江苏省连云港市国立第二十一中学2022年高二数学理联考试卷含解析

江苏省连云港市国立第二十一中学2022年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱AD、AA1、AB上的截点分别是E、F、G，则截面△EFG（）A．一定是等边三角形 B．一定是钝角三角形C．一定是锐角三角形 D．一定是直角三角形参考答案：C【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由已知得∠EGF＜90°，∠EFG＜90°，∠GEF＜90°，从而截面△EFG是锐角三角形．【解答】解：用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱AD、AA1、AB上的截点分别是E、F、G，则∠EGF＜∠CBD=90°，同理∠EFG＜90°，∠GEF＜90°，∴截面△EFG是锐角三角形，故选：C．2.设P是△ABC所在平面外一点，若PA=PB=PC，则P在平面内的射影是△ABC的

（

）A．内心 B．外心

C．重心

D．垂心 参考答案：B略3.Sn是等差数列{an}的前n项和，如果S10=120，那么a1+a10的值是（）A．12 B．36 C．24 D．48参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】等差数列{an}中，由S10=120，知（a1+a10）=120，由此能求出a1+a10．【解答】解：等差数列{an}中，∵S10=120，∴（a1+a10）=120，∴a1+a10=24．故选C．4.已知函数，其导函数的图象如图所示，则A.至少有两个零点

B.在x=3处取极小值C．在(2,4)上为减函数

D．在x=1处切线斜率为0参考答案：C根据导函数的图像只能得到原函数的单调性，和单调区间，得不到函数值，故得到A是错的，在x=3处，左右两端都是减的，股不是极值；故B是错的；C，在(2,4)上是单调递减的，故答案为C；D在1出的导数值大于0，故得到切线的斜率大于0，D不对。故答案为C。

5.若双曲线的右焦点与圆（极坐标方程）的圆心重合，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.两个半径都是的球和球相切，且均与直二面角的两个半平面都相切，另有一个半径为1的小球O与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球和球都外切，则r的值为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】取三个球心点所在的平面，过点、分别作、，垂足分别为点，过点分别作，，分别得出、以及，然后列出有关的方程，即可求出的值．【详解】因为三个球都与直二面角的两个半平面相切，所以与、、共面，如下图所示，过点、分别作、，垂足分别为点，过点分别作，，则，，，，，，所以，，等式两边平方得，化简得，由于，解得，故选D．【点睛】本题主要考查球体的性质，以及球与平面相切的性质、二面角的性质，考查了转化思想与空间想象能力，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将空间问题转化为平面问题是解题的关键.7.如图是一个空间几何体的主（正）视图、侧（左）视图、

俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：C8.A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边，（A，B可以不相邻）那么不同的排法有（）A．24种

B．60种

C．90种

D．120种参考答案：B略9.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A、

B、

C、

D、参考答案：A略10.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是()A．a2<b2＋c2

B．a2＝b2＋c2

C．a2>b2＋c2

D．a2≤b2＋c2参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若且，则

.参考答案：64略12.过点和的直线的斜率为

．参考答案：-113.在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C的坐标为．参考答案：（0，0，）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据C点是z轴上的点，设出C点的坐标（0，0，z），根据C点到A和B的距离相等，写出关于z的方程，解方程即可得到C的竖标，写出点C的坐标．【解答】解：由题意设C（0，0，z），∵C与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离，∴|AC|=|BC|，∴=，∴18z=28，∴z=，∴C点的坐标是（0，0，）故答案为：（0，0，）14.设为虚数单位，若复数

参考答案：试题分析：考点：复数运算15.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为

（用数字作答）．参考答案：【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．16.在如图所示的流程图中，若f(x)＝2x，g(x)＝x3，则h(2)的值为________．

参考答案：817.如图，设是抛物线上一点，且在第一象限.过点作抛物线的切线，交轴于点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，此时就称确定了.依此类推，可由确定，.记，。给出下列三个结论：①；②数列为单调递减数列；③对于，，使得.其中所有正确结论的序号为__________。参考答案：①、②、③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某电动汽车厂新开发了一款电动汽车，并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y与行驶时间x（单位：小时）的测试数据如下：x12345678910y2.7721.921.361.121.090.740.680.530.45

如果剩余电量不足0.7，则电池就需要充电.（1）从10组数据中选出9组作回归分析，设X表示需要充电的数据组数，求X的分布列及数学期望；（2）根据电池放电的特点，剩余电量y与时间x工满足经验关系式：，通过散点图可以发现x与y之间具有相关性.设，利用表格中的前9组数据求相关系数r，并判断是否有99%的把握认为x与之间具有线性相关关系.（当相关系数r满足时，则认为99%的把握认为两个变量具有线性相关关系）；（3）利用x与的相关性及前9组数据求出y与工的回归方程.（结果保留两位小数）附录：相关数据：，，，.前9组数据的一些相关量：合计4512.211.55604.382.43－15.55－11.98

相关公式：对于样本.其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.参考答案：（1）见解析；（2）有的把握认为与之间具有线性相关关系；（3）.【分析】（1）根据题知随机变量的可能取值为、，利用古典概型概率公式计算出和时的概率，可列出随机变量的分布列，由数学期望公式可计算出；（2）根据相关系数公式计算出相关系数的值，结合题中条件说明由的把握认为变量与变量有线性相关关系；（3）对两边取自然对数得出，设，由，可得出，利用最小二乘法计算出关于的回归直线方程，进而得出关于的回归方程.【详解】（1）组数据中需要充电的数据组数为组.的所有可能取值为、.，.的分布列如下：

；（2）由题意知，，有的把握认为与之间具有线性相关关系；（3）对两边取对数得，设，又，则，，易知，.，，所求的回归方程为，即.【点睛】本题考查随机变量分布列与数学期望、相关系数的计算、非线性回归方程的求解，解题时要理解最小二乘法公式及其应用，考查计算能力，属于中等题.19.已知f（x）=x2+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．（Ⅰ）求实数b、c的值；（Ⅱ）若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若当x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间和极值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】（I）利用偶函数的定义可得b=0，利用函数过点（2，5），可得c=1；（II）先求函数g（x）的导函数g′（x），再将曲线y=g（x）有斜率为0的切线问题转化为g′（0）=0有实数解问题，最后利用一元二次方程根的性质求得a的范围即可；（III）先利用已知极值点计算a的值，进而解不等式g′（x）＞0得函数的单调递增区间，g′（x）＜0得函数的单调递减区间，再由极值定义计算函数的极大值和极小值即可【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（﹣x）=f（x）即有（﹣x）2+b（﹣x）+c=x2+bx+c解得b=0又曲线y=f（x）过点（2，5），得22+c=5，有c=1∴b=0，c=1（Ⅱ）∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a．从而g′（x）=3x2+2ax+1，∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．即3x2+2ax+1=0有实数解．此时有△=4a2﹣12≥0解得a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）

所以实数a的取值范围：a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）（Ⅲ）∵x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，故有g′（﹣1）=0即3﹣2a+1=0，解得a=2，∴g（x）=x3+2x2+x+2．又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=﹣1，x2=﹣当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数当x∈（﹣1，﹣）时，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣1，﹣）上为减函数当x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣，+∞）上为增函数函数y=g（x）的极大值点为﹣1，极大值为g（﹣1）=2，极小值点为，极小值为g（﹣）=【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，导数的几何意义及其应用，导数在函数的单调性和极值中的应用，转化化归的思想方法20.甲、乙两人玩游戏，规则如流程框图所示，求甲胜的概率．参考答案：由题意知“甲胜”意味着两次取出的都是红球，因为袋里有3红1白四个球，把3个红球记为a1，a2，a3,1个白球记为b，两次取球的不同结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)，共12种情况，其中“两次取出的都是红球”的不同结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a3，a1)，(a3，a2)，共6种情况，所以甲胜的概率是P＝＝．21.已知命题：方程有两个不相等的实根；：不等式的解集为R；若或为真，且为假，求实数m的取值范围．(12分)参考答案：解：∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴△1＝m2?4＞0，∴m＞2或m＜-2

又∵不等式4x2+4（m-2）x+1＞0的解集为R，∴△2＝16(m?2)2?16＜0，∴1＜m＜3

∵p或q为真，p且q为假，∴p与q为一真一假，（1）当p为真q为假时，，解得m＜-2或m≥3．（2）当p为假q为真时，?1＜m≤2综上所述得：m的取值范