湖南省娄底市铃山中学高二数学理摸底试卷含解析

湖南省娄底市铃山中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为

（

）A．

B．C．

D．1

参考答案：A略2.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．50 B．60 C．30 D．40参考答案：D【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义进行求解．【解答】解：由于800÷20=40，即分段的间隔k=40．故选：D．3.双曲线的渐近线方程为A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为（）A．720 B．600 C．520 D．360参考答案：B【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】利用分类加法计数原理、排列与组合的计算公式、“插空法”即可得出．【解答】解：由题意可分为以下3类：①只有甲汽车被选中，则可有=240种方法；②只有乙汽车被选中，则可有=240种方法；③若甲乙两辆汽车都被选中，且它们出发时不能相邻，则不同排法种数==120种方法．综上由分类加法计数原理可知：所要求的不同排法种数=240+240+120=600．故选B．【点评】熟练掌握分类加法计数原理、排列与组合的计算公式、“插空法”是解题的关键．5.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1参考答案：D【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得焦点的位置，渐近线方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，A，B焦点在x轴上，C，D焦点在y轴上，D渐近线方程为y=±x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查．6.已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）参考答案：A【考点】双曲线的标准方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．7.向量满足，且其夹角为，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由得，得，即，得，即，则，即成立，反之当时，，则，即成立，即“”是“”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合成立数量积与向量模长公式的关系是解决本题的关键．判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．8.若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．18 B．6 C．2 D．2参考答案：B【考点】7F：基本不等式．【分析】先判断3a与3b的符号，利用基本不等式建立关系，结合a+b=2，可求出3a+3b的最小值【解答】解：由于3a＞0，3b＞0，所以3a+3b===6．当且仅当3a=3b，a=b，即a=1，b=1时取得最小值．故选B9.数列满足，且，则=

（

）

A.10

B．11C．12

D．13参考答案：B10.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线的准线方程是y=﹣1，则抛物线的标准方程是．参考答案：x2=4y【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据准线方程为y=﹣1，可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为x2=2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=﹣1，∴=1，∴p=2，∴抛物线的标准方程为：x2=4y．故答案为：x2=4y．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．12.如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中，则到平面PAD的距离为

.参考答案：313.已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作①若点，线段，则；②设是长为的定线段，则集合所表示的图形面积为；③若，，，，线段，，则到线段，距离相等的点的集合；④若，，，，线段，，则到线段，距离相等的点的集合．其中正确的有

．参考答案：①③④14.函数的定义域为A，若时总有，则称为单函数，例如：函数是单函数。 给出下列命题： ①函数是单函数； ②指数函数是单函数； ③若为单函数，； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。 其中的真命题是

。（写出所有的真命题的序号）参考答案：②③④略15.命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是__________;参考答案：略16.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O1、O为上、下底面的中心，在直线D1D、A1D、A1D1、C1D1、O1D与平面AB1C平行的直线有

条．参考答案：2【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】DD1与平面AB1C相交；由A1D∥B1C，知A1D∥平面AB1C；A1D1与平面AB1C相交；C1D1与平面AB1C相交；由O1D∥OB1，知O1D∥平面AB1C．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O1、O为上、下底面的中心，∵DD1∥BB1，BB1∩平面AB1C=B1，∴DD1与平面AB1C相交；∵A1D∥B1C，AD1?平面AB1C，B1C?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C；A1D1∥B1C1，B1C1∩平面AB1C=B1，∴A1D1与平面AB1C相交；∵C1D1∥A1B1，A1B1∩平面AB1C=B1，∴C1D1与平面AB1C相交；∵O1D∥OB1，OB1?平面AB1C，∴O1D∥平面AB1C．∴在直线D1D、A1D、A1D1、C1D1、O1D与平面AB1C平行的直线有2条．故答案为：2．【点评】本题考查直线与平行的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+1在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某批发站全年分批购入每台价值为3000元的电脑共4000台，每批都购入x台，且每批均需付运费360元，储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排进货数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据条件建立运费和保管费的总费用y关于每批购入台数x的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答．【解答】解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，题中的比例系数设为k，每批购入x台，则共需分批，每批价值3000x元．由题意知y=×360+3000kx，当x=400时，y=43600，解得k=，∴y=×360+100x≥2=24000（元）当且仅当×360=100x，即x=120时等号成立．此时x=120台，全年共需要资金24000元．故只需每批购入120台，可以使资金够用．【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．19.关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8＜0的解集为空集，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先对x2前系数分类讨论，再利用一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）当k=0时，原不等式化为8＜0，其解集为?，∴k=0符合题意．（2）当k≠0时，要使二次不等式的解集为空集，则必须满足：解得0＜k≤1综合（1）（2）得k的取值范围为[0，1]．【点评】本题考查含参数的“形式”二次不等式的解法．关键是对x2前系数分类讨论．20.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.参考答案：(1)当时，在单调递减，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减；(2)．(i)设，则当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.(ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).①若，则，所以在单调递增.②若，则ln(-2a)<1,故当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.(2)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又，取b满足b<0且，则，所以有两个零点.(ii)设a=0，则所以有一个零点.(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.综上，a的取值范围为.考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点判定定理．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的零点判定定理，其中解答中涉及到导数的运算、不等式的求解等知识点的考查，解答中求出的导数，讨论当，和三种情况分类讨论是解答关键，着重考查了分类讨论思想和函数与方程思想，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于难题．21.设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2﹣Sn；数列{an}为等差数列，且a5=9，a7=13．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=bnan（n=1，2，3，…），Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．参考答案：【分析】（I）先计算b1，再判断{bn}为等比数列，从而得出通项公式；（II）求出an，cn，利用错位相减法求和．【解答】解：（Ⅰ）令n=1得b1=2﹣b1，∴b1=1，当n≥2时，bn﹣bn﹣1=Sn﹣1﹣Sn=﹣bn，∴bn=bn﹣1，∴{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴bn=．（Ⅱ）数列{an}的公差为d，则d=（a7﹣a5）=2，∴an=a5+（n﹣5）d=2n﹣1，∴cn=，∴Tn=1++++…+，①∴=+++…+，②①﹣②得：=1+1+++…+﹣=1+﹣=3﹣，∴Tn=6﹣．【点评】本题考查了等比数列的判断，等差数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．22.若an+1=2an+1（n=1，2，3，…）．且a1=1．（1）求a2，a3，a4，a5；（2）归纳猜想通项公式an并用数学归纳法证明．参考答案：【考点】R