新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.2排列数第1课时排列数公式教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.2.2排列数第1课时排列数公式学习任务1．能用计数原理推导排列数公式．(数学抽象)2．能运用排列数公式熟练地进行相关计算．(数学运算)2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．有30位老革命家参观完一大会址后，要在一大会址旁站成一排照相，那么这30位老革命家的排列顺序有多少种？这样的排列问题能否用一个公式来表示呢？知识点排列数与排列数公式排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号An全排列的概念n个不同的元素全部取出的一个排列阶乘的概念正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示排列数公式Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m阶乘式Anm＝n！(n-m)！(n，特殊情况Ann＝n！，1！＝1，0排列数公式的特征：(1)乘积是m个连续正整数的乘积；(2)最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；(3)m，n∈N*，m≤n，当m>n时不成立．排列与排列数有何区别？[提示]“排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，是一个数．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)因为排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．()2A52表示从5个不同元素中取出(5 ()(3)若Anm＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6． ((4)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)排列数是从若干个元素中取出若干个元素的排列的个数，所以排列数一定是整数．2A52表示从5(3)在Anm中，m表示连乘因数的个数，所以n＝10，m＝(4)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n．故正确．2．2022×2021×2020×…×2000＝()A．A2022C．A202223C[因为2022－2000＋1＝23，所以2022×2021×2020×…×2000＝A2022233．A54＝________．(120[A54．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有________种．6[由排列定义得，共有A33＝6类型1排列数的计算【例1】(源自北师大版教材)计算下列排列数：1A153；2A50[解]1A153＝15×14×132A503＝50×49×483A55＝54A66排列数的计算方法(1)常用公式：排列数的乘积公式；(2)乘积公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数；(3)应用排列数公式的阶乘形式，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．[跟进训练]1．(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n<55)＝()A．AC．AB[因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A69-2．化简A11+2An+1n+1－1[因为kAkk＝k+1Ak所以原式＝1＋(A33－A22)＋(A4＝An+1n+1＋1－A22＝A类型2与排列数有关的求解与证明与排列数相关的方程或不等式【例2】(1)解方程3A(2)解不等式：A9[解](1)由3A8x即3×化简得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13．∵0<x≤8且0<x－1≤9，x∈N*，∴原方程的解为x＝6．(2)原不等式可化为9！9-即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13．又易得2<x≤9，x∈N*，∴2<x<8，x∈N*．故x＝3，4，5，6，7．∴不等式的解集为{3，4，5，6，7}．利用排列数公式化简与证明【例3】求证：An+1m－[证明]∵An+1m＝n+1＝n＝n＝m·n！∴An+1m－排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．[跟进训练]3．不等式A8x<6{8}[由题意可得，原不等式可化为8！8-x！<6×8！10-x！，化简得1<610-x9解得2＜x≤8，又x∈N＋，所以x＝8．]4．求证：2n！2n·n！＝1·3·5[证明]2n！2＝2＝n！·1·3·…·2n-3·2n-故原等式成立．类型3排列数公式的简单应用【例4】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？[解]分3类：第1类，用1面旗表示的信号有A3第2类，用2面旗表示的信号有A3第3类，用3面旗表示的信号有A3由分类加法计数原理，所求的信号种数是A31＋A32＋A33＝3＋3×2＋3×即一共可以表示15种不同的信号．(1)对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．(2)对于情况较多的情形，则先进行分类，利用排列数计算，再借助加法(乘法)计数原理求解．[跟进训练]5．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．36[分两步：先排文娱委员有3种选法，再从剩余的4人中选两人安排学习委员、体育委员有A42＝12(种由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．]1．4×5×6×…×(n－1)×n＝()A．An4 BC．n！－4！ D．AD[4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3(个)因式，最大数为n，最小数为4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝Ann2．A76-AA．12B．24C．30D．36D[因为A76＝7×63．若A2n3＝10AnA．6 B．7C．8 D．9C[因为A2n3＝10An3，所以n≥所以有2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)，即2(2n－1)＝5(n－2)，解得n＝8．故选C．]4．某高三毕业班有40人，同学之间互相给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)1560[根据题意，得A402＝1560，故全班共写了1560回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出排列数公式吗？[提示]Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋Anm＝n！n-m！(m，n2．排列与排列数是一回事吗？[提示]不是一回事．一个排列是完成一件事的一种方法，排列数是指所有排列的个数．3．怎样灵活选择两个排列数公式？[提示]Anm＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于An课时分层作业(四)排列数公式一、选择题1．已知An+12－An2＝10，则nA．4 B．5C．6 D．7B[因为An+12－An2＝10，所以(n＋1)n－n(n－1)＝10，整理得2n＝10，即n2．已知a∈N*，且a<20，则(27－a)·(28－a)·(29－a)·…·(34－a)用排列数表示为()A．A27-aC．A34-aD[由已知34－a最大，且共有34－a－(27－a)＋1＝8个数的积，所以表示为A34-a83．有4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有()A．A88种C．A44AC[司机、售票员各有A44种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有A4．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有()A．24种 B．36种C．48种 D．72种B[若第一棒选A，则有A42种选派方法；若第一棒选B，则有2A42种选派方法．由分类加法计数原理知，共有A45．(多选)下列等式成立的是()A．An3B．1nAC．nAnD．nn-ACD[A中，右边＝(n－2)(n－1)n＝AnC中，左边＝n(n－1)(n－2)×…×2＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝AnD中，左边＝nn-mB中，左边＝1n·(n＋1)·n·(n－1)·…·2＝n+1·An-1n-1，右边＝(n＋1)·二、填空题6．满足不等式An7An5>1210[由排列数公式得n！n-5！n！n-7！>12，所以(n－5)(n－6)>12，即n2－11n＋18>0，解得n>9或n<2，又n≥7，所以n>97．化简An-11[An-1m-1·An-mn-mAn-1n-1＝8．某抢红包群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢四个不相同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲、乙两人都抢到红包的情况有________种．72[第一步，甲、乙抢到红包，不同的情况有A42＝4×3＝12(种)，第二步，其余三人抢剩下的两个红包，不同的情况有A32＝3×2＝6(种)，所以甲、乙两人都抢到红包的情况有12×6＝72(三、解答题9．求证：A11+2A22+3A[证明]法一：∵A11＝2A112A22＝3A23A33＝4A3…nAnn＝n+1Ann－∴左边＝(A22－A11)＋(A33－A22)＝An+1n+1＝(n＋1)！－1＝右边，∴原式成立．法二：∵(n＋1)！＝(n＋1)·n！＝nAnn＋Ann＝nAnn+nAn-∴(n＋1)！－A11＝∴原式成立．10．若M＝A11＋A22＋A33＋…＋AA．3 B．8C．0 D．5A[∵当n≥5时，Ann＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×∴当n≥5时，Ann又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋∴M的个位数字为3．]11．要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是()A．20 B．16C．10 D．6B[不考虑限制条件有A52种选法，若a当副组长，有A41种选法，故a不当副组长，有A52－A12．英国数学家泰勒(B．Taylor，1685—1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e＝1＋11！+12！+13！+…+1n！+eθn+1！(其中e为自然对数的底数，0<θ<1，n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1)，其拉格朗日余项是Rn＝A．5 B．6C．7 D．8B[依题意得，(n＋1)！≥3000，又(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720，(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5040>3000，所以n的最小值是6．]13．已知正整数n满足3An+13＝2An+22+644[由3An+13＝2An+22+6An+12，得3(n＋1)n(n－1)＝2(n＋2)(n＋1)＋6(n＋1)n，整理得3n2－11n－4＝0，由于n∈14．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？[解]由题意可知，原有车票的种数是An2种，现有车票的种数是所以An+m2－An即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，因为m<2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，所以m解得m＝2，n＝15，故原