第四章 指数函数与对数函数 章末题型归纳总结 （解析版）

第四章指数函数与对数函数章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：指数、对数的运算经典题型二：指数函数的图象及其应用经典题型三：对数函数的图象及其应用经典题型四：指数函数的性质及其应用经典题型五：对数函数的性质及其应用经典题型六：指对幂比较大小经典题型七：函数的零点与方程的根模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：指数、对数的运算例1．（2023·上海静安·高一校考期中）（1）已知正实数，满足，求的最小值，并求出此时，的值.（2）已知，，试用，表示，【解析】（1）因为正实数，满足，所以，所以的最小值为4，此时，又，即.（2）因为，，，例2．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考期中）（1）求值：；（2）已知，求的值．【解析】（1）原式；（2）因为，所以，所以例3．（2023·全国·高一随堂练习）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.例4．（2023·江苏·高一专题练习）求值：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）例5．（2023·上海·高一专题练习）已知，，均为正数，且．(1)若，求实数的值(2)求证：．【解析】（1）设，因为，，均为正数，所以，则，，，由，得，，.（2）证明：由（1），，，．.例6．（2023·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习）解下列各题：(1)解不等式：；(2)计算：(3)设是非零实数，已知的值.【解析】（1）因为，则，即，所以，等价于，解得或，故的解集为.（2）.（3）因为，，所以，所以，则，所以，，所以.例7．（2023·江苏·高一专题练习）设，，用，表示下列各对数：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）．（2）．（3）．经典题型二：指数函数的图象及其应用例8．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】因为，所以，定义域为；因为，所以，故，所以为奇函数，排除B，当趋向于正无穷大时，、均趋向于正无穷大，但随变大，的增速比快，所以趋向于，排除D，由，，则，排除C.故选：A.例9．（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】因为又，根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；时，函数为减函数，排除A．故选：C．例10．（2023·福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由图象可知，函数为减函数，从而有；法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，令，得，由，即，解得.法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，则，即.故选：D.例11．（2023·全国·高一专题练习）设函数，函数的图像经过第一､三､四象限，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函数的的图像经过第一､三､四象限，可得，所以，又因为，所以的取值范围为.故选：A.例12．（2023·全国·高一专题练习）已知，且其在区间上的值域为，记满足该条件的实数、所形成的实数对为点，则由点P构成的点集组成的图形为（

）A．线段AD B．线段ABC．线段AD与线段CD D．线段AB与线段BC【答案】C【解析】函数|的图象如图所示，当时，函数取得最小值1，令，得或，因为函数在闭区间上的值域为，所以或则有序实数对在坐标平面内所对应点组成的图形为题图中的线段AD与线段CD，故选：C.例13．（2023·高一课时练习）指数函数与的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数的图象是下降的，所以；又因为函数的图象是上升的，所以.故选：C.例14．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数，则过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】是幂函数，，故则，令，即，得，故过定点.故选：例15．（2023·全国·高一专题练习）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．【答案】C【解析】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，即，于是，又，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16.故选：C经典题型三：对数函数的图象及其应用例16．（2023·陕西安康·高三校联考阶段练习）函数的大致图象是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方法一：因为，即，所以，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；当时，，即，因此，故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；又，所以排除A.故选：D.例17．（2023·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】函数定义域为，，所以是非奇非偶函数，排除A、B，函数的零点是，当时，，排除D．故选：C．例18．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】的定义域为且，因为，所以为奇函数，排除A，D，当时，，B错误，故选：C.例19．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由已知得函数的定义域为，∵

，∴为奇函数，令，则，其中

，故，排除,令，，其中，故，排除,故选：.例20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】变形为：，即在上恒成立，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图像，要想满足在上恒成立，只需，即，解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：C例21．（2023·云南红河·高一校考期中）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，根据函数的图象，可得，根据指数函数的图象与性质，结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.故选：C.例22．（2023·河南郑州·高三校考阶段练习）已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因为，所以函数图象过的定点为，将其代入直线方程得，即，又，所以，当且仅当即时，等号成立，故有最小值4.故选：C.例23．（2023·浙江温州·高二校考学业考试）函数（且）的图象恒过的定点是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，恒等于0，恒等于1，故恒等于，所以的图象恒过的定点是.故选：B经典题型四：指数函数的性质及其应用例24．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是奇函数，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）是奇函数，经检验当时，是奇函数符合题意，又或（舍），；（2），即，又，故恒成立，令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，.例25．（2023·山东潍坊·高一校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的值；(2)求函数的值域.【解析】（1）因为，若，则，令，则方程为，解得或（舍去），所以，解得.（2）因为，令，则，所以当时，取得最小值，故的值域.例26．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是奇函数.(1)求的值；(2)求在上的值域.【解析】（1）因为，所以.因为是奇函数，所以，即，即，解得.（2）由（1）可知，易知在上单调递增且，在上单调递减，所以是上的减函数.因为，，所以在上的值域为.例27．（2023·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域.【解析】，令，函数在上是单调减函数，∴，的对称轴为，∴当时，，即当时，，即，∴在上的值域为.例28．（2023·湖南株洲·高一统考开学考试）已知函数的定义域是.(1)求实数a的取值范围；(2)解关于m的不等式.【解析】（1）函数的定义域是，因此在上恒成立，则，解得，所以实数a的取值范围为.（2）由（1）知，则指数函数在上单调递减，因此，即，解得或，所以原不等式的解集为.经典题型五：对数函数的性质及其应用例29．（2023·天津滨海新·高一天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）已知函数．(1)用定义证明函数在上为减函数；(2)若（其中，），求实数的取值范围；(3)若，且当时恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）任取，，且，即则，即，所以函数在上为减函数；（2）由（1）得在上为减函数，又，则，当时，，解得，当时，，解得，不成立，综上所述；（3）由（1）得在上为减函数，则在上也为减函数，又当时恒成立，即，解得.例30．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，是偶函数.(1)求的值；(2)若函数的图象在直线上方，求的取值范围；(3)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）∵，所以，即，即，即，即，∴，对任意恒成立，所以，.所以，.（2）函数的图象在直线上方，等价于对任意的成立，即.即对任意的成立.令，在上单调减，而，所以，由此.（3），令，则，.①当，即时，在递增，从而，舍去；②当，即时，在上递减，在递增，从而，则；③，即时，在递减，从而，则舍去.综上：.例31．（2023·甘肃定西·高一统考期末）已知函数.(1)用定义证明：函数在上是减函数；(2)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）对任意，且，则，因为则，可得，即，所以函数在上是减函数.（2）令，则，由题意可得：对一切恒成立，当时，则，符合题意，；当时，可得，令，由（1）知在上是减函数，当时，取到最小值，所以；综上所述：的取值范围为.例32．（2023·广东深圳·高一校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的最大值，并给出函数取最大值时对应的的值；(2)解不等式.【解析】（1）设，则，对称轴为，二次函数图象开口向上，故当时，即时，.（2）因为，所以，解得或，即或，所以不等式的解集为或.例33．（2023·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）（1）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围；（2）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围【解析】（1）有意义，则，解得：或，所以实数x的取值范围为或；（2），即，所以=①，两边同乘x得，即②，当或时，②的解为，此时代入①，，符合要求；当且时，②的解为或，若是①的解，则，即；若是①的解，则，即；要使方程①有且仅有一个解，则综上：有且仅有一个解，实数a的取值范围是.例34．（2023·全国·高一专题练习）已知函数(1)当时，求函数的定义域；(2)当时，求关于的不等式的解集；【解析】（1）当时，，故，解得，故函数的定义域为；（2），由，得，所以的定义域为，任取，且，则，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以在上的单调递增，所以由，得，解得，所以的解集为.例35．（2023·全国·高一专题练习）已知函数为偶函数.(1)解关于x的不等式；(2)若在区间上恒成立，求a的取值范围.【解析】（1），由于函数为偶函数，所以，即，即，即恒成立，∴.所以不等式为，解得：，所以原不等式的解集是.（2）由题得恒成立，即恒成立，因为，所以，所以恒成立，令，令，则，因为在单调递增，所以函数在上单调递减，故.∴.∵对任意的恒成立，且，∴.∴实数a的取值范围是.经典题型六：指对幂比较大小例36．（2023·全国·高一专题练习）如果，那么，，的大小顺序为（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】设，由指数函数图像性质可知，当时，函数值大于1，所以，设，由指数函数图像性质可知，当时，时函数值小于1，所以，设，由对数函数图像性质可知，当时，时函数值小于0，所以，所以.故选：C例37．（2023·云南曲靖·高一校考期中）设，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】指数函数，为减函数，∴，∵幂函数为增函数，∴，∴，∵对数函数为减函数，∴，即，∴.故选：A.例38．（2023·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）已知函数，其中，，，则判断a，b，c的大小是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】；，，，，则又在R上单调递增，则，即故选：B例39．（2023·广东惠州·高一惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知，，，则的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，，因为在上是单调递增，且，所以，即，由题意可知，，因为在上是单调递增，且，所以，即，所以.故选:B.例40．（2023·贵州遵义·高一遵义航天高级中学校考阶段练习）已知，则的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，所以．故选：C．例41．（2023·全国·高一专题练习）已知，则，，的大小排序为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方法一：设.则，，，又，所以，可得.方法二：由.得，即，可得.故选：D例42．（2023·天津南开·高一天津二十五中统考期末）设，，，则、、的大小顺序是A． B． C． D．【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，可得出这三个数的大小关系.对数函数在上为减函数，则；指数函数为减函数，则，即；指数函数为增函数，则.因此，.故选：D.例43．（2023·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）设,为正数，且则（）A． B．C． D．和的大小不能确定【答案】B【解析】,为正数，且故:令可得:即:可得:即:则,故:故选:B.例44．（2023·甘肃武威·高一校考阶段练习）已知，，，则的大小为A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，根据指数函数的性质，可得，，由对数函数的性质，可得，所以.故选C.例45．（2023·浙江温州·高一校联考期中）已知，，，则的大小为A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可判断，，，设，先对比，看成，由函数单调递减得再对比，看成，函数在第一象限为增函数，故所以故选A例46．（2023·陕西延安·高一校考阶段练习）三个数，，的大小顺序是A． B．C． D．【答案】D【解析】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：，，，所以，故选D.例47．（2023·甘肃张掖·高一甘肃省民乐县第一中学校考期中）设，，，则、、的大小顺序为A． B． C． D．【答案】A【解析】由于指数函数为增函数，则.由于对数函数在上为增函数，则，即.由于对数函数在上为增函数，则，即.因此，，故选A.经典题型七：函数的零点与方程的根例48．（2023·福建福州·高一福建省福州外国语学校校考期中）已知函数在恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时为减函数，且，若，此时当时，无零点，所以当时，有两个零点，由，得，此时满足条件，当时，当时，只有一个零点，要使恰有2个零点，则只需当时，只有一个零点即可，由，得，当时，由，得，只有一个零点，满足条件，当时，因为，所以要使当时只有一个零点，则且，得，此时或，综上，或，即实数的取值范围是，故选：D例49．（2023·全国·高一专题练习）函数的零点所在的区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在上单调递增，在上单调递增，函数在上单调递增，∵，，，函数的零点所在的区间为.故选：C例50．（2023·新疆和田·高一和田地区第二中学校考阶段练习）函数，若有个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，可得，解得或，如下图所示：由图可知，直线与函数的图象有两个交点，又因为函数有四个零点，故直线与函数有两个零点，且，所以，且，因此，实数的取值范围是.故选：D.例51．（2023·全国·高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】和在上是增函数，在上是增函数，只需即可，即，解得．故选：B.例52．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则函数的零点的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】令．①当时，，则函数在上单调递增，由于，由零点存在定理可知，存在，使得；②当时，，由，解得，．作出函数，直线，，的图象如下图所示：由图象可知，直线与函数的图象有三个交点；直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为．故选：D．例53．（2023·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数与的图象上不存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数与的图象上不存在关于轴对称的点，直线关于轴对称的直线方程为，则方程在上无解，即在上无解，又函数在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，时，，所以的值域为故实数的取值范围是.故选：D.例54．（2023·高一校考课时练习）设函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，令，，函数恰有个零点，等价于函数与的图象恰有个不同的交点，作出两个函数的图象，易知.因为的图象过，则只需保证和的图象有两个交点，则函数与的图象恰有个不同的交点，又由，得，由，得或（舍去），故，即实数的取值范围为.故选：B.例55．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，．若恰有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】恰有2个零点，则有，即，故函数的图象与直线有2个交点，画出函数图象，如图，平移直线，可以看出当，即时，直线与函数的图象有2个交点．故选：C．例56．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】画出函数的图象如图，若，由，即，即，即，所以，当时，单调递增，且，令，则，所以，.故选：D.例57．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，，得，，，则为函数与交点横坐标，为函数与交点横坐标，为函数与交点横坐标，在同一直角坐标系中，分别做出，，和的图像，如图所示，由图可知，，故选：A．例58．（2023·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（

）A．6 B． C．2 D．【答案】B【解析】由函数的图象，经过沿轴翻折变换，可得函数的图象，再经过向右平移1个单位，可得的图象，最终经过沿轴翻折变换，可得的图象，如下图：则函数的图象关于直线对称，令，则，由图可知，当时，有个零点，当时，有个零点，因为函数有6个不同的零点，所以函数有两个零点，一个等于，一个大于，又因为的最小的零点为，且，所以函数的两个零点，一个等于，一个等于，根据韦达定理得，，即，，则．故选：B．例59．（2023·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习）已知函数，若，是函数的两个零点，且，则实数（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】，是函数的两个零点，，即，同理，，是方程的两个根，其中，，，可得，，，即，，故选：C．例60．（2023·全国·高一专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则1是的一个零点，则有两个不同的零点有两种情形：①1是方程的根，则，即，此时方程有1，两个根，故有1，两个不同的零点；②1不是方程的根，则方程有两个相同的实数根，则，得，此时，故有1，两个不同的零点；综上，函数有两个不同的零点，则或，所以是有两个不同的零点的一个充分不必要条件，故选：A.模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例61．若函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是

A． B． C． D．【答案】B

【解析】令，则原方程等价为作出函数的图象如图，由图象可知当，时，函数和各有两个交点．要使方程有4个不同的实数根，则方程有两个不同的实数根，，令，则由根的分布可得，①当，时，，解得②当且时，，解得；③当且时，可得，解得综上，b的取值范围为故选例62．（2022·湖北省·模拟题）已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】由关于y轴对称的函数为：，令，得，则方程在上有解，作出与的图象，如图所示：因为时，，当函数过点时，，由图像可知，函数向右平移时，与函数的图像总有交点，所以综上可知，实数a的取值范围是故选例63．（2022·江西省·其他类型）若对R，使得且恒成立，则实数a的取值范围是

（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】若且对任意的都成立，①当时，由，得到，因为指数函数在上单调递增，故要使得对任意成立，有，即得②当时，变形为，即得，因为指数函数在上单调递减，要使得对任意成立，即有，即，即得因此，结合题意可知要使得对R，使得且恒成立，取①②两种情况下a取值范围的交集可知故选例64．（2022·江苏省苏州市·单元测试）设函数的最小值为，则实数a的取值范围是

（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】当时，，当时，取得最小值；当时，，由二次函数的性质可知在递减，则，由题意可得，解得故选例65．（2022·河南省郑州市·单元测试）设函数若函数在R上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】函数在R上有4个不同的零点与有4个交点，①当时，作出函数的图象，如图所示，其中的顶点为，则②当时，作出函数的图象，如图所示，其中的顶点为，则故a的取值范围是故选例66．（2023·山东省潍坊市·期末考试）已知函数若函数有七个不同的零点，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】由题意，函数画出函数的图象，如图由图可知，当时，与的图象无交点，即无解；当时，与的图象有1个交点，即有1个根；当时，与的图象有3个交点，即有3个根；当时，与的图象有4个交点，即有4个根；当时，与的图象有3个交点，即有3个根；当时，与的图象有2个交点，即有2个根．令，则或，由图易知有4个根，所以要使函数有7个不同的零点，则有3个根，所以或故选②转化与化归思想例67．（2023·浙江省衢州市·期末考试）已知函数，若且，则abc的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】作出函数

的图像如图所示：由于

，且a，b，c互不相等，显然，则有，，，

，即，则abc的取值范围是故选例68．（2023·重庆市·期末考试）已知函数则函数的零点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C

【解析】令，则，令，即，转化为和直线的交点，在同一直角坐标系内分别作出和直线的图象，如图所示：由图象可得有两个交点，横坐标设为，，则，，再考虑以x为未知数的方程，的实数根，时有一个根，为；时，时有3个不等实根，时有一个，时有两个．综上可得的实根个数为4，即函数的零点个数是故选例69．（2022·浙江省温州市·期中考试）已知函数是定义在上的单调函数，且对任意x，都有，则满足不等式的x的取值范围为

（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】是定义在