新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业7组合的综合应用新人教A版选择性必修第三册

课时分层作业(七)组合的综合应用一、选择题1．(多选)从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为()A．C71C51C102C．C124－C74－C54 D2．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有()A．30种B．33种C．36种D．39种3．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A．1或3 B．1或4C．2或3 D．2或44．(多选)某市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和历史中选考一科，从化学、生物、政治、地理中选考两科．学生甲想要报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则下列说法正确的是()A．若甲选考物理，有6种选考方法种数B．若甲选考历史，有6种选考方法种数C．甲的选考方法种数共有12种D．以上说法均不正确5．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本．现从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方式共有()A．4种 B．10种C．18种 D．20种二、填空题6．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．7．在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若甲同学物理、化学、生物至少选1门，则甲的不同的选法种数为________，乙、丙两名同学都不选物理的选法种数为________．8．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．三、解答题9．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取到一个红球记2分，取到一个白球记1分，从中任取5个球，则总分不少于7分的取法有多少种？10．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A．60种 B．120种C．240种 D．480种11．(2023·上海杨浦高级中学期末)在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为()A．155B．255C．35512．将10个相同的小球放入3个编号分别为1，2，3的盒中，每个盒子至少1个小球，则所有放法的种数为()A．28 B．36C．45 D．5513．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数．(用数字作答)14．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同的体积？15．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如表：乘坐站数0<x≤33<x≤77＜x≤12票价/元246现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的．(1)若甲、乙两人共付费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？(2)若甲、乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？课时分层作业(七)1．BC[(1)分三类：3男1女，2男2女，1男3女，所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为C7(2)任选4人的方法种数为C12经检验，A、D不正确．]2．B[如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C53种取法；含顶点A的三条棱上都各有3个点，它们与对棱的中点共面，此时共有3种取法故与顶点A共面的3个点的取法共有3C53＋3＝33(种)3．D[设6位同学分别为a，b，c，d，e，f．若任意两位同学之间都进行一次交换，则进行交换的次数为C62＝15，现共进行了13次交换，说明有①由3人构成的2次交换没有发生，如a，b之间和a，c之间没有发生交换，则收到4份纪念品的有b，c2人；②由4人构成的2次交换没有发生，如a，b之间和c，d之间没有发生交换，则收到4份纪念品的有a，b，c，d4人．]4．ABC[根据题意，如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有C42＝6种选考方法种数；如果甲选考历史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有C42＝6种选考方法种数，故甲的选考方法种数共有5．B[分两类：第一类，取出两本画册，两本集邮册，从4人中选取2人送画册，则另外两人送集邮册，有C42种方法．第二类，3本集邮册全取，取1本画册，从4人中选1人送画册，其余送集邮册，有C41种方法，所以共有C416．635[从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝C84＝70个结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12个，故所求概率P＝7．31400[甲同学物理、化学、生物至少选1门的对立事件是甲不选物理、化学和生物，所以甲的不同的选法种数为C73－C43＝31．乙、丙两名同学都不选物理的方法种数为C8．8[首先排两个奇数1，3，有A22种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有C21种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A9．解：(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法可分为三类：4个红球，3个红球和1个白球，2个红球和2个白球．若取出的为4个红球，则取法有1种；若取出的为3个红球和1个白球，则取法有C43C61＝若取出的为2个红球和2个白球，则取法有C42C62＝根据分类加法计数原理，可得红球的个数不比白球少的取法有1＋24＋90＝115(种)．(2)总分不少于7分有三种情况：取到4个红球和1个白球，取到3个红球和2个白球，取到2个红球和3个白球．若取出的为4个红球和1个白球，则取法有C44C61＝若取出的为3个红球和2个白球，则取法有C43C62＝若取出的为2个红球和3个白球，则取法有C42C63＝根据分类加法计数原理，可知总分不少于7分的取法有6＋60＋120＝186(种)．10．C[根据题意，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C5第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44故分配方案共有C52A44＝24011．B[如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，如棱AD，BB1，C1D1中任意2条所在的直线都是异面直线，像这样的3条棱共有8组，∴在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为8C123＝212．B[根据题意，将10个相同的小球放入3个盒中，每个盒子至少1个小球，相当于将10个相同的小球分成3组，每组至少1个．可将10个小球排成一列，然后在除两端的9个空位中任意选取2个，插入隔板，故共有C92＝36(种)放法．故选B13．1260[若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C5若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C5由分类加法计数原理得，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C52C32A4414．解：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，最多有C41·C②α内2点，β内1点确定的平面，最多有C42·C③α，β本身，有2个．故所作的平面最多有C41·C62＋C42·C(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有C41·C②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有C42·C③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有C43·C故最多可作出的三棱锥有C41·C63