2022-2023学年云南省曲靖市重点中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省曲靖市重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了12个

接种点，在乡镇设立了29个接种点.某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同

接种点的选法共有（）

A.31种B.358种C.41种D.348种

2.（理）若随机变量的分布列如下表，则球的值为（）

012345

P2x3x7x2x3%X

xd

A，18B-*∙-9JC∙-9-⅛

3.定义仁^'d\=ad~bc,已知数列｛斯｝为等比数列，皿=2温磔*。,则

ɑl=()

ʌ-1B.1C.2D.4

4.一个盒子里装有相同大小的白球、黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个

球，则概率为绕至W港婚的事件是（）

C20

A.没有白球B.至多有2个黑球C.至少有2个白球D.至少有2个黑球

5.如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的解解九章算法》中，它揭示

了（α+b）rιS为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.由此可得图中第10行排在偶

数位置的所有数字之和为（）

第。行

第1行

第2行

第3行

第4行

A.256B.512C.1024D.1023

6.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件4“第二次出现反面”为事件8,

则P(BM)=()

111

CD

--一

468

7.设点P是函数/(%)=靖图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α,则角ɑ的取

值范围是()

A.暗)B.a刍C.[0,2)U(⅞,τr)D.[0弓)U俘㈤

8.已知数列｛α｝满足斯+1=3α-2⅛∕⅛2且%=La?=ɔ数歹∣J｛Qn+1)(2〃-l)α)

nn+2any3n

的前Tl项和为又，若Sn的最大值仅为S8,则实数；I的取值范围是()

a∙[~⅛,~⅛B.(T，_\c.(-⅛,-⅛]D,[-ɪ,-ɪ]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=I)=JE(X),D(X)分别为随机变量X的均值与

方差，则下列结论正确的是()

A.P(X=O)=;B.E(X)=TC.E(2X)=gD.D(X)=；

10.对于。-；)8的展开式，下列说法正确的是()

A.展开式共有8项B.展开式中的常数项是70

C.展开式中各项系数之和为0D.展开式中的二项式系数之和为64

11.若将一边长为4的正方形铁片的四角截去四个边长均为X的小正方形，然后做成一个无盖

的方盒，则下列说法正确的是()

A.当*=∣时，方盒的容积最大B.方盒的容积没有最小值

C.方盒容积的最大值为符D.方盒容积的最大值为会

12.已知等差数列｛斯｝，其前n项和为5,α5=9,S7=49,则下列说法正确的是()

2

A.an=2n—1B.Sn=n

C∙ajt+#的最小值为6D.数歹羽2厮｝是公比为2的等比数列

αn+l

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.驷=.

c2022

14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,

假设甲闹钟准时响的概率为0.5,乙闹钟准时响的概率为0.6,则两个闹钟至少有一个准时响

的概率是.

15.在二项式。2-*5的展开式中，X的系数是—10,则实数a的值为.

16.若关于X的不等式axe*-X-Inx≥0对任意X∈(0,+8)恒成立，则实数a的最小值是

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,a=(a,c—b),b=(SinC+sinBlsinA+sinB~)>

且下〃石.

(1)求角C；

(2)若C=3√^^2,ΔABC的面积为小，求小4BC的周长.

18.(本小题12.0分)

为迎接2023年美国数学竞赛(4MC),选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从

低到高分为1、2、3三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级X的分布列如下：

P0.30.50.2

现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为

(1)求此选手两次成绩的等级不相同的概率；

(2)求f的分布列和数学期望.

19.（本小题12.0分）

n

在数列｛αn｝中，@1=1,且Qn+1=2αn+九+2+ι-1.

(1)证明：｛竽｝是等差数列；

(2)求｛an｝的前n项和5.

20.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥P-ABCtV,平面R4BI5FffizlSC,∆PBA=乙CBA=450,BP=BC=2√^2,

AB=1.

(1)证明：AB1PCi

(2)求二面角A-PC-B的余弦值.

21.(本小题12.0分)

22

已知椭圆E：a+%=l(α>b>0)的右顶点为4,右焦点为F,上顶点为B,过4,B两点的

直线平分圆(X+2)2+(y-2y∕~l)22=4的面积，且前■BO=3(。为坐标原点).

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若直线&y=%-2rn(jnH0)与椭圆E相交于H,M两点,且点N(O,τn),当△HMN的面积

最大时，求直线，的方程.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=ex+≡x2-≡-l(a≠0).

(1)当α=-1时，求函数/(x)在区间上的值域，

(2)当α>0时，若关于久的不等式/(O》0恒成立，求正数α的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，

所以共有29+12=41种不同接种点的选法.

故选：C.

根据题意该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，由加法原理

计算可得答案.

本题考查分类加法计数原理，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由题设知：2x+3%+7x+2x+3x+X=1,

解得X—ɪ.

Io

ʌEξ=0×2%+l×3x+2×7%+3×2x+4×3x+5x

=40x

=40×⅛

20

=丁

故选c.

先由离散型随机变量分布列的性质知2%+3刀+7%+2%+3%+%=1,得到X=白.再由离散型随

Io

机变量的数学期望的计算法则能求出

本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的

能力，解题时要认真审题，注意离散型随机变量分布列的性质的灵活运用.

3.【答案】D

【解析】解：腰j=O=（⅞-磋=O=α5=l（α5=O舍去），

又αg—ɑɪɑʒ»所以a14.

故选：D.

根据等比中项及新定义运算即可得解.

本题主要考查了等比数列的性质，以及新定义问题，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：革表示任取5个球中，有2个黑球的概率,

C20

军表示任取5个球中，有1个黑球的概率,

C2O

军表示任取5个球中，没有黑球的概率，

Czo

彘4四+。:44+慰4。2

所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率.

C20

故选：B.

利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查第10行排在偶数位置的所有数字之和的求法，考查杨辉三角以及二项式系数和的性质等

基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

利用杨辉三角以及二项式系数和的有关性质直接求解.

【解答】

解：由杨辉三角得到第10行所有的数字之和为：

10

/o+⅛+Cf0+Cf0+Cfo+ɛio+ɛfo+Cl0+C≡o+Cf0+Cɪθ=2,

由二项式系数和的性质得第10行排在偶数位置的所有数字之和为：

∣×210=512.

故选：B.

6.【答案】4

【解析】解：根据题意得，“第一次出现正面”的概率为PG4)=；,“第一次出现正面且第二次

出现反面”的概率为P(AB)=TW=%

P(BM)=需，

故选：A.

根据条件概率公式计算即可.

本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：因为∕7(x)=ex-V-3>-'J~3>

•••点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α,

tana>-y∕~^3∙

∙.∙a∈[0,兀)，

.∙.α∈[O,≡)U(y,π).

故选：C.

先对函数求导，得到((乃>-C，从而得到tcma>-「，结合倾斜角的范围，求出ɑ的取值范

围.

本题主要考查了导数几何意义及直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由α+ι=3α-2总产2,得="黑，

fln+2a

nOan4Un-∣-i

则」-=3即-2即+1=ɪ_马，有二-----L=2(_J__,

an+2anan+lan+lanan+2an+lan+lan

所以数列｛含-J是以卷/=2为首项，2为公比的等比数列，

则,一工=2X2n-1=2n,

an+lan

故工=(工――)+(―-----—)+…+(工—工)+工=2n^1+2n-2+∙∙∙+21+l=2n-l,

ananan-1ɑn-1an-2a2alɑl

令既=(An+l)(2n-l)∙⅛=λn+l,

则垢+1-匕=Mn+1)-An-1=九所以数列｛b｝是等差数列，

n(4+iyn+l)=∣τt2+用般,对称轴n=_笺=一2，

222ΛIX

(λ<0,

由Sn的最大值仅为Sg,可得］15∕4+2/17

解得4∈(-ɪ,-ɪ).

故选:B.

由递推公式变形得一一一；rL=2(一一一；)，所以｛一一一；｝是等比数列，求出通项后利用累加

an+2an+lan+lanan+lɑn

法斯，代入得｛(筋+l)(2rι-l)an｝的通项，新数列为等差数列，利用等差数列前n项和性质讨论

最大值，计算实数4的取值范围.

本题考查由数列递推式求数列通项，公式法求数列前n项和，利用二次函数性质研究数列前H项和

最值问题，属中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：•••随机变量X服从两点分布，其中P(X=1)=

.∙.P(X=O)=I-P(X=1)=P故A正确，

E(X)=OXT+1=5故B正确，

E(2X)=2E(X)=2xg=1,故C错误，

O(X)=P(I-p)=；XT=*,故O正确.

故选：ABD.

根据已知条件，结合期望和方差的公式，即可求解.

本题主要考查期望和方差的公式，考查转化能力，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：。一》8的展开式共有9项，故A错误；

展开式中的常数项为或xχ4X(一》4=70,故B正确；

令X=1,则展开式中各项系数之和为(1-1)8=0,故C正确;

展开式中的二项式系数之和为28=256,故。错误.

故选：BC.

利用二项式定理和二项式系数的性质判断各选项.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

11.【答案】ABC

【解析】解：由题意知：方盒的底面为边长为4-2X的正方形，高为X,其中O<久<2,

则方盒的容积为U(X)=x(4-2x)2(0<x<2),

.∙.V(X)=(4-2x)2-4x(4-2x)=(2x-4)(6x-4)=4(X-2)(3%-2),

则当Xe(O,|)时，κ,(x)>0；

当Xe(1,2)时，V(X)<0；

.∙.V(X)在(0,$上单调递增，在(|,2)上单调递减，

；・V(x)mɑx=U(I)=翳，无最小值，ABC正确，。错误•

故选：ABC.

将方盒容积表示为关于X的函数的形式，利用导数可求得单调性、最值点和最值，由此可得结果.

本题考查函数的实际应用，利用导数研究函数的单调性与最值，属中档题.

12.【答案】AB

(Ql+4d=9

【解析】解：陵二;§即L+中d=49解得｛：=：，

,2

..αn=1+2(n-1)=2n—1,Sn=”=n,故A,B正确，an+=2n-1+ɪɪ=

“、/"2an+l∆∏∙↑∙1

2n+l+月一2≥2^Π^-2=6,(当且仅当27l+l=月，即n=。时，取“="，但n6N*),

2n+l`2n÷l2'

所以当Zl=2时，Qn÷--=3+£=共

fln+l55

Wi.16—1619、31

当n=l时，⅝+--=l+w=w>M，

an+lɔɔɔ

.…+瞪；的最小值为5故C错误,

2αn+l

=2°n+La∙n=22=4,

2an

.∙∙｛2%｝是公比为4的等比数列，故。错误.

故选:AB.

对A,B选项由等差数列通项公式和前n项和公式得到方程组，解出的,d,从而得到a7l=2n-l,

2

Sn=n,对C选项，an+#=2τι-l+患，利用基本不等式可求出最值，但是要注意取等条

an+l∆τt-↑-ι

件，对。选项计算要•的值即可.

本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题.

13.【答案】2

【解析】解：根据排列数及组合数公式可得，磐=翟瑞i=2.

C2022—次一

故答案为：2.

由已知结合排列数及组合数公式进行化简即可求解.

本题主要考查了排列数及组合数公式的应用，属于基础题.

14.【答案】0.8.

【解析】解：设两个闹钟至少有一个准时响为事件A,

则两个闹钟至少有一个准时响的概率是P(4)=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8,

故答案为：0.8.

利用相互独立事件的概率乘法公式求解.

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

15.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查二项定理的性质和应用，属于基础题.

由二项式定理的通项公式知4+1=C^(x2)5-r(-^)r=(-aycζxlo-2r-r,令10-3r=1=r=3,

由此可求出实数ɑ的值.

【解答】

解：T『+i=Cl(x2)s-r(-≡)r=(-α)1^C门I。斗一,

令10—3r=l=r=3,

所以(-α>用=TOna=1.

故答案：1.

16.【答案】-

【解析】解：由QXe”—%—m％≥0,可得α%e”—(%+必工)≥0,axex—ln(%ex)≥0,可得Q≥

In(Xer)

xex'

令t=xex[x>0),可得Q≥牛

令g(χ)=竽(t>。)，有g'(χ)=⅛^,

令g'(%)>0，可得0<xVe；令g'(x)V0,可得%>e；

可知函数g(X)的增区间为(O,e),减区间为(e,+8),

所以g(%)mαx=g(e)=ɪ,故Q≥ɪ,即Q的最小值为

故答案为：ɪ.

e

将问题转化为α≥嚅ɪ,构造函数g(x)=号(t>0),求g(x)的最大值，得α的最小值.

本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解:(1)Va//b^五=(Q,c—b),b=(sinC+sinBtsinA+sinB),

ʌa(sinA+SinB)=(C-h)(sinC+sinB),

・•・由正弦定理得α(α-ð)=(c-b)(c+匕)，

即M+⅛2-C2=-aft,

由余弦定理得COSC=七效*=_L

2ab2

又C∈(0,7Γ),

则C=∣7Γ;

22

(2)由(1)得彦+h—C=-abf

ʌ(a+b)?—ab=C2=18,

又S=gQbsinC==ʒɪ,

242

则ab=6,

ʌ(a+b)?=18-I-ab=24,即a+b=2Λ∕-6,

・・•△ABC的周长为Q+b+c=3√~2+2√7.

【解析】⑴由题意得a(sinA+SinB)=(c-b)(sinC+sinB),利用正弦定理边化角得a(a÷6)=

(c-b)(c+b)f即M+炉―2=一曲,结合余弦定理，即可得出答案；

(2)由(I)得C=gτr,由余弦定理得a?+及-¢2=—αb,即(α+b)2—αb=C?=18,结合面积公

式可得αb=6,求出α+b,即可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)•••此选手连续两次成绩的等级相同的概率为:

0.32+0.52+0.22=0.38,

此选手两次成绩的等级不相同的概率为1-0.38=0.62.

(2)由题意可知,f=l、2、3,

又P(f=1)=0.3X0.3=0.09,

P(f=2)=0.5X0.3+0.3X0.5+0.5×0.5=0.55,

P(f=3)=0.2X(0.3+0.5)×2+0.2×0,2=0.36.

.∙.J的分布列为：

ξ123

P0.090.550.36

.∙.E(f)=IX0.09+2×0.55+3×0.36=2.27.

【解析】(1)计算出该选手连续两次成绩的等级相同的概率，利用对立事件的概率公式可求得所求

事件的概率；

(2)分析可知，随机变量f的可能取值有1、2、3,求出随机变量f的可能取值，可得出随机变量f的

分布列，进而可求得EG)的值.

本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，化归转化思想，属中档题.

19.【答案】解：(1)证明：:即+1=2即+n+2"+1-1，

n+1

•••an+1+n+1=2αn+2n+2,

等式左右同除2rι+ι得为谭里=竽+1,

又竽=1，

故数列｛竽｝是首项为1，公差为1的等差数列;

(2)由(1)得竽=1+(n-1)=n,

n

故ατι=n-2—nf

rι

设¼l=n∙2,其前n项和为[,

则7；=1×2+2×22+3×23+-+(n-1)∙2n-1+n-2n(Γ),27；=1×22+2×23+3×24+

…+(n-1)∙2n+n∙27l+ι②，

由①一②得一%=2+22+23+-+2n-n∙2n+1=爷鲁一π∙2n+ι=-2-(n-1)-2n+1.

即G=2+(n-l)∙2n+ι,

故Sn=a1+α⅛+"■+Qn=瓦++…+bn_(]+2+…+n)=2+(n-1)∙2n+1—

jl

【解析】(1)数列递推式变形得αrι+ι+n+l=2αn+2n+2+ι,利用等差数列的定义，即可证明

结论；

(2)利用错位相减法与分组求和法，即可得出答案.

本题考查等差数列的定义和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中

档题.

20.【答案】解：(1)证明：如图，作POlAB,垂足为。，连接C0,

∙.∙POVBO,且NPBA=45。，

∙∙.ΔPBO是等腰直角三角形，又PB=2yΓ2,

OB=OP=2,

又BC=2∖r2,NCBO=45°,

由余弦定理得C。=2,

.∙.BO2+CO2=BC2,■■■OB10C,

V0P∏0C=0,.∙.OBI5FffiPOC,又PeU平面尸0C,

.∙.OBA.PC,.∙.ABLPC.

⑵∙.∙平面PaB_L平面/1BC,且平面P4Bn平面ZBC=AB,

PO1AB,POU平面P4B,

.∙∙P01平面A8C,又OCU平面ZBC,

PO10C,以。为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则A(LO,O),C(0,2,0),P(0,0,2),

则备=(1,-2,0),CB=(2,-2,0),而=(0,-2,2),

设平面4PC的法向量为沆=(Xy,z),

则归出=L2y=0,取χ=2,≡=(2,1,1),

`CB=2x—2y+2z=0

设平面BPC的法向量记=(α,b,c),

,取口=匕得元

piljg∙CB=2a-2b=O=(I”),

CP=-2b+2C=O

设二面角8-PC-4的平面角为仇由图知。是锐角，

八∖m∙n∖

rowH——__—=_____2_+_1_+_1____=___

∣7n∣∙∣n∣√4+l+l×√1+1+13

【解析】(1)作P。LAB,垂足为。，可得OBJ.OC,又POlBO,可得。B_L平面POC,根据线面

垂直的性质即可证明;

(2)以。为原点建立空间直角坐标系。-xyz,求出两个平面的法向量即可求二面角的余弦值.

本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力,

是中档题.

21.【答案】解：(1)因为4(α,0),B(b,O),

所以直线AB的方程为X=1,

因为过48两点的直线平分圆(X+2)2+⑶-20=4的面积,

所以直线AB经过圆心坐标(一2,2/耳)，即?+乎=1,

y-∙.∙BF^B0=(BO+^OF)∙^BO=BO1+^0F-^B0=^B02=炉=3,

所以匕=√^~3,

则Q=2,

所以椭圆E的方程为1+1=1；

43

(2)由直线1的方程为y=x-2m,则点N(OM)到直线2的距离为d=?|叫，

χ2y2

联立方程组、4+3—1,整理可得7/—16mx+16m2—12=0,

y=X-2m

22

则/=256m-4×7(16m-12)>0,解得7n∈(-ɪ,θ)u(θ,ɪ).

设H(XIM(x2,y2)>

由根与系数的关系可得，/+孙=嘤,与∙X2=3白，

由弦长公式可得，∣HΛfI=<2×√(x1+X2)^-4X1X2=<2×J誓—=

ʃv21-12m2>

所以SAHMN=T∖HM∖∙d=ɪ×—yɪ√21—12m2X—ITnl

~~22

3√3/-rɪ7∖~~Λ—7J3√37-4m+4m3√-3

=—^-√(7-4m2)∙4m2≤-y-X-------------=