第三章 函数的概念与性质（单元重点综合测试）（解析版）

第3章函数的概念与性质（单元重点综合测试）一、单项选择题：每题5分，共8题，共计40分。1．若为奇函数，则（

）A．1或 B．1 C．0 D．【答案】D【分析】根据奇偶性定义得出参数值.【详解】为奇函数，，.故选：D2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据抽象函数的定义域可得的定义域为，进而可求解.【详解】的定义域为，所以，因此的定义域为，所以的定义域满足，即故选：B3．定义在上的函数满足，且，则（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】D【分析】判断出函数是以4为周期的周期函数，结合函数的周期可求解.【详解】，则，从而，即以4为周期，故.故选：D.4．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由可得：或或,解得或，所以满足的的取值范围是，故选：B.5．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【答案】A【分析】确定函数在上单调递增，根据幂函数得到或，验证单调性得到，代入数据计算得到答案.【详解】对任意的，且，满足，函数是单调增函数，是幂函数，可得，解得或，当时，；当时，，不满足单调性，排除，故，．，，故恒成立．故选：A6．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则所有交点的横坐标之和为（

）A．0 B．m C． D．【答案】C【分析】判断出和图象的对称性，由此求得.【详解】依题意函数满足，即的图象关于对称.函数的图象也关于对称性，所以若函数与图象的交点分别为，，…，，则.故选：C.7．已知函数关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件关于对称可得，再判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为函数关于对称，所以函数的图象关于对称，即函数为偶函数，所以，所以，因为当时，恒成立，所以函数在上单调递增，又，所以，所以，故选：A.8．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，对任意的，，且，都有成立，所以，令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，由是上的奇函数可得是上的偶函数所以在上单调递减，当时，不等式得到，矛盾；当时，转化成即，所以；当时，转化成，，所以，综上所述，不等式的解集为故选：D二、多项选择题：每题5分，共4题，共计20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分。9．下面各组函数表示同一函数的是（

）A．， B．（），C．， D．，【答案】BC【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；对于B，，，定义域和对应法则相同，故为同一函数；对于C，，，定义域和对应法则相同，故为同一函数；对于D，，，定义域不同，故不为同一函数；故选:BC10．已知定义在上的非常数函数满足，则（

）A． B．为奇函数 C．是增函数 D．是周期函数【答案】AB【分析】对于A项、B项，令，令代入计算即可；对于C项、D项，举反例判断即可.【详解】对于A项，令得：，解得：，故A项正确；对于B项，令得：，由A项知，，所以，所以为奇函数，故B项正确；对于C项，当时，，，满足，但是减函数.故C项错误；对于D项，当时，，，满足，但不是周期函数.故D项错误.故选：AB.11．已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（

）A． B．若，则C．若， D．，，使得【答案】CD【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可作答.【详解】由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增，于是得，A不正确；由得，，则，解得，B不正确；若，则或，而，且在上单调递减，则或，C正确；因为定义在R上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，在上单调递减，于是得，取，所以，，使得，D正确.故选：CD12．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（

）A．对任意，都有B．对任意，都存在，C．若，，则有D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形【答案】BC【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．【详解】解：对于A选项，当，则，此时，故A选项错误；对于B选项，当任意时，存在，则，故；当任意时，存在，则，故，故对任意，都存在，成立，故B选项正确；对于C选项，根据题意得函数的值域为，当，时，，故C选项正确；对于D选项，要为等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D错误．故选：BC.【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查数学推理与运算等核心素养，是难题.本题D选项解题的关键是根据题意分直角顶点在上，斜边在轴上；直角顶点在上，斜边不在轴上；直角顶点在轴上，斜边在上；直角顶点在轴上，斜边不在上四种情况讨论求解.三、填空题：每题5分，共4题，共计20分。13．已知，则.【答案】7【分析】利用分段函数进行计算求解.【详解】由题知，，，，，.故答案为：7.14．已知函数满足，且在上为单调减函数，请你写出符合上述条件的一个函数．【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，可考虑幂函数，再结合单调性，即可得到符合上述条件的一个函数，得到答案.【详解】由题意，函数满足，可考虑幂函数，又因为在上为单调递减函数，所以，所以符合上述条件的一个函数为.故答案为：（答案不唯一）15．定义：表示不超过的最大整数，，.已知函数，，则函数的值域为.【答案】/【分析】先分析函数在的值域，然后由取整函数定义求解即可.【详解】因为，当时，函数为减函数，所以，所以；当时，函数为减函数，所以，所以；综上所述：的值域为.故答案为：16．已知定义在整数集合上的函数，对任意的，，都有且，则.【答案】/0.5【分析】先用赋值法得到，即为周期为6的函数，从而得到，赋值法求出，从而求出答案.【详解】中，令得：，所以，故，即，所以，将代替得：，从而得到，即为周期为6的函数，由于，故，中，令得：，因为，所以，令得：，因为，所以，令得：，即，解得：，令得：，即，解得：，令得：，即，解得：，从而，故.故答案为：.四、综合题：共6题，共计70分。17．（本题满分10分）已知函数．(1)求，的值；(2)若，求实数a的值【答案】(1)，(2)1或【分析】（1）由解析式计算即可；（2）分类讨论的值，结合解析式得出实数a的值.【详解】（1）解：（2）①②③综上，实数a的值为1或．18．（本题满分12分）设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有.(1)求函数的解析式；(2)设函数，求函数的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）令，可得出的值，然后再令，可求得函数的解析式；（2）令，令，其中，利用二次函数的基本性质求出的值域，即为函数的值域.【详解】（1）解：令，得，即.令，则，则.（2）解：由（1）得，.令，则，所以，，令，其中，则，即函数的值域为.19．（本题满分12分）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）2．【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；（3）由基本不等式求得最小值．【详解】解析：（1）．，，（）即或在上单调递增，为偶函数即（2），，，∴（3）由题可知，，当且仅当，即，时等号成立．所以的最小值是2．20．（本题满分12分）已知函数．(1)当a=2时，试判断在上的单调性，并证明；(2)若时，是减函数，时，是增函数，试求a的值及上的最小值．【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析；(2)a＝1，最小值6.【分析】（1）把代入，利用函数单调性定义推理作答.（2）利用函数单调性定义建立恒成立的不等式，求出a值及最小值作答.【详解】（1）当a=2时，函数，在区间上单调递增，设时，则，，，则，所以，所以在区间上单调递增．（2）由时，是减函数知：，恒成立，而，则恒成立，显然，因此，由时，是增函数知，，恒成立，则恒成立，显然，因此，则有a＝1，当时，函数在上单调递增，，所以，上的最小值为6．21．（本题满分12分）已知函数对任意的x，，都有，且当时．(1)求的值，判断并证明函数的奇偶性；(2)试判断函数在上的单调性并证明；(3)解不等式．【答案】(1)，是奇函数，证明见解析(2)在上单调递减，证明见解析(3)【分析】（1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性.（2）利用函数单调性的定义证明函数在上的单调性.（3）根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集.【详解】（1）依题意，函数对任意的x，，都有，令，得，是奇函数，证明如下：用代替，得，则，所以是奇函数.（2）在上单调递减，证明如下：任取，，由于，所以，所以，所以在上单调递减.（3），，由于在上单调递减，所以，所以不等式的解集是.22．（本题满分12分）已知函数，，．若不等式的解集为(1)求的值及；(2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论．(3)已知且，若.试证：.【答案】(1)；(2)函数在区间上的单调递增，证明见解析(3)见解析【分析】（1）根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值（2）定义法证明单调性，假设，若，则单调递增，若，则单调递减（3）单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大【详解】（1），即，因为不等式解集为，所以，解得：，所以（2）函数在区间上的单调递增，证明如下：假设，则，因为，所以，所以，即当时，，所以函数在