辽宁省沈阳市新世纪中学高二数学理联考试题含解析

辽宁省沈阳市新世纪中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在（0，4）内取值的概率为0.6，则在（0，2）内取值的概率为

（

）A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.6参考答案：B2.曲线C的参数方程为（α为参数），M是曲线C上的动点，若曲线T极坐标方程2ρsinθ+ρcosθ=20，则点M到T的距离的最大值（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】参数方程化成普通方程．【分析】先求出曲线C的普通方程，使用参数坐标求出点M到曲线T的距离，得到关于α的三角函数，利用三角函数的性质求出距离的最值．【解答】解：曲线T的普通方程是：x+2y﹣20=0．点M到曲线T的距离为=，∴sin（α+θ）=﹣1时，点M到T的距离的最大值为2+4，故选B．3.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A、 B、

C、1

D、参考答案：A4.已知二次函数，若在区间[0，1]内存在一个实数，使，则实数的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（）A．一个点 B．椭圆C．双曲线 D．以上选项都有可能参考答案：C【考点】轨迹方程．【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R，即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线故选：C．6.若，，，则，2，，中最大的一个是A．

B．2

C．

D．参考答案：A略7.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos2A+cos2C=2cos2B，则cosB的最小值为（）A． B． C． D．﹣参考答案： A【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用二倍角公式化简为sin2A+sin2B=2sin2C，由正弦定理可得a2+b2=2c2，由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2，结合基本不等式可得答案．【解答】解：由cos2A+cos2B=2cos2C，得1﹣2sin2A+1﹣2sin2B=2（1﹣2sin2C），即sin2A+sin2B=2sin2C，由正弦定理可得a2+b2=2c2，由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2，∴cosC=，（当且仅当a=b时取等号）∴cosC的最小值为，故选A．8.方程表示的图形是A.以(1,－2)为圆心，11为半径的圆 B.以(－1,2)为圆心，11为半径的圆C.以(－1,2)为圆心，为半径的圆 D.以(1,2)为圆心，为半径的圆参考答案：C【分析】将方程转化为圆的标准方程的形式，即可确定方程表示以（-1，2）为圆心，为半径的圆.【详解】已知方程x2+y2+2x-4y-6=0,可转化为：（x+1）2+（y-2）2=11故方程表示以（-1，2）为圆心，为半径的圆故选C【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，考查了圆的一般方程和标准方程;判断二元二次方程表示圆时，若方程能够转化为圆的标准方程形式：，即可知方程表示圆心为，半径为r的圆.9.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D．484参考答案：C【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．10.已知向量,，若，则实数m的值为（

）A. B. C. D.?参考答案：C【分析】根据向量平行的坐标运算解得.【详解】由，得．即.故选C．【点睛】本题考查向量的平行条件，属于基础题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|=8，则线段AB中点的横坐标为．参考答案：3【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．设直线l的方程为：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立可得：y2﹣4my﹣4=0，利用根与系数的关系及其弦长公式：|AB|=，解得m．再利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．设直线l的方程为：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===8，化为m2=1，解得m=±1，当m=1时，联立，化为x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，因此=3．同理可得：m=﹣1时，=3．∴线段AB中点的横坐标为3．故答案为：3．12.在△ABC中，∠A的角平分线交BC于点D，且AD=1，边BC上的高AH=，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，则BC=．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，AB：AC=BD：DC=2：1，DH=，设DC=x，则BD=2x，可得+（2x+）2=4[+（x﹣）2]，求出x=，即可得出结论．【解答】解：由题意，AB：AC=BD：DC=2：1，DH=设DC=x，则BD=2x，∴+（2x+）2=4[+（x﹣）2]，∴x=，∴BC=3x=．故答案为．【点评】本题考查三角形角平分线的性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．13.已知点，是坐标原点，点的坐标满足，设z为

在上的射影的数量，则z的取值范围是

参考答案：14.在等比数列{an}中，a1=1，公比q=2，若{an}前n项和Sn=127，则n的值为

．参考答案：7【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由等比数列的前n项和公式可得，127=解方程可求n【解答】解：由等比数列的前n项和公式可得，127=解可得，n=7故答案为：7【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的简单运用，属于基础试题．15.过点P(2,3)且在两轴上的截距相等的直线方程是_________________.参考答案：16.下列程序运行结果是

.

x=1

k=0n=3DO

k=k+1

n=k+n

x=x*2LOOPUNTILx>nPRINTn;xEND参考答案：略17.下列有关命题的说法正确的有（填写序号） ①命题“若x2﹣3x+2=0，则xx=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0” ②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 ③若p∧q为假命题，则p．q均为假命题 ④对于命题p：?x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0． 参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑． 【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确； ②若x=1，则x2﹣3x+2=1﹣3+2=0成立，即充分性成立；若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2，此时x=1不一定成立，即必要性不成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确；③若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，不正确 ④对于命题p：?x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，正确． 故答案为：①②④ 【点评】此题注重对基础知识的考查，特别是四种命题之间的真假关系，复合命题的真假关系，特称命题与全称命题的真假及否定，是学生易错点，属中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列（不要求写出计算过程）,并求X的均值（即数学期望）．参考答案：解：随机变量X的分布列是X123PX的均值为19.已知数列满足：数列的前项和求数列的前项和参考答案：解析：当时，而得又当时，而得记①②，①－②得故20.（本题13分）为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(成绩均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题．(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分．参考答案：(1)设第i组的频率为fi(i＝1,2,3,4,5,6)，因为这六组的频率和等于1，故第四组的频率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.频率分布直方图如图所示．(2)由题意知，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，抽样学生成绩的及格率是75%.故估计这次考试的及格率为75%.利用组中值估算抽样学生的平均分：45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.从而估计这次考试的平均分是71分．21.(本小题满分12分)已知,(a＞0,a≠1,t∈R).（1）若，求t的值；（2）当t=4,x∈[1,2]，且有最小值2时，求a的值；（3）当0＜a＜1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围.参考答案：解：（1）即（2分）（2），

又在单调递增，

当，解得当，

解得（舍去）

所以

（7分）

(3），即，，，，，依题意有

而函数

因为，，所以.（12分）

22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若平面PDC⊥底面ABCD，且，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）（法一）如图，设中点为，连接，，，则有，利用线面平行的判定定理，证得平面，进而证得平面，从而证得平面平面，即可求得平面.（法二）连接、、，则有，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。【详解】解：（1）证明：（法一）如图，设中点为，连接，，，则有，∵平面，平面，∴平面，又∵，∴，∵平面，平面，∴平面，又∵，∴平面平面，∴平面.（法二）如图，设中点为，为线段上一点，且.连接、、，则有，∵，∴，∴，且，即为平行