2022年福建省福州市洪洋中学高二数学理测试题含解析

2022年福建省福州市洪洋中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若则等于(

) A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（

）A.30 B.60C.90 D.120参考答案：D【分析】将5艘驱逐舰和3艘核潜艇分两类求解即可得到答案.【详解】由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为，2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为共60+60=120种，故选：D【点睛】本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.3.若是(0+∞)上的减函数，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】分别考虑，时，的导数，由导数小于等于0恒成立，可得a的范围；再由函数的连续性，可得，解不等式可得所求范围．【详解】解：当时，的导数为，由题意可得，即在恒成立，可得，由时，的导数为，由，解得或在恒成立，即有，由为上的减函数，可得，即为，可得由可得a的范围是．故选：D．【点睛】本题考查函数的单调性的定义和应用，考查导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．4.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（

）A.

B.

C.

3

D.参考答案：解析：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0),B(0,1,0),,，P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。

因此选B。5.已知函数f（x）=ex（x2﹣x+1）﹣m，若?a，b，c∈R，且a＜b＜c，使得f（a）=f（b）=f（c）=0．则实数m的取值范围是（） A．（﹣∞，1） B． （1，） C．（1，e3） D．（﹣∞，1）∪（e3，+∞）参考答案：B6.已知某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图是全等的等腰直角三角形，则该四棱锥的最长棱与底面所成角的正切值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由三视图可得：该几何体是正方体中的一个四棱锥，该四棱锥中最长的棱为，即可得它与底面所成角为，利用角的正切定义计算即可得解。【详解】由三视图可得：该几何体是正方体中的一个四棱锥，如下图中的四棱锥设正方体的边长为1，该四棱锥中最长的棱为，它与底面所成角为，又,所以故选：C【点睛】本题主要考查了三视图还原几何体，还考查了线面角知识，考查空间思维能力及计算能力，属于较易题。7.在△ABC中,tanA·tanB>1,则△ABC是

()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定参考答案：A略8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175175176177177则y对x的线性回归方程为()A.y=x-1

By=x+1

Cy=88+

Dy=176参考答案：C略9.直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()．A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0

D．2x－3y＋8＝0参考答案：A10.若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（） A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假参考答案：B【考点】复合命题的真假． 【专题】简易逻辑． 【分析】根据“非p”为真，得到p假，根据命题“p或q”为真，则p真或q真，从而得到答案． 【解答】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真， 若“非p”为真，则p为假， ∴p假q真， 故选：B． 【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线在两坐标轴上的截距相等.则实数的值为________.参考答案：2或0；

12.参考答案：13.已知定义在R上的可导函数f（x）满足，若，则实数m的取值范围是______．参考答案：【详解】试题分析：令,则,故函数在上单调递减,又由题设可得,故,即,答案为．考点：导数及运用．14.在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共

种（用数字作答）．参考答案：4186【考点】D3：计数原理的应用．【分析】根据题意，至少有3件次品可分为有3件次品与有4件次品两种情况，有4件次品抽法C44C461，有3件次品的抽法C43C462，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：根据题意，“至少有3件次品”可分为“有3件次品”与“有4件次品”两种情况，有4件次品抽法C44C461有3件次品的抽法C43C462共有C44C461+C43C462=4186种不同抽法故答案为：4186【点评】本题考查分类计数原理，本题解题的关键是注意至少有3件次品包括2中情况，不要写出三种情况的错解，即加上有5件次品，本题是一个基础题．15.已知正实数x，y，z满足x+y+z=1，++=10，则xyz的最大值为

．参考答案：又条件可得z=1﹣（x+y），设xy=a，x+y=b，则xyz=，设f（b）=，利用导数判断f（b）的单调性，计算极值，根据b的范围得出f（b）的最大值．解：∵x+y+z=1，∴z=1﹣（x+y），∴，即=10，设xy=a，x+y=b，则0＜a＜1，0＜b＜1，∴，化简得a=．∴xyz=xy=a（1﹣b）=（1﹣b）?=．令f（b）=，则f′（b）=，令f′（b）=0得﹣20b3+47b2﹣36b+9=0，即（4b﹣3）（5b﹣3）（1﹣b）=0，解得b=或b=或b=1（舍），∴当0＜b＜或时，f′（b）＞0，当时，f′（b）＜0，∴f（b）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，1）上单调递增，∴当b=时，f（b）取得极大值f（）=．又f（1）=0，∴f（b）的最大值为．故答案为．16.命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是

．参考答案：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0【考点】特称命题．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定．【解答】解：因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础．17.已知△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：①若PM⊥平面ABC，且M是AB边中点，则有PA=PB=PC；②若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；③若PB=5，PB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则三棱锥P﹣ABC的体积为；其中正确命题的序号是

（把你认为正确命题的序号都填上）．参考答案：①④

【考点】命题的真假判断与应用．【分析】运用三棱锥的棱长的关系，求解线段，面积，体积，把三棱锥镶嵌在长方体中，求解外接圆的半径，【解答】解：对于①，∵△ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，∴PM丄平面ABC，且M是AB边中点，∴MA=MB=MC∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，∴PA=PB=PC，∴①正确，对于②，∵当PC⊥面ABC，∴△PCM面积=×PC×CM=×5×CM又因为CM作为垂线段最短=，△PCM面积的最小值为=6，∴②不正确．对于③，∵若PB=5，PB⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=3，∴三棱锥P﹣ABC的外接球可以看做3，4，5为棱长的长方体，∴2R=5，∴体积为，故③不正确．对于④，∵△ABC的外接圆的圆心为O，PO⊥面ABC，∵P2=PO2+OC2，r==1，OC=，PO2=25﹣2=23，PO=，××3×4×=2，故④正确故答案为：①④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．参考答案：【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】（1）将成绩的十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图；（2）计算甲与乙的平均数与方差，即可求得结论．【解答】解：（1）茎叶图如下：（2）派甲参加比较合适，理由如下：（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41∵=，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适【点评】本题考查茎叶图，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．19.已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为x=﹣（1）求f（x）的解析式；（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）﹣x2﹣13]|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最大值和最小值；（3）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案：考点：函数与方程的综合运用；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数对称轴方程为x=﹣，求得b的值，再由f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），求出c的值，从而求得f（x）的解析式；（2）由题意可得g（x）=（x﹣2）?|x|，画出它的图象，讨论t的范围，结合图象求出g（x）在[t，2]上的最值．（3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），从而4n2﹣（2m+1）2=43，由此求得m、n的值，从而得出结论．解答：解：（1）∵二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为x=﹣，∴∴b=1，c=11∴f（x）=x2+x+11；（2）g（x）=[f（x）﹣x2﹣13]|x|=（x﹣2）|x|，ks5u当x≤0时，g（x）=﹣（x﹣1）2+1，当x＞0时，g（x）=（x﹣1）2﹣1，由此可知g（x）在[t，2]上的最大值g（x）max=g（2）=0．当1≤t＜2，g（x）min=g（t）=t2﹣2t．当1﹣≤t＜1，g（x）min=g（1）=﹣1．当t＜1﹣，g（x）min=g（t）=﹣t2+2t；3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），其中m为正整数，n为自然数，则m2+m+11=n2，从而4n2﹣（2m+1）2=43，即[2n+（2m+1）][2n﹣（2m+1）]=43．注意到43是质数，且2n+（2m+1）＞2n﹣（2m+1），2n+（2m+1）＞0，所以，解得mm=10，n=11因此，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，求二次函数在闭区间上的最值的方法，考查分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．17、（本小题满分12分）

设锐角三角形的内角的对边分别为，且b=（1）求的大小；（2）若，求。参考答案：（Ⅰ）由，根据正弦定理得:，因为在三角形中所以，由为锐角三角形得．…………分

（2）根据余弦定理，得所以……………………分21.（本小题满分12分）扇形中，半径°，在的延长线上有一动点，过点作与半圆弧相切于点，且与过点所作的的垂线交于点，此时显然有CO=CD，DB=DE，问当OC多长时，直角梯形面积最小，并求出这个最小值。参考答案：解：设，则所以面积

令得（取正值）在区间上，当时，当时所以故当OC的长为时，直角梯形OCDB的面积最小，且最小值为略22.已知，在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且asinB=bcosA．（1）求角A的大小；（2）设△ABC的面积为，求a的取值范