新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.2排列与组合6.2.1排列学习任务1．理解并掌握排列的概念．(数学抽象)2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(逻辑推理)在数学竞赛颁奖仪式上，辅导老师和甲、乙两名特等奖获得者合影留念，师生三人站成一排，辅导老师在正中间时，甲在左边和乙在左边是相同的排列吗？知识点排列的概念1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．两个排列相同的充要条件(1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序相同．1．如何判断一个具体问题是不是排列问题？[提示](1)首先要保证元素互异性，即从n个不同元素中，取出m个不同的元素，否则不是排列问题．(2)要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列，无序则不是排列．而检验它是否有序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序．2．同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？[提示]不能，因为给出的n个元素互不相同，且抽取的m个元素是从n个元素中不重复地抽取的．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列． ()(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题． ()(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题． ()(4)从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题． ()(5)从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√[提示](1)因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同．(2)因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．(3)因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．(4)因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同，结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．(5)因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．2．下列问题中是排列问题的是()A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加演讲比赛C．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学担任歌咏比赛评委D．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学担任正、副班长D[从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学与从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加同一项活动，都没有顺序问题，不是排列，而担任不同的职务是排列问题．]3．元旦来临之际，某寝室四名同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其他一名同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有________种．9[将4张贺年卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树状图表示为：由此可知共有9种送法．]类型1排列的概念【例1】判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．[思路导引]判断是否为排列问题[解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：(1)“取”，检验取出的m个元素是否重复；(2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．[跟进训练]1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和；②相除可得多少个不同的商；③作为椭圆x2a2+y2b2＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程；④作为双曲线x2a2-y2②④[因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；因为除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题；若方程x2a2+y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小一定，故③不是排列问题；在双曲线x2a2-y2类型2排列的列举问题【例2】从4名运动员中选出3名参加一项比赛，并排定他们的比赛顺序，有多少种不同的方法？写出所有排序方式．[解]要解决这个问题，可以分3个步骤完成．第一步，先选定第一名比赛队员，在4名运动员中任取1名，有4种方法；第二步，选定第二名比赛队员，从余下的3名运动员中任取1名，有3种方法；第三步，选定第三名比赛队员，从余下的2名运动员中任取1名，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的排序方法．若记这4名运动员分别为a，b，c，d，则24种不同的方法如图所示．由此可写出所有的排序方式：abc，abd，acb，acd，adb，adc；bac，bad，bca，bcd，bda，bdc；cab，cad，cba，cbd，cda，cdb；dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按“树状图”写出排列．[跟进训练]2．四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？写出所有坐法．[解]按照A→B→C→D的顺序安排位置，A有4种坐法，B有3种坐法，C有2种坐法，D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1＝24(种)坐法．画出树状图．由树状图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA．类型3排列问题与分步问题【例3】有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘．(1)3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有多少种不同的招聘方案？(用数字作答)(2)每家公司至多招聘一名新员工，3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有多少种不同的招聘方案？(用数字作答)[解]将5家招聘员工的公司看成5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生．(1)第一名大学毕业生有5种选择，第二名大学毕业生有5种选择，第三名大学毕业生也有5种选择，根据分步乘法计数原理可知不同的招聘方案共有5×5×5＝125(种)．(2)第一名大学毕业生有5种选择，第二名大学毕业生有4种选择，第三名大学毕业生有3种选择，根据分步乘法计数原理可知不同的招聘方案共有5×4×3＝60(种)．排列与分步问题的关系(1)排列问题是分步问题；(2)排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素是可以重复选取的．[跟进训练]3．用具体数字表示下列问题．(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．[解](1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9900(个)．(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”．故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字，因此共有3×2×1＝6(个)．(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，故共有5×4×3×2＝120(个)分配方案．1．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，其中可以看作排列问题的运算种数为()A．1 B．2C．3 D．4B[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．故选B．]2．沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备的不同的火车票种数为()A．15 B．30C．12 D．36B[对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种)．]3．从1，2，3中任取两个数字组成不同的两位数有________个．6[可组成的两位数为12，21，13，31，23，32，共有6个．]4．6个人走进只有3把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有________种不同的坐法．120[坐在椅子上的3个人是走进屋子的6个人中的任意3个人，若把人看成元素，将3把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从6个元素中取3个元素占据3个不同的位置，显然是从6个元素中任取3个元素的排列问题，从而不同的坐法共有6×5×4＝120(种)．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何理解排列的定义？[提示]无重复性，有顺序性．2．两个排列相同的充要条件是什么？[提示]元素完全相同且元素的排列顺序相同．课时分层作业(三)排列一、选择题1．要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选出1名班长和1名副班长，则不同的选法种数是()A．20B．16C．10D．6A[先从5个人中任选1名当班长有5种选法，再从剩下4个人中任选1名当副班长有4种选法，共有5×4＝20(种)选法．]2．(多选)下列问题中是排列问题的是()A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母D．从1～9这九个数字中取出4个数字组成一个四位数AD[A是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关；B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的4个数字还需要按顺序排成一列．]3．由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有()A．9个 B．12个C．15个 D．18个B[本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为：由此可知共有12个．] 4．(多选)用一颗骰子连掷两次，投掷出的数字顺序排成一个两位数，则()A．可以排出30个不同的两位数B．可以排出36个不同的两位数C．可以排出30个无重复数字的两位数D．可以排出36个无重复数字的两位数BC[对于A，B选项，两位数中每位上的数字均为1，2，3，4，5，6六个数字中的一个，共有这样的两位数6×6＝36(个)．对于C，D选项，两位数中每位上的数字均为1，2，3，4，5，6六个数字中的一个．第一步，得首位数字，有6种不同结果，第二步，得个位数字，有5种不同结果，故可得无重复数字的两位数有6×5＝30(个)．]5．从甲、乙等5人中选3人排成一列，则甲不在排头的排法种数有()A．12 B．24C．36 D．48D[记另外3人为丙、丁、戊，则甲不在排头的排法有：(1)不选甲：(2)选甲：所以共有48种不同的排法．]二、填空题6．车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________．60[由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．]7．A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排头，共有________种不同站法．18[作出树状图如下：共有18种不同的站法．]8．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．20[从原来的4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×4＝20(种)添加方法．]三、解答题9．判断下列问题是不是排列问题．(1)从2，3，5，7，9中任取两数作为对数的底数与真数，可得多少个不同的对数值？(2)空间有10个点，任何三点不共线，任何四点不共面，则这10个点共可组成多少个不同的四面体？(3)某班有10名三好学生，5名后进生，班委会决定选5名三好学生对5名后进生实行一帮一活动，共有多少种安排方式？(4)若从10名三好学生中选出5名和5名后进生组成一个学习小组，共有多少种安排方式？[解](1)对数的底数与真数不同，所得的结果不同，是排列问题．(2)四面体与四个顶点的顺序无关，不是排列问题．(3)选出的5名三好学生与5名后进生进行一帮一活动与顺序有关，是排列问题．(4)选出的5名三好学生与5名后进生组成一个学习小组与顺序无关，不是排列问题．综上所述，(1)(3)属于排列问题．10．某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是()A．24 B．22C．20 D．12D[分两步排课：体育可以排第二节或第三节两种排法；其他科目有语文、数学、外语语文、外语、数学数学、语文、外语数学、外语、语文外语、语文、数学外语、数学、语文共6种排法，所以根据分步乘法计数原理可知共有2×6＝12(种)排课方案．]11．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A．6 B．9C．12 D．24B[第一类，0在个位有2110，1210，1120，共3个；第二类，0在十位有2101，1201，1102，共3个；第三类，0在百位有2011，1021，1012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9．]12．字母f，a，c，e总的排列种数为________种，若把英语单词“face”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有_______