新教材苏教版高中数学选择性必修第二册 练习 04 空间向量基本定理

04空间向量基本定理

目录

☆【题型一】空间向量基本定理...................................................................1

☆【题型二】基底的判断.........................................................................3

☆【题型三】用基底表示向量.....................................................................4

☆【题型四】空间向量基本定理的应用：证明线线垂直..............................................7

☆【题型五】空间向量基本定理的应用：求线段长或向量的模.......................................8

☆【题型六】空间向量基本定理的应用：求两条直线所成角的余弦值.................................9

☆【题型一】空间向量基本定理

【例题】如图，。为ANBC所在平面外一点，〃为BC的中点，若就=痴与。b=lS+l∂⅛+l衣同时

244

成立，则实数义的值为.

【答案】~

2

【详解】OG=OA+AG=OA+λΛf=a4+-(AB+AC)

^OA+~(OB-OA+OC-OA)

=(l-λ)O4+∣δ5+⅛

^-OA+-OB+-OC,

244

所以∖-λ=k2=1，解得2=1.

2242

【变式训练】

I.已知四面体。一∕BC,Gl是448C的重心，G是OGl上一点，且。G=3GG∣,若拉7=x扇+yθ⅛+z5∂,

则(X,ʃ,Z)为()

AR?4)R--斗

B.U44j

C.β,ΓJ(22η

DU,3,ɜj

【答案】A

【详解】如图所示，连接∕G∣并延长，交BC于点E,则点E为8C的中点,

----►1----►，A1----►----►----►

/E=j(∕8+/C)=：(。8—201+。。,

AGl^AE=j(0B-20A+0C),

VOG^3GGl^3(OGl-OG),

444

2.如图，已知空间四边形/8C。中，AB=a-2c,CD=5a+6bSc,对角线/C,8。的中点分别为E,F,

则无'=.（用向量α,h,C表示）

B&------

【答案】3a+3⅛-5c

【详解】设G为BC的中点，连接EG,FG,

则E尸=EG+G尸=?8+：CO=：（a-2c）+1（5a+63-8c）=3a+3b-5c.

1ɔ

3.如图所示，平行六面体44CD—Z山Q。中，£,R分别在5归和。上，旦BE=I∙BBι,DF=-DD↑.

33

若济=X或+屈）+2与1，则x+y+z等于（）

D∣C1

,M

Il/1/

AB

B.O

C.-

3

【答案】C

—►—►—►—►—►—►—►—►ɔ—►—►1—►

【详解】因为EF=/F—ZE=/。+。下一(48+8E)=一/8一：8以

=一AB^∖^AD-∖--AA∖,

3

所以x=—l,y=l,z=g,所以x+y+z=；

☆【题型二】基底的判断

【例题】已知｛eι,e-L,e3｝是空间的一个基底，且。l=eι+2e2^-03,。8=-3e1+e2+2e3,OC=e∖+e2~e3,

试判断｛2,仍，次?｝能否作为空间的一个基底.

【详解】假设易,为，公共面.

则存在实数九〃使得为=〃+〃花，

/.^1+2e2-ey=λ(—3g+e2+2e3)+4(e1+«2—e3)=(-32+∕z)eι+(z+/z)e2+(2A-/z)eɜ,

Vei,62,«3不共面，

一3λ~∖~μ=1,

.∙∙U+zz=2,此方程组无解，

2λ一μ=-1,

C.OA,OB,灰?不共面，

：.｛OA,OB,沆｝可以作为空间的一个基底.

【总结】基底的判断思路

(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为

一个基底.

(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的

三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.

【变式训练】

1.(多选)设X=α+"y=b+c,Z=c+af且｛mb,c｝是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空

间一个基底的向量组有()

｛。,｝

A.b,xB.{x,yfz}

C.｛b,c9z｝D.{x,y,a~∖-b+c]

【答案】BCD

【详解】如图所示，令a=赢,b=AAι9c=AD,

W∣JX-AB∖,y-AD∖,z—AC,

a+b+c^AC∖,由于4B∣,C,Dl四点不共面，

可知向量x,y,Z也不共面，同理6,c,Z和X,y,α+b+c也不共面.

2.在长方体一小BlGA中，可以作为空间向量的一个基底的是()

KAB,AC,ADB.AB,AA\,AB↑

C.D∖A∖,D∖C∖,D∖DD.AC∖>A∖C>CC∣

【答案】C

【详解】由题意知,万力，万苕，方方不共面，

可以作为空间向量的一个基底.

2.若｛m｝为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是.(填序号)

①α,a+b,a-h；②b,a+h,a-b；③c,a+b,a-b；®a+h,a-b,a+2b,

【答案】③.

【详解】由空间向量基本定理得：对于①，设Z=X仅+5)+y(Z-B),即Z=(X+痴+(X-防，则"‘二

'/'/yX—y=O

解得X=V=；,即α=；(£+5)+；(2-另)，所以£,a+h>G-方三个向量共面；

对于②，I=I("+B)-](α-B)，所以b，a+b>万一B三个向量共面；

对于③，设c=x(α+B)+y(α-B),x,V无解，所以"，a+h>Z-B不共面，故&a+h-Z-B可以作

为一组基底；

对于④，a+26=∣(a+⅛)-i(α-⅛),所以Z+B，a-b，£+2区三个向量共面，故答案为③.

☆【题型三】用基底表示向量

【例题】如图，在正方体。ZDS-CHZXB'中，点E是力8与。。的交点，M是0。'与CE的交点，试分

别用向量)，OB,1表示向量防和两.

BD,

D

【答案】OD'=OA+OB+OC♦.

OM-OA+-OB+-OC.

333

【详解】因为OD=OA+OB,所以OD'OD+DD'OA+0B+OC.

OMOE

由4OΛ∕ESADMC,可得山_=空.

D'MD'C

又OE=Lo'C,则OΛ√=LJD'N=1。0',

223

所以两=L9=!而+1赤+工历.

3333

【总结】用基底表示向量时

(1)若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律.

(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看

基向量的模及其夹角是否已知或易求.

【变式训练】

1.如图所示，在平行六面体Z8CD-45∣CQ∣中，设刀∣=α,AB=b,AD=c,M,N,尸分别是44∣,BC,

GOl的中点，试用a,b,C表示以下各向量：

(I)AP;(2而V;(3)MP.

【答案】/P=4+∙⅛+c;A∖N=—α+⅛+⅛;MP=~a^ir^-b-∖-c.

2222

【详解】⑴；尸是C0的中点,

'.AP=AA∖-∖-A∖D∖-∖-D∖P=a-∖^AD-∖--D∖C∖=a-\-c-\--AB=a-\--b-\-c.

222

(2)：N是BC的中点，

^.A∖N-A∖A^∖^AB-∖^BN—-a^∖^b^∖^^BC—-a^1rb^ir~AD—-a-∖^b^∖^-c.

222

(3)∙.∙M是/小的中点,

：.MP=MA+AP^-A^A+AP^--aj∖^+c+2^∖=-a+-b+c.

2222

2.如图，四棱锥尸。/8C的底面为一矩形，尸。，平面O48C,设力=α,OC=b,OP=c,E,尸分别是尸C

和PB的中点，试用”,b,C表示俞,屣,亚,EF.

P

【答案】BF^--a--b+-c↑BE^-a--b+-c;EF,^-CB=-OA^~a.

22222222

【详解】连接80,则赤=⅛>=4历+δ›)=4眉+J∂+δ›)=∙⅛∙→-")=一4一4+4

2222222

BE^BC+CE^-a+-CP^-a+∖cb+OP^-a--b+-c.

2222

崩=万+成=i∂+∂>+/历+历)=一α+c+/—c+b)=-α+/+氐

EF=-CB=-0A=-a.

222

P

3.三棱柱NBC-4山IG中，若己4=a,CB^b,CC1=c,则施等于()

A.a+b-cB.a-b+c

C.—α+⅛+cD.~a+b~c

【答案】D

【详解】A^B=~A^^aC+CB=-&-CC↑+CB=-a^b~c.

4.如图，在正方体48CO-48Cgi中，用战τ,施1,历1作为基向量，K∣JJCι=.

【答案】ɪ(j/)ɪ-∖~AB∖+√4Q

【详解】V2ACl=2AAi+2AD+2AB=(AA∣+AD)+(AA∣+AB)+(AD+AB)=AD∖+ABi+AC,

.'.ACι=^ADi+AB↑+AQ.

5.如图，在空间四边形0/8C中，已知E是线段BC的中点，G在ZE上，且∕G=2GE,试用向量方，

方，方表示向量丽.

【答案】OG=-OA+-OB+-OC.

333

［详解］δG=δf+fG=∣δc+∣δs+⅛=∣δc+∣oβ+∣(Λ4-oiε)

=-OC+-OB+-OA--×-(OC+OB∖=-OA+-OB+-OC,^OG=-OA+-OB+-OC.

22332、,333333

☆【题型四】空间向量基本定理的应用：证明线线垂直

【例题】如图，在正方体/88—小8C∣O∣中，E,尸分别是8S，O∣8∣的中点，求证：EFLAB1.

【详解】证明设法=α,AA∖=h,AD=c,

则旗=丽∣+麻=/防与1+砺）=3与1+施一法）=；（一α+6+c）,

AB∖=AB+BB∖=AB+AA∖=a+b.

-*--►1!

所以EFXBl=4一Q+b+c)∙(α+b)=芸砰一I砰)=0,

所以寿，成1,BPEFΔ-AB↑.

【变式训练】

1.如图，已知三棱柱∕8C-48Cι的侧棱垂直于底面，N8/C=90。.

求证：ABlACi.

Ci

4∣Bl

/∕<

AB

【详解】证明设前=q,AC=b,AA↑=c,

则北=AC+CC↑=b+c.

所以∕8∕Cι="∙(b+c)="∙b+<rc,

因为44」平面ZBC,ZBAC=90o,

所以ab—O,ac—O,

得法•太ι=0,HLABLACI.

☆【题型五】空间向量基本定理的应用：求线段长或向量的模

【例题】如图，在四棱锥。一/8。。中，底面488是边长为1的正方形，侧棱刃的长为2,且以与/8,

的夹角都等于60。.若M是PC的中点，则I前）等于（）

A遍B.近

23

r√6n√6

45

【详解】记AD=h,AP=c,

因为∕5=∕f>=l,PA=2f

所以同=Ibl=1,∖c∖=2.

o

又因为Z3"LZD,ZPAB=ZPAD=60f

所以。〃=0,ac=hc=2×1×cos60°=1.

易得8A/=；(—a~∖~b~∖~c),

所以I的2=j_a+8+c)2=#a2+62+c2+2X(-a6-ap+"c)]=：X口2+12+22+2X(0-1+1)]=}

所以I的=学，故选A.

【变式训练】

1.如图，在平行六面体488—48CbDl中，以顶点Z为端点的三条边的长度都为1,且两两夹角为60。.

求/G的长.

【答案】√6.

【详解】设48=”,AD—b,AA∖-c,则Ial=Ibl=ICI=1,

〈a,b)={h,c)=(.c,a)=60o,

所以ab—bc—ca--.

2

_∏lf∣

∣∕^C∣∣2=(a+A+c)2=a2+⅛2+c2+2(Λ∙⅛+Z(∙c+c∙Λ)=1+1+1+2×l2+2+2J=6,

所以Ini|=#,即ZG的长为水

☆【题型六】空间向量基本定理的应用：求两条直线所成角的余弦值

【例题】如图所示，在正方体Z8C。一/山IGn中，若E为nG的中点，则∕∣C∣'与命夹角的余弦值为

()

A遍BɪC也D*

【答案】A

【详解】设正方体的棱长为1,记i⅛=a,AD=b,刀ι=c∙,

则同=Iz»|=|CI=1,ah=bc=ca=O.

因为4C；=AC=AB+AD=a+h,

DE=DD↑+D^E=DDl+^D^=c+-a,

22

所以7百方方=(a+Z()(c+5")="+"c+∙⅛+Lrb=Lι2=l.

2222

又因为求T=S,∖DE∖=等,

___.一1

----------►4CιDEH--------、/Y5

所以CoS{A∖C∖,DE)=r--------P=-----,

M∣CIιmSX在10

2

所以赤为夹角的余弦值噜

【变式训练】

1.如图，已知直三棱柱∕5C-48∣C∣中，N/8C=120。，AB=2,BC=CG=I,则异面直线∕8∣与BCl所

成角的余弦值为.

【详解】设A4=α,BC—b,BB∖-c,

则<a,b>=120。,cla,cLb,

因为成ι=i⅛+诟ι=-α+c,BCl^BC+CC↑^b+c,

_/BiBG_(—α+c)Q+c)-a，b-