新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.2排列数第1课时排列数公式学生用书新人教A版选择性必修第三册

6.2.2排列数第1课时排列数公式学习任务1．能用计数原理推导排列数公式．(数学抽象)2．能运用排列数公式熟练地进行相关计算．(数学运算)2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．有30位老革命家参观完一大会址后，要在一大会址旁站成一排照相，那么这30位老革命家的排列顺序有多少种？这样的排列问题能否用一个公式来表示呢？知识点排列数与排列数公式排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号An全排列的概念n个不同的元素________的一个排列阶乘的概念正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示排列数公式Anm阶乘式Anm＝______________(n，m∈N*，m≤特殊情况Ann＝排列数公式的特征：(1)乘积是m个连续正整数的乘积；(2)最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；(3)m，n∈N*，m≤n，当m>n时不成立．排列与排列数有何区别？1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)因为排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．()2A ()(3)若Anm＝10×9×8×7×6，则n＝10，m(4)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n． ()2．2022×2021×2020×…×2000＝()A．A2022C．A2022233．A54．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有________种．类型1排列数的计算【例1】(源自北师大版教材)计算下列排列数：1A153；2A50[尝试解答]排列数的计算方法(1)常用公式：排列数的乘积公式；(2)乘积公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数；(3)应用排列数公式的阶乘形式，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．[跟进训练]1．(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n<55)＝()A．AC．A69-2．化简A1类型2与排列数有关的求解与证明与排列数相关的方程或不等式【例2】(1)解方程3A(2)解不等式：A9[尝试解答]利用排列数公式化简与证明【例3】求证：An+1m－[尝试解答]排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．[跟进训练]3．不等式A84．求证：2n！2n类型3排列数公式的简单应用【例4】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？[尝试解答](1)对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．(2)对于情况较多的情形，则先进行分类，利用排列数计算，再借助加法(乘法)计数原理求解．[跟进训练]5．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．1．4×5×6×…×(n－1)×n＝()A．An4C．n！－4！ D．A2．A7A．12B．24C．30D．363．若A2n3＝A．6 B．7C．8 D．94．某高三毕业班有40人，同学之间互相给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出排列数公式吗？2．排列与排列数是一回事吗？3．怎样灵活选择两个排列数公式？第1课时排列数公式[必备知识·情境导学探新知]知识点不同排列全部取出n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！(n-m)思考提示：“排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，是一个数．课前自主体验1．(1)×(2)×(3)×(4)√提示：(1)排列数是从若干个元素中取出若干个元素的排列的个数，所以排列数一定是整数．(2)A52表示从5个不同元素中取出2(3)在Anm中，m表示连乘因数的个数，所以n＝10，(4)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n．故正确．2．C[因为2022－2000＋1＝23，所以2022×2021×2020×…×2000＝A2022233．120[A544．6[由排列定义得，共有A33＝6种排列方法[关键能力·合作探究释疑难]例1解：(1)A153(2)A503(3)A55＝5！(4)A66＝6跟进训练1．B[因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A69-2．An＋1n＋1－1[因为kAk所以原式＝1＋(A33－A22)＋(A44－A3例2解：(1)由3A8x＝4即3×化简得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13．∵0<x≤8且0<x－1≤9，x∈N*，∴原方程的解为x＝6．(2)原不等式可化为9！(9-即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13．又易得2<x≤9，x∈N*，∴2<x<8，x∈N*．故x＝3，4，5，6，7．∴不等式的解集为{3，4，5，6，7}．例3证明：∵An＋1m＝n！n＝m·n！∴An＋1跟进训练3．{8}[由题意可得，原不等式可化为8！(8-x)！<6×8！(10-x)！，化简得1<6解得2<x≤8，又x∈N+，所以x＝8．]4．证明：(2n)＝2＝n＝1·3·5·…·(2n－1)，故原等式成立．例4解：分3类：第1类，用1面旗表示的信号有A3第2类，用2面旗表示的信号有A3第3类，用3面旗表示的信号有A3由分类加法计数原理，所求的信号种数是A31即一共可以表示15种不同的信号．跟进训练5．36[分两步：先排文娱委员有3种选法，再从剩余的4人中选两人安排学习委员、体育委员有A42＝12由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．][学习效果·课堂评估夯基础]1．D[4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3(个)因式，最大数为n，最小数为4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝Ann2．D[因为A76＝7×6×A54，A63．C[因为A2n3＝10An3，所以n≥3，所以有2n·(2