2024届安徽省蚌埠市高三第三次教学质量检查考试数学试卷及答案

蚌埠市2024届高三年级第三次教学质量检查考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。2务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A7,B，则AB（A．B．7,C．D．2．己知平面向量ama(4)，且a∥b，则m（））1212A．2B．C．D．2x2y23．已知曲线C:m0)，则“m4)”是“曲线C的焦点在x轴上”的（）4mA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件24．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知aaBbA1,sinC，则（）2A．b1B．b2C．c2SD．c3S6（5．记数列an的前n项和为Sn，若n是等差数列，S20，则34）nA．8B．4C．0D．46．1xx2A．12x)3的展开式中，x4的系数为（）B．2C．4D．5471234出现的频率分别为p,p,p,pi11234i1样本的标准差最小的一组是（）A．pppp0.4B．pppp0.112341234C．pppp0.4D．pppp0.1142314238C:y24xF的直线交C于ABM为ABM为N，若|4，则|NF（）434338833A．B．C．D．33小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。π9．已知函数f(x)sinx0)在区间,上单调递增，则的值可以是（6ππ62）23433A．B．1C．D．210CC10保持不变，则t分钟后物体的温度（单位：C）满足：e0.05t．若空气温度为10C，该010物体温度从C（90100）下降到30C，大约所需的时间为t，若该物体温度从70C，50C下降111到30C，大约所需的时间分别为t,t，则（20.7,31.1）23A．t220B．28130C．1t3D．tt61211．已知正方体ABCDABCD棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱11111上的动点（包括点，1MN4，P为MN中点，则下列结论正确的是（）3A．无论M，N在何位置，AP，1为异面直线B．若M是棱1中点，则点P的轨迹长度为π21C．M，N存在唯一的位置，使AP∥平面CD．AP与平面A所成角的正弦最大值为11112三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。1xf(x)12．函数的定义域为__________．x(ym)2和C:yxC:y|x|2C与Cm12113C:x22_________；若C与C2恰有两个公共点，则实数m的取值范围是_________．l4△ABC的角ABC满足tanAtanBtanC]B][tanC][x]表示不大于x的最大整数，若ABC，则tanCB_________．四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。1513分）x22y22已知双曲线E:ab0)的左顶点是(0)，一条渐近线的方程为yx．ab（1）求双曲线E的离心率；11（2）设直线yx与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．221615分）“跑步3000米“跳绳2000个的概率为，跳绳的概率为雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量3302000个大约消耗能量220n天不下雪的概率为n．611（1）求p,p,p的值，并证明p是等比数列；123n（2）求小明寒假第n天通过运动锻炼消耗能量的期望．1715分）如图，在四棱锥P中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是以PD为底的等腰三角形，ABPB2PAAC27，E在PD上，AEBD．（1）证明：平面平面ABCD；（2）求二面角PBCA的余弦值．1817分）asinx已知函数f(x),aR．xπ（1）当ax时，证明：tanxx(x)；2ππ（2）若x,0,xf(x)，求实数a的取值范围．22tanx1917分）a22!nn!（规定0!1）对于无穷数列a,a,a,,a,，我们称f(x)xaaxxxnn2n012n01n!n0为无穷数列an的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为1x2xn，它具有性质e(x)e(y)e(xy)．e(x)xn1xn!2!n!n01（1）证明：e(x)；e(x)(kx2x4x2k．c(x)x2k1(k（2）记(2k)!2!4!(2k)!k0e(ix)e(ix)证明：c(x)（3）以函数（其中i2x为指数型母函数生成数列n，e(x)1xB22!nn!．其中n称为伯努利数．nxnBBxx2xnn!01e(x)1n01证明：1．且2k10(k)．2蚌埠市2024届高三年级第三次教学质量检查考试数学参考答案及评分标准8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号答案12345678ADABCBCB3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号答案91011ABCBCABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．0或4；(22,22)（答对第一空给2分，答对第二空给3分）14．1四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。1513分）b1）由题意知a1，且b1，2分aca2b2，2c所以双曲线的离心率e2．5分ax2y1，2（2）由（1）知双曲线方程为11将yx即x12y代入x2y21，得3y24y0，9分2243因而yy，124所以|122yy5．13分12316151）依题意，pp0.5，12320.5120.4)0.60.1p0.55．6分20.4)0.60.1p依题意nn10.51pn1n161106，又165整理得pnpn10，111161151所以p是首项为，公比为的等比数列．9分n11n15111106（2）由（1n天不下雪的概率pn，，11分11从而小明寒假第n天跑步的概率为n12321551110n0.61p0.20.20.4pn13分nn则他第n天通过运动锻炼消耗能量为n1110330n2201qn220110q26620n．15分1715分）1）由题意知ADBCPA2，则在△ABC中，AB2BC2AC24222(27)212cosABC，2ABBC2422ππ(0,)，从而DAB，3分33π1△ABD中，BD2AD2AB22ADAB22422412，232则BD2AD212416AB2BDAD，5分又AE,A，所以BD平面PAD，而平面ABCD，∴平面平面ABCD．（2）由（1）知BD平面PAD，平面PAD，，8分PDPB2BD2，2所以△PAD为等边三角形，如图，在平面PAD内作DHAD，则DH平面ABCD，10分以DA，DB，DH分别为x轴，y轴，z则D(0,0),B(0,23,0),C(23,0),P3)，12分从而BP23,3),BC(0)显然平面ABC的一个法向量为n(0,设平面PBC的法向量为m(x,y,z)，则BPmx23y3z即BCm2x取m2)，记二面角PBCA的平面角为，则|mn||m||n|1512255cos|cos,n25即二面角PBCA的余弦值为1817分）．15分511）记g(x)xx，则g(x)1，2分x2π因为x，所以cosx，所以g(x)0，2所以g(x)单调递增，从而g(x)g(0)0，即xx．当a1时x(x)等价于xsinx，记h(x)xsinx，4分则h(x)1xh(x)单调递增，6分所以h(x)h(0)0，即xsinx．π综上，当ax时，tanxx(x)．28分xxasinxxasinx（2）f(x)等价于，记F(x)，tanxtanxxtanxx则F(x)F(x)，π所以题设等价于当x时，F(x)0即2x2cosxasinx0．2当a0时，F(x)0，不合题意．10分当0a1时，x2xasinxx22xax2xxa)2π存在,a0，2x(0,x2xasinx0，即F(x)0不成立，不合题意．213分因此当当a1时，x2xasin2xx2xsin2x，π2记G(x)x2xsin2x,x，由于xx，所以sinxxcosx，故22G(x)2xxxsinx2sinxx2sinxxsinx2sinxxx2x22x2sinxx2x)sinxx24sin24sinxsin02π从而G(x)在单调递减，G(x)G(0)F(x)0恒成立，符合题意．2综上，实数a的取值范围是)．1917分）17分1）令x0，则e(0)1．由e(x)e(y)e(xy)，令yx，则e(x)e(x)e(0)1．1因为e(x)0，故e(x)．5分e(x)(ix)4n(ix)4nx4nx4n2x4n（2）证明：因为，(4n)!(4n)!(4n)!(4n)!(4n)!(ix)4n1(ix)4n1ix4n1ix4n10，(4n!(4n(4n(4n(ix)4n2(ix)4n2x4n2x4n22x4n2，(4n2)!(4n2)!(4n2)!(4n2)!(4n2)!(ix)4n3(ix)4n3ix4n3ix4n30，(4n3)!(4n3)!(4n3)!(4n3)!2x4n2x4n(4n)!(4n2)!22(k(ke(ix)e(ix)x2k2x2k2c(x)，(2k)!(2k)!n0k0k0e(ix)e(ix)所以c(x)11