2022-2023学年上海宏达中学高二数学理测试题含解析

2022-2023学年上海宏达中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若存在x0＞1，使不等式（x0+1）ln

x0＜a（x0﹣1）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）参考答案：B【考点】函数恒成立问题；对数函数的图象与性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】若存在x0＞1，使不等式（x0+1）lnx0＜a（x0﹣1）成立，则存在x0＞1，使不等式a＞成立，令f（x）==（1+）lnx，x＞1，求出函数的极限，可得数a的取值范围．【解答】解：若存在x0＞1，使不等式（x0+1）lnx0＜a（x0﹣1）成立，则存在x0＞1，使不等式a＞成立，令f（x）==（1+）lnx，x＞1，此时f（x）为增函数，由=+=→2故a＞2，即实数a的取值范围是（2，+∞），【点评】本题考查的知识点是函数存在性问题，函数的单调性，极限运算，难度中档．2.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为()A.B.C.4D.参考答案：C3.下列函数中，导函数是奇函数的是（）A．y=cosx B．y=ex C．y=lnx D．y=ax参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【分析】运用常见函数导数的公式和奇偶性的定义，即可判断A正确．【解答】解：A，y=cosx的导数为y′=﹣sinx，显然为奇函数；B，y=ex的导数为y′=ex为非奇非偶函数；C，y=lnx的导数为y′=（x＞0）为非奇非偶函数；D，y=ax的导数为y′=axlna为非奇非偶函数．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和函数的导数公式的运用，考查判断能力，属于基础题．4.若函数与在(0，＋∞)上都是减函数，则在(0，＋∞)上是（

）A．增函数

B．减函数C．先增后减

D．先减后增参考答案：B5.设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为（

）A.2

B.

C.3

D.参考答案：

6.有10件产品，其中2件次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.函数的导数是A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.曲线上的点到直线的最短距离是(

)

A．

B．

C．

D．0参考答案：B略9.函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.在两个变量的回归分析中，作散点图是为了()A.直接求出回归直线方程B.直接求出回归方程C.根据经验选定回归方程的类型D.估计回归方程的参数参考答案：C【分析】利用散点图的定义逐一作出判断即可.【详解】散点图的作用在于选择合适的函数模型．故选：C【点睛】本题考查对散点图概念的理解，属于基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是上的均匀随机数,,则是区间________上的均匀随机数.参考答案：略12.若双曲线的离心率为，则实数m=__________．参考答案：2解：由题意可得，，，则，解得．13.双曲线的离心率大于的充分必要条件是

．参考答案：m>1

14.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是米/秒．ks*5u参考答案：5ks*5略15.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为

；参考答案：y2=8x略16.

如图所示的流程图的输出结果为sum＝132，则判断框中？处应填________．参考答案：1117.已知函数

．若，则x=__________．参考答案：因为，所以当时，得，即.当时，得，即，舍去．所以所求．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成角的大小．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】连结BD，在BD上取点G，使BG：GD=1：2，连结EG、FG，利用线段成比例证出EG∥CD且FG∥AB，可得EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角．分别算出EG、FG的长，在△EFG中利用余弦定理算出∠EGF=60°，即可得出AB与CD所成的角的大小．【解答】解：连结BD，在BD上取点G，使BG：GD=1：2，连结EG、FG，∵在△BCD中，=，∴EG∥CD

同理可证：FG∥AB∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角．∵在△BCD中，EG∥CD，CD=3，BG：GD=1：2，∴EG==1．又∵在△ABD中，FG∥AB，AB=3，FG：AB=2：3，∴FG==2．在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=，∴由余弦定理，得，∴∠EGF=60°，即EG和FG所成的锐角为60°．因此，AB与CD所成的角为60°．【点评】本题在特殊的空间四边形中求异面直线所成角大小．着重考查了空间平行线的判定与性质、余弦定理和异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为﹣1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OA，OM，OB的斜率为kOA，kOM，kOB，若kOA，﹣kOM，kOB成等差数列，求直线l的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立直线方程与椭圆方程，由一元二次方程的根与系数的关系结合kOA，﹣kOM，kOB成等差数列求得直线的斜率，则直线方程可求．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．则．∵kOA，﹣kOM，kOB成等差数列，∴kOA+kOB+2kOM====4k==．即k=．∴直线l的方程为y=．20.设数列前n项和，且，令（I）试求数列的通项公式；（II）设，求证数列的前n项和.参考答案：解：（Ⅰ）当时，

所以，

即

…………3分

当时，

…………4分由等比数列的定义知，数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，数列的通项公式为

………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

……8分

所以，①

以上等式两边同乘以得

②

①-②，得

，所以.

所以.………………

14分21.已知△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2﹣c2=b（a﹣b）且c=（1）求角C；

（2）求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【专题】方程思想；解三角形．【分析】（1）把已知的等式变形后，得到一个关系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把变形后的关系式代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数；（2）运用余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab，运用基本不等式可得ab≤6，再由三角形的面积公式即可得到最大值．【解答】解：（1）因为a2﹣c2=b（a﹣b），即a2+b2﹣c2=ab，则cosC===，又C∈（0°，180°），所以∠C=60°．（2）由余弦定理可得，c2=6=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab，即有ab≤6，当且仅