33页，创作于2023年2月“常数变易法”通常把齐次方程通解中任意常数变易为待定函数的求解方法,称为常数变易法.求设是方程的解─①10第10页，课件共33页，创作于2023年2月代入①式得所以非齐次方程的通解为11第11页，课件共33页，创作于2023年2月例7.2.5解方程解法1:“用常数变易法”先解对应的齐次方程齐次方程的通解:代入方程得用常数变易法设或所以原方程的通解为12第12页，课件共33页，创作于2023年2月解法2:通解为13第13页，课件共33页，创作于2023年2月例7.2.6求的通解(以为未知函数的一阶线性非齐次方程.)方程的通解为解:14第14页，课件共33页，创作于2023年2月伯努利方程的解法:将方程的两边同除以得令则4.伯努利方程定义:形如的方程称为伯努利方程.其中为常数.当时,为可分离变量微分方程.当时,为一阶线性非齐次微分方程.15第15页，课件共33页，创作于2023年2月代入方程得是以为未知函数的一阶线性非齐次微分方程.代入通解即可.16第16页，课件共33页，创作于2023年2月例7.2.7求方程的通解.解:方程两边同除以得令代入上式得方程的通解为原方程的通解为17第17页，课件共33页，创作于2023年2月例题:一容器内盛有清水90升,现将每升含盐量为4克的盐水以每分钟6升的速率注入容器,不断搅拌使混合液迅速均匀，并以没分钟３升的速率流出容器，问在时刻容器的含盐量是多少？解：设在时刻，容器内含盐量为，在时间内盐的改变量）（相应设注入与流出的盐的量分别为平均变化率当时时刻的瞬时改变速度升分18第18页，课件共33页，创作于2023年2月即：容器内某个量的变化率＝注入量的变化率－流出量的变化率整理得代入通解公式求解.19第19页，课件共33页，创作于2023年2月一室模型：把机体当着一个动力学上的同质单元，使用于给药后，药物瞬即分布到血液及其他组织中，并达到动态平衡．表室的容积，通常称为药物的表面分布容积．为时间时体内的药量入出分别表示药物给药和消除速率．药物动力学室模型:为了揭示药物在体内的动力学规律，便于用数学方法处理，在药物吸收，分布代谢动力学中，广泛采用简化的室模型来研究药物在体内的和排泄的时间过程.给药消除出入20第20页，课件共33页，创作于2023年2月一室模型的一般动力学方程为＝入－出①通常假定消除是一级速率过程，即出②其中为一级速率常数.将②代入①有机体内药量的变化规律由给药速率入而定.＝入③单位时间内室中药物的变化率等于输入与输出之差．21第21页，课件共33页，创作于2023年2月按三种给药途径建立相应的一室模型快速静脉滴注在快速静脉注射情况下,可以认为一个剂量是瞬时输入到房室内的,没有吸收过程,因为入=0,这时体内药量减少的速度与当时体内药量成正比,初始条件为.所以由③式得解之，并代入初始条件，得④描述了快速静脉注射后，机体内的药量随时间的变化规律.因为血药浓度由方程④两边同除得血药浓度随时间的变化规律,即22第22页，课件共33页，创作于2023年2月其中表示初始(时)血药浓度.恒速静脉滴注以恒定速率作静脉给药时,入初始条件为,所以由③式得,解方程得两边同除以得血药浓度随时间的变化规律为口服或肌肉注射在这种给药情况下,大多数药物输入室内(吸收入血)的过程可作为一级过程处理,有23第23页，课件共33页，创作于2023年2月入其中表示在时刻“吸收部位”的药量，为一级吸收速率常数.为所给剂量中可吸收的分数(),称为生物利用度.此时方程③为解之,得满足初始条件的解为两边同除以得血药浓度随时间的变化规律为⑤24第24页，课件共33页，创作于2023年2月图形为求最大血药浓度(峰浓度)及其到达的时间达峰时).由⑤式得令得代入⑤得(曲线)称为25第25页，课件共33页，创作于2023年2月由于,此时,代入化简得在药物动力学中,曲线下的总面积(AUC)有重要作用,这是由于在一定条件下,(AUC)能反映药物最终吸收的程度.由⑤式可计算得显然,在一定剂量,与吸收分数成正比.26第26页，课件共33页，创作于2023年2月关于肿瘤生长的几个常见数学模型肿瘤的生长模型是指描述肿瘤大小(体积、重量或细胞数等)与时间关系的一种数学表达式.指数生长模型:假设肿瘤体积变化率与当时肿瘤的体积成正比,若在时间肿瘤体积为速率常数为,则有分离变量,并带入初始条件得其解为其中为开始观察的时间.通常把这种用指数函数描述的生长称为指数生长,把指数函数称为指数生长模型,其图形称为指数生长曲线.指数生长模型⑥27第27页，课件共33页，创作于2023年2月是一连续型模型,体积随时间的增大而迅速单调递增,通常把肿瘤体积增大一倍所需要的时间称为肿瘤倍增时间,记为,倍增时间是研究肿瘤生长、分析肿瘤性质和类型等问题的重要参数.在指数生长的情况下,肿瘤的倍增时间为常数.将常数代入⑥式,且令得设肿瘤近似为球形,为直径,因且若按直径计算,便有临床上常用该式推算肿瘤的大小.28第28页，课件共33页，创作于2023年2月Gompertz模型研究表明,随着肿瘤的增大,倍增时间也不断延长,即不是常数,可假设的变化率随的增大而减少,即其中为正常数,于是肿瘤生长的数学模型为⑥⑦若初始条件为:则由⑦式解得29第29页，课件共33页，创作于2023年2月⑧将⑧式代入⑥式,得求得其解为符合Gompertz模型生长的肿瘤，其倍增的时间为Logistic模型在肿瘤生长过程中,由于营养供应受到限制等原因,将会阻滞自身的继续生长,故有30第30页，课件共33页，创作于2023年2月其中、为正常数.假设初始条件为求解贝努利方程得满足初始条件的解为称为logistic方程,也称logistic生长模型.当时,故是肿瘤生长的极限值.符合此模型肿瘤生长的倍增时间为31第31页，课件共33页，创作于2023年2月汉英词汇对照可分离变量的微分方程separableequation一阶线性微分方程linearfirst-orderdifferentialequation一阶齐次线性微分方程homegeneouslinearfirst-orderdifferen