湖南省郴州市香梅中学2022年高二数学理联考试卷含解析

湖南省郴州市香梅中学2022年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB=5，CD=2，EF=4，则梯形ABFE与梯形EFDC的面积比是（）A．B．C．D．参考答案：D2.二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】因为，，由此类比可得，，从而可得到结果.【详解】因为二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.所以由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四为测度W，应满足，又因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查类比推理以及导数的计算.3.直线的倾斜角为(

)A．

B．

C.

D.参考答案：B略4.经过点P（1，2），并且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有（

）

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条参考答案：C5.已知函数f(x)=2x的反函数为f－1(x)，若f－1(a)+f－1(b)=4，则的最小值为A．

B．

C．

D．1参考答案：A6.已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为（） A．4x±3y=0 B．3x±4y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=0参考答案：A【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】依据题意，求得双曲线C的焦点坐标和实轴端点坐标，求得曲线的标准方程，从而求得双曲线C的渐近线方程． 【解答】解：椭圆的长轴端点为（±5，0），焦点为（±3，0）． 由题意可得，对双曲线C，焦点（±5，0），实轴端点为（±3，0），∴a=3，c=5，b=4， 故双曲线C的方程为，故渐近线方程为y=±，即4x±3y=0， 故选A． 【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出双曲线的标准方程是解题的关键． 7.在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则SinA：SinB：SinC=（

）。A.1：2：3

B.1：：2

C.

1：：1

D.1：：参考答案：B8.若圆上有且有两个点到直线0的距离为1，则半径的取值范围是__________ A. B. C. D.参考答案：A9.过抛物线（）的焦点F作倾斜角为450的直线，交抛物于A，B两点，若|AB|=4，则的值为（

）A

1

B

2

C

3

D

4参考答案：A略10.如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是(

)A．π B．2π C．3π D．4π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知几何体的直观图是半个球，其半径为1，则该几何体的全面积由半个球的表面积和一个大圆面积组成，分别代入球的表面积和圆面积公式，即可求出答案．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个球，全面积为，故选C．【点评】本题考查简单几何体的三视图和球的面积计算，属中等题．其中根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，令，请写出二项式展开式中常数项

参考答案：-160略12.在中，角所对的边分别为且，，若,则的取值范围是

参考答案：略13.已知命题p:“”，命题q:“”若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是___________.参考答案：解析：由命题“p且q”是真命题可知命题p与命题q都成立.则有，可解得.14.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M，若过点P作圆M的两条切线互相垂直，且切点为A,B,则|AB|=

，该椭圆的离心率为

．参考答案：

，

15.双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________参考答案：16.点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，P到原点的距离的最大值为5，则a的值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用点到直线的距离，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当P位于A时，P到原点的距离的最大值为5，此时，解得，即A（a，1+a），此时|OP|=，解得a=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式即可得到结论，利用数形结合是解决本题的关键．17.已知某圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为

．参考答案：由题意知：圆锥的母线长；圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，设底面圆的半径为，则，；圆锥的高；所以圆锥的体积.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？参考答案：设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界．依题意得：，（）----4分问题转化为在，的条件下，求的最大值．法一：，-----------8分由和及得：

---------------12分法二：∵，，=∴当，即，由可解得：．答：花坛的长为，宽为，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求．19.已知双曲线C的方程为：﹣=1（1）求双曲线C的离心率；（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2）的双曲线的方程．参考答案：【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】综合题．【分析】（1）利用双曲线的方程的标准形式，求出a、b、c的值，即得离心率的值．（2）根据题意中所给的双曲线的渐近线方，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；将点代入方程，可得λ=﹣1；即可得答案．【解答】解：（1）由题意知a2=9，b2=16，所以c2=a2+b2=25，则a=3，c=5，所以该双曲线的离心率e==．（2）根据题意，则可设双曲线的标准方程为﹣=λ，（λ≠0）；又因为双曲线经过点A（﹣3，2）代入方程可得，λ=；故这条双曲线的方程为﹣=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的突破口由渐近线方程引入λ，进而设双曲线方程的方法，注意标明λ≠0．20.已知直线经过椭圆

的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由。参考答案：

要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或

。

略21.用一根长7.2米的木料，做成“日”字形的窗户框，窗户的宽与高各为多少时，窗户的面积最大？并求出这个最大值。(不考虑木料加工时的损耗和中间木料的所占面积