2023-2024学年北京市海淀区高二年级下册期中数学复习模拟试题 二（含解析）

2023-2024学年北京市海淀区高二下学期期中数学复习模拟试题

一、单选题

1.己知｛4,｝是等差数列，且4=6,4=4,则I。=()

A.2B.0C.-2D.-4

【正确答案】B

【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.

Q4=64+3d=6%=9

【详解】设等差数列｛q｝的首项为6,公差为d,由」即…4,解得

。6=4d=-l

所以a〃=4+(n-l)d=9-(π-l)=-n+10,所以即)=-10+10=0.

故选：B

2.在1-E)的展开式中，常数项为()

A.15B.-15C.30D.-30

【正确答案】A

【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解.

6rr63r

【详解】Tr+l=Q-x-^-^=q-(-l)-x-,

令6—3厂=(),得厂=2,

所以常数项是4=C：(-1)2=15.

故选：A

3.已知函数"x)=xe2τ,则广(2)的值为()

A.2B.3C.1D.-1

【正确答案】D

【分析】对原函数求导得/'(x)=(Jx)e”,再把χ=2代入，即可求解.

【详解】函数/(x)=XeE,

.∙.f∖x)=e2^-t-xe2^∙v=(I-X)e2^t,

.∙.∕,(2)=(l-2)∙e2-2=-l.

故选：D.

4.在数列{%}中，al=~,o,,∙αn,1=¾-l-l(n≥2),则令(侬的值为()

14

A.—B.5C.-D.3

45

【正确答案】A

【分析】根据递推关系可判断数列为周期数列，从而可求由必.

［详解］q=-；M=I--—,¾ɪi-ɪ=5,%=«4=1--^-=-4=%,数歹∣J{%}

,,

4a„_,4a25ai4"

是以3为周期的数列，

a2023—aI—~~>

故选：A

5.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同

学，则不同的安排方法种数为()

A.36B.64C.72D.81

【正确答案】A

【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可.

2三组：埠"=6

【详解】4名同学分成1,1

三组去三个不同的小区：A；=6

所以全部的种类数：6x6=36；

故选：A.

6.如图是函数y=∕(χ)的导函数y=∕'(χ)的图象，则下列判断正确的是()

A.在区间(一3,1)上，f(χ)是增函数

B.当x=2时，/(x)取到极小值

C.在区间(1,3)上，f(x)是减函数

D.在区间(4,5)上,f(x)是增函数

【正确答案】D

【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可；

对于B,根据极值点处左右两边的单调性进行判断.

【详解】对A,由导函数图象知，在-时，f'(x)<O,/O)递减，A错；

对B,x=2时，f(x)取得极大值(函数是先增后减)，B错；

对C,l<x<2时，∕,(x)>0,/(χ)递增，C错；

对D,4<x<5时，∕,(x)>0,/(x)递增，D正确.

故选：D.

7.若直线y=2x与曲线y=4lnx+2相切，则”=()

2

A.1B.2C.eD.e

【正确答案】B

巴=2

⅞

【分析】设切点(Xo,%)，则由导数的几何意义可得卜。=2%,解方程组可得

y0=。InΛ0+2

【详解】设切点坐标为(Xo,%),y'=E

—=2a

⅞

则《

y0=2⅞,解得，

y=tzInX+2,aC

00α=0In-+2

2

令/(α)=4ln]+2-α,则/'(α)=lnα-ln2,

所以当0<“<2时，∕,(β)<0,单调递减；当o>2时，∕,(α)>0,单调递增.

所以/(Gzn=/N)=°，所以方程α="ln^+2的根为α=2.

故选：B.

8.下列区间是函数y=xsinx+cosx的单调递减区间的是()

A.(O,π)B.f—,-ɪ'jC.(肛2])

D.

【正确答案】B

先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案.

【详解】由已矢［)得y'=x'sinx+x(sinx)+(cosx)=SinX+尤CoSX-SinX=XCOsx，

A.当Xe(O时，cosx>0,所以y'>0,y=xsinx+cosx是单调递增函数，错误；

B.Xʤ手)时，COSXC0,/=xcosx<0,y=xsinx+cosx是单调递减函数，正确；

C.Xe(£,20时，cosx>0,所以y'>0,y=xsinx+cosx是单调递增函数，错误；

D.xe(去用时，cosx>0,所以V>0,y=xsinx+cosx是单调递增函数，错误.

故选：B.

本题考查了利用导数判断函数在给定区间的单调性，属于基础题.

9.在等差数列｛。,｝中，“4>0,且公比g>i”,是“｛4｝为递增数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据等比数列的单调性结合充分不必要条件的判定即可.

n,

【详解】当4>O,且4>1时,有an+i-an=at-q-al-q'^'=aiq"^'(√-l)>0,

,

所以¾+>>4(n∈N),即也｝为递增数列；

当｛aπ｝为递增数列时,即对一切n∈N*,有>%恒成立，

所以4+∣-αl,=α∣∙q"T(q-l)>O,

但q<O且O<4<1时,上式也成立,显然无法得出q>O,且夕>1.

则”4>0,且公比4>1”是为递增数列''的充分必要条件.

故选：A.

10.新冠疫情影响经济发展，特别是对个体企业的冲击较大，某银行为响应国家号召，扶持个体企

业的发展，对小微企业实行贴息贷款，若该银行月贷款利率由原来的0.5%下降到0.35%,那么请你

根据所学知识估算，该银行的年贷款利率下降了多少个百分点()

A.1.5B.1.8C.2.0D.2.2

【正确答案】B

【分析】先求出月利率的下降百分点，再乘以12即可得解.

【详解】该银行月贷款利率由原来的0.5%下降到0.35%,

则月利率下降了0.5%—0.35%=0.15%,

所以该银行的年贷款利率下降了0.15%xl2=1.8%个百分点.

故选：B.

二、填空题

11.曲线/(x)=XlnX在χ=l处的切线的方程为.

【正确答案】χ-j-l=0

【分析】求导得切线的斜率，由点斜式即可求解直线方程.

【详解】∕,(%)=lιu+l,Λ∕,(l)=l,因此切线的斜率为r(1)=1；

又〃1)=0,.•.段)在X=I处的切线方程为y=x-l,即x-y-l=0.

故x-y-l=O.

12.在等比数列｛q｝中，4+4=10，a2+a4=-5,则其前5项的和的值为

【正确答案】y/5.5

【分析】根据等比数列的性质可得公比与首项，进而求得通项公式与其即可.

【详解】因为4+%=1。，。2+〃4=-5,

+%—51

所以4=

4+%ɪθ2

所以q+q=4+4%=10,即％=8,

所以45=的4=8、1)=3,

故Sζ—Cty+%+/+%+“5=1015+/=

,,11

故5

13.已知(l+2x)4:4+。/+々/+〃/'+%/,则〃。+叼+包的值等于.

【正确答案】41

【分析】分别令X=I和X=T,再将两个等式相加可求得4+〃2+4的值.

【详解】令X=1,则〃0+%+〃2+〃3+α4=34=81；

令X=-1,则/-q+%-%+4=1，上述两式相加得2(<⅞+θ2+4)=8∣+∣,故《>+α2+4=41

故答案为.41

14.定义方程“x)=r(x)的实数根X叫做函数/(x)的“T点”，若函数g(x)=e*-X,Λ(x)=lnx,

O(X)=2023x+2023的“T点”分别为ia,b,c,则c的大小关系为.

【正确答案】b>a>c

【分析】先根据函数的新定义分别求出“，b,c,然后再比较大小

【详解】由g(x)=e，-X,得/(x)=e'-l,所以由题意得e"-4=e"7,解得α=L

由∕z(x)=lnx,得“(X)=L

所以由题意得Inb=

b

令f(x)=lnx—,(x>O),则r'(x)=—∣—^^>0,

XXX'

所以f(x)在(0,+8)上递增，

11

因为W)=-I<0,f(2)=ln2--=ln2-lne2>0,

所以存在%e(L2),使仑)=0,所以6G(1,2),

由O(X)=2023x+2023,得"(x)=2023,

所以由题意得2023c+2023=2023,解得c=O.

所以6>4>c,

故6>4>c

15.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，

每个小方格中填一个数，考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给

出下列四个结论：

①这8个数列中最多有3个等比数列；

②若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；

③若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列.

其中所有正确结论的序号是.

【正确答案】①②

【分析】①.由1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数中，等比数列有：1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,

9,从而可判断；②.由2x5=l+9=2+8=3+7=4+6,可判断；③举反例即可判断

【详解】①.1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数中,等比数列有：1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,9.

由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上.

所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故正确

00θ

00

00S

②.若三个数b,c,成等差数列，则》=a+c.

根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数6相同.则只能是6=5

由2x5=1+9=2+8=3+7=4+6

则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为1,5,925,835,7；4,5,6时满足条件；

中心数为其他数时，不满足条件.故②正确.

③.若第一行为1,2,4；第一列为1,3,9,满足第一行、第一列均为等比数列.

第二行为3,5,7,第二列为2,5,8,则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数歹∣J∙故③不正确

故①②

三、解答题

16.设公差不为O的等差数列｛为｝的前〃项和为S“，S5=20,ai=a2a5.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）若数列也｝满足仇=1,b„+b,,+l=（&产,求数列他“｝的前n项和SIt.

+

【正确答案】（l）4=2”-2,n∈N

【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；

（2）列出也+%｝通项公式,根据通项求出也+%｝的前〃项和，再根据通项求出｛』｝的前2〃项

和，两式相减解得｛伪,,｝的通项公式，最后分组求和求出数列｛邑｝的前〃项和s..

【详解】（I）S5=5¾=20^¾=4,设公差为乱首项为4

2

⅛=α2a5=(α3-J)(¾+2√)=⅛+α,<∕-2J,因为公差不为0,所以解得d=2,

+

%=4+2d=4nα∣=0,数列｛”,,｝的通项公式为4,=2〃-2,w∈N.

u22

(2)bn+b,,+i=(√2)"=(√2)"^=N-

+

(Z>∣+⅛)+(⅛+⅛)+(⅛+⅛)∙∙∙+(⅛n-ι+⅛n)①

-4…2』邛了二3

(bl+⅛2)+(⅛+⅛)+(⅛+⅛)+-+(⅛-∣+⅛n)②

2WI

n1?7ʌ1×(1-2^)21

=2O+21+22÷∙∙∙+22Π^2=—---------L=22Π^,-1

1-2

f4π119ɔ

2π1

Φ×2-(g)W⅛l+⅛2,=2×ly-J-2-+l,解得%,=；X4"_22"T_§

O

3。-4")20一4")

28

——n=—×

w^^1-41-433

17.直角一ABC中，NAe8=90,AC=BC=2,。是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与AB

重合）.过点E作AC的平行线交BC于点F,将EF沿跖折起，点B折起后的位置记为点P,使

得平面ABC1平面PEF,且得到四棱锥P-ACFE.设Z=T=x.

（1）求四棱锥P-AC所的体积V（X）,并写出定义域:

⑵求V(X)的最大值.

z14

【正确答案】(I)V(x)=*-/+0<Λ<2

63

⑵当x=2-苧时，V(x)nm=A^.

【分析】（1）先证得尸尸为四棱锥尸-ACFE的高，再利用棱锥体积公式即可得到答案;

（2）对（1）问的解析式求导，利用导数得到其最值即可.

【详解】（1）因为在直角-ABC中，ZACB=90,所以AC/8C,

又EFHAC,所以翻折后BF,EF垂直关系不变，故PF,EF

又因为平面ABCl平面PETL平面ABCc平面PE∕=EF,PFU平面PE尸,

所以P尸，平面4BC,故PF为四棱锥尸-ACFE的高，

则EF=8E=PF=2—X,x>0,2-x>0,贝∣JO<x<2,

]ɪ14

^p-ACFF=—X—X(2—x+2)x(2—x)=—/一—X0VX<2.

3263j

(2)V(X)=-2x+§=%(3炉—12x+8),0<X<2,

令S(X)=0,解得x=2+g√5(舍)或》=2-,。，

当Xe(O,2-∣G),V>0,函数单调递增，

(√3、

当XW2-52一，2W'<。,函数单调递减，

所以当x=2-不时,函数取得最大值V

则体积最大值为丫

18.设函数/(x)=αln(x+l)-x(αHθ).

⑴求曲线y="x)在(OJ(O))处的切线方程;

⑵求函数/(x)的单调区间；

⑶当0<“<l时，求/(x)零点的个数.

【正确答案】⑴y=(a—l)x；

⑵答案见解析；

(3)2个零点.

【分析】(1)求出/(x)导数，代入切点坐标，求出对应切点斜率，利用点斜式即可求出切线方程；

(2)求出f(x)导数零点，分类讨论零点在不同区间时/'(x)的取值范围，由此求出单调区间；

(3)根据导数求出/%)的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出了(x)零点的个

数.

【详解】(1)/(0)=αlnl-0=0,f∖x)=^--∖,则/(0)=α-l,

根据方程点斜式可得.y=(α-i)χ

(2)r(x)=^≤φ^,令r(x)=£z^>o,^x<a-∖,

因为x∈(-l,+oo),所以：

⅛α-l<-l,即α<0时,在区间(-1,+∞),∕,(x)<0,f(x)单调递减；

当α>0时，在区间(Ta—1),软χ)>O,〃x)单调递增，

在区间(4T,+∞),/'(x)<0,f(x)单调递减；

综上所述：当“<O时，“X)在(T,+∞)单调递减；

当4>0时，〃x)在(T,α-1)单调递增，在(α-l,w)单调递减.

(3)由(2)可知，当O<α<l时，/(x)在(-l,α-1)单调递增，在("—L+∞)单调递减，

其中.f(x)nm=√'(αT)=αlnα-α+l,令g(α)="lnα-α+l,

g<α)=ln4,因为0<α<l,所以g'(4)<O,此时g(α)单调递减，

g(α)>g⑴=0,所以/(x)maχ>0,

因为α-l<0,且/(O)=O,所以"x)在(αT,+∞)存在一个零点，

，二、~(--y∖—(--A

因为==所以/(x)在『二7,a7j存在一个零点,

故当0<α<l时，/(x)有2个零点.

四、单选题

19.若函数/(x)="z∙e*-x3+2x("z<0)在(0,1)上有极值点，则加的取值范围为()

A∙(-2,0)b∙12,TC.1：,0)D.[-l,-ɪ]

【正确答案】A

【分析】对函数进行求导，由于函数有极值点即r(x)有变号零点，根据导函数的单调性列出不等式

解出即可.

【详解】因为/(x)=m∙e*-V+2x("z<0),所以/'(x)=m∙e*—3Λ2+2(∙<0),

因为/(%)="2∙e'-6x<0在((U)上恒成立，所以广⑴在(0,1)上为减函数,

/,(0)=∕H+2>0

所以,∕,(1)=we-l<0,解得一2<小<0,

z??<0

故选：A.

20.己知数列[-ʒ)的前〃项和为刀,，若对任意的〃∈N",不等式/-2〃?>67；恒成立，则实数加

[4n~-IJ

的取值范围是()

A.(-8,-l]u[3,+e)B.(-∞,-3]U[1,+OO)C.[—3,1]D.[—1,3]

【正确答案】A

【分析】利用裂项相消求出，，再将恒成立问题转化为最值问题，进而求出结果.

11If1\}

[详解]由=―ιλ∕o.I\=oɔ―7一丁TT，

4〃-1(2n-lJ(2n+l)2∖2n-l2n+i)

因为对任意的"∈N,不等式布一2加>67；恒成立，

所以"?2-2m≥6×-,

2

解得加≥3或/%≤—1.

故选.A

21.对于二项式(1-v],四位同学作出了四种判断：

①在展开式中没有常数项；②在展开式中存在常数项；

③在展开式中没有X的一次项；④在展开式中存在X的一次项

上述判断中正确的是()

A.①③B.②③C.②④D.①④

【正确答案】D

【分析】根据展开式的通项公式即可作出判断.

r,rr1rr7r4r7

【详解】根据二项式定理得4M=C12--x-∙(-l)∙√=(-iy2-C；x-

因为reN,所以为4∕∙-7/0,故在展开式中没有常数项，①正确、②错误；

当r=2时，展开式中的X为一次项，③错误，④正确.

故选：D.

22.若函数g(x)=xlnx-a(X-I)恰有2个零点，则实数”的取值范围为()

A.(0,+<»)B.(0,e)

C.(O,1)L(1,÷X>)D.(0,1)(l,e)

【正确答案】C

【分析】设/(x)=Xlnr,求导数确定函数的单调性与取值情况，即可作出y=∕(x)的大致图象，将

函数g(x)的零点个数转化为函数函数y=∕(χ)的图象与直线y=α(χ-1)的图象交点个数，分析函数

与直线情况，即可得实数。的取值范围.

【详解】令F(X)=HnX,XW(O,+00),则r(x)=hu+l,

当Xe(OT)时，f'(x)<8/U)单调递减；当xeg,g°)时，制x)>0,/(x)单调递增，

当X=I时，/(x)=0,当无趋向正无穷时，/(x)趋向正无穷，故作出y=∕(x)的大致图象，如图所

由题知函数g(x)=xlnx-a(x-l)恰有2个零点，即函数y=∕(χ)的图象与直线y=α(χ-l)的图象恰

有2个交点，

易知点(1,0)为y="χ)与直线y="(χ-i)的公共点，又曲线y=∕(χ)在点(以))处的切线方程为

y=χ-∖,

所以当o<"i,直线y=。(XT)与与曲线y=∕(χ)有2个交点；

当时,直线y=α(χ-l)与曲线y=f(χ)有2个交点.

综上所述，实数”的取值范围为(0,1)(1,田).

故选：C.

五、填空题

23.设公差不为零的等差数列｛叫的前〃项和为S“；ai=∖,则称=_________________.

2d4

【正确答案】-9

【分析】设等差数列｛4,｝的公差为乩利用基本量代换求出(•=器熊|,进而求解.

【详解】设等差数列｛叫的公差为d,(d>0),

∙.∙%%=3(。4+4)，解得：%=d,a5=2d9

4=%—3d=-2d,.∙.q+%=—d,

.Sq_(«1+t⅛)×9_2¾×9_4d×9

…S4(q+4)x4(6f∣+Λ4)×4-J×4

故—9.

'∣e't-l∣,x≤l

,则方程/(X)=3的解的个数为.

24.已知函数/(X)=，Inx.

-----,x>1

、ɪ-l

【正确答案】3

【分析】分区间计算方程，根据方程的跟的数量即可判断解的个数.

【详解】当x≤l时，/(x)=∣et-l∣,令FT=；可得e，=T或e"=g,

31

解得百=Ine或々=In^,

因为ΛVΛ2∈(YO,1],所以当x≤l时，/(x)=g的解有2个；

当工>1时，f(x)ɪ-lɪ!ɪ,令二,可得21nx-x+l=0,

\'X-1x-12

、22

设g(x)=21nx-％+1,则/(工)二；一1,令g,(χ)=,7>0,解得χv2,

故g(x)在(1,2)单调递增，(2,+W)单调递减，

其中g(l)=0,g(x)在。,2)无零点,

⅛(e2)=5-e2<0,8(可在(2,+8)有一个零点,

即当x>l时，/(%)=；的解有1个；

综上方程"x)=g的解的个数为：3.

故3.

25.已知x+e'=y+lny,且f=y-x+l,则实数f的最小值为.

【正确答案】2

【分析】先将x+e"=y+lny(y>0),转化为x+e*=Iny+e∣”,再利用函数/(x)=x+e，在R上单调

递增，可得X=Iny,进而转化为f=y-lny+l(y>0),再利用导数求出函数f=y-lny+l的最小值

即可.

【详解】由x+e*=y+lny(y>0),得x+e*=Iny+3”,

令/(x)=x+e*,则/(x)=F(Iny),

Γ(x)=l+ev>O,所以函数/(x)=x+e'在R上单调递增，

所以X=Iny,

则t=y-x+1=ʃ-lny+l(y>θ),

==-^^-(y>θ),

yy

当0<y<l时，t'<0,当y>l时，t'>0,

所以函数r=y-lny+l在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以当y=l时，t=y-lny+l取得最小值l-lnl+l=2,

即实数f的最小值为2.

故答案为.2

关键点点睛：将x+e'=y+hIy(y>0),转化为x+e'=lny+e∣”,再利用函数"x)=x+e*在R上单

调递增，得X=Iny是解决本题的关键.

六、解答题

26.已知实数数列｛α,,｝满足∙4+2=∣4,J-4,("WN*)

(1)若α∣=0,4=2,求小，生的值