二次函数中四边形的存在性问题-2023年中考数学二轮复习题型归纳与练习 （解析版）

专题02二次函数中四边形的存在性问题

目录

最新模考题热点题型归纳

【题型一】梯形存在性

【题型二】平行四边形存在性

【题型三】矩形存在性

【题型四】菱形存在性

【题型五】正方形存在性

【题型一】梯形存在性

【典例分析】

(2023杨浦区一模)如图，在平面直角坐标系Xay中，抛物线y=o?+法+c过

点A(-1,0)、B(3,0).C(2,3)三点，且与y轴交于点。.

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；

(2)分别联结A。、DC,CB,直线y=4x+"z与线段OC交于点E,当此直

线将四边形ABCl)的面积平分时，求m的值；

(3)设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、尸为顶点的四

边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点尸的坐标.

【分析】(1)抛物线y=0√+bx+c过点A(-1,0)、B(3,0).C(2,

3)三点，列方程组可求得.

(2)由梯形的面积公式列方程即可求得m的值.

(3)由以A、B、C、尸为顶点的四边形是梯形，分类讨论当AB时,

点厂在线段CO上，求得尸(1,3)，当A尸〃BC时，直线BC的解析式

为；y=-3x+9,直线AF的解析式为y=-3χ-3,求得/(1,-6),当

CA〃板时，直线AC的解析式为；y=x+∖,直线B尸的解析式为；y=x-

3,求得F(1,-2).

【解答】解：(1)；抛物线y=0x2+bx+c过点A(-1,O),B(3,0),

C(2,3)三点，

a-b+c=0fa=-l

:∙<9a+3b+c=0解得：,b=2，

4a+2b÷c=3c=3

.∙.所求抛物线的表达式为y=-W+2x+3,其对称轴是直线x=l,

(2)由题意，得：D(0,3)，

'JDC∕/AB,ΛB=4,CD=2,

直线y=4x+m与线段DC交于点E,且将四边形ABCD的面积平分,

.∙.直线y=4x+m与边AB相交，设交点为点G,

点E的纵坐标是3,点G的纵坐标是0,

.∙.可求得E(ɪɪ,3),G(-见，0),

44

由题意，得：S四边用ABCD=2S四边形AGED,

.∖AB+CD=2(AG+DE)

Λ4+2=2(-旦+1+佳吗，

44

解得：m=-ɪ.

2

(3)当C尸〃AB时，点尸在线段CD上,

：.F(1,3),

当A尸〃BC时，

直线BC的解析式为；y=-3x+9,

.∙.直线A尸的解析式为y=-3χ-3,

当%=1时，y=-6,

：.F(1,-6),

当CA//BF^,

直线AC的解析式为；y=x+l,

.∙.直线BF的解析式为；y=x-3,

，当X=1时，y=-2,

F（1,-2）；

综上所述；点尸的坐标：（1,3）,（1,-2）,（1,-6）.

【点评】此题考查了抛物线解析式的确定、梯形的判定、梯形的面积的求法

重要知识点，（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑

问题要全面，做到不重不漏.

【提分秘籍】

梯形是相对限制较少的一类四边形，要使得一个四边形是梯形，只需要有其中一组对边平

行，另一组对边不平行即可。所以，在此类问题中，要么对点有较高的限制（在某一直线

上），要么对梯形形状有较高要求（等腰或直角）。综合利用各个条件，才能求出最后的结

果

【变式演练】

1.（2023青浦区一模）在平面直角坐标系XOy中（如图），己知抛物线y=f-

2x,其顶点为A.

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不

动点”.

①试求抛物线y=x2-2x的“不动点”的坐标；

②向左或向右平移抛物线y=x2-2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线

的“不动点”，其对称轴与X轴交于点C,且四边形OABC是梯形，求新抛

物线的表达式.

yA

工

I---------1-Λ.

II—

1_____I.-UT

I

I

F-

I-L…-

L-,

2.一

(；

⅛I-⅛

I

L

I

I

r3

-----I---------

I

L

I

I

【分析】（I）∙.∙α=l>O,故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1,-

1）;

（2）①设抛物线“不动点”坐标为。,则/=Z2-23即可求解；

②新抛物线顶点8为“不动点”，则设点8Cm,m）,则新抛物线的对称

轴为：x=m,与X轴的交点C（布，0）,四边形OABC是梯形，则直线X=

m在y轴左侧，而点A（1,-1）,点B（加，m）,则m=-1,即可求

解.

【解答】解：（I）Va=l>0,y=χ2-2χ=（X-I）2-1

故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1,-1）,

（2）①设抛物线“不动点”坐标为Qt,t）,则r=∕2-2f,

解得：f=0或3,

故“不动点”坐标为（0,0）或（3,3）；

②当OC〃AB时，

Y新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（机，m）,

二新抛物线的对称轴为：x=m,与X轴的交点C（机，0）,

四边形QABC是梯形，

直线X=m在y轴左侧，

;BC与OA不平行，

.∙.OC//AB,

又：点A（1,-1）,点BCm,m）,

m=-1,

故新抛物线是由抛物线y=x2-2κ向左平移2个单位得到的；

当03〃AC时，

同理可得：抛物线的表达式为：y=（χ-2）2+2=x2-4%+6,

当四边形OABC是梯形，字母顺序不对，故舍去，

综上，新抛物线的表达式为：y=（x+l）2-1.

【点评】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基

本性质进行分析是解题关键.

2.【2021年青浦二模】（12分）已知：如图，在平面直角坐标系Xoy中，抛物线

y=0?+法+3的图象与X轴交于点A（-1,0）和点B,与y轴交于点C,对称

⅛⅛是直线X=1,顶点是点。.

（1）求该抛物线的解析式和顶点。的坐标；

（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBZ）C为梯形时，求点

P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点E为X轴正半轴上的一点，当tanCZPBO+Z

PEO）=$时，求OE的长.

24.解：（1）∙.∙抛物线经过点力（一1,0）,对称轴是直线X=1,

a-b+3-Q,α=-L

（2分），解得（1分）

-±=1.b=2.

、2a

：.抛物线的解析式为J=-X2+2X+3.

把x=l代入抛物线的解析式，得y=4∙∙"（1,4）.（1分）

（2）Y点尸为抛物线第三象限上的点，且四边形阳％为梯形,

/.CD//BP.（1分）

延长〃。交X轴负半轴于点“过点〃作y轴的垂线，垂足为点

G,过点。作X轴的垂线，垂足为点"

TC(0,3),D(1,4),

：.GD=CG=GDe=45°.

'：GD//BF,/DFB=/GDC=S.

'：CD//BP,NPBF=4DFB=45°.（1分）

：.APBF=AHPB,J.PH=BH.

设点〃的坐标为（x,-χ2+2χ+3）.由题意可知8（3,0）.

得3—x=—（—/+2χ+3）.......................（1分）

解得尤=-2,或尤=3.（舍）

'.P（—2）-5）...................................（1分）

（3）,：P（-2,-5）,

:,在RtXPHO中,tanZPOH=-=-•............（1分）

OH2

<tan（/PBO+/PEO）=3，

2

，ZPBO+ZPEO=ZPOH.

由（2）可知，NPBO=45,因此NPEO<45,所以点少在点8的右

侧.

又,：NPBoMBPo=NPOH,，ΛPEO=ZBPO.........（1分）

,；NPoB=NPOB,：./\0PBS40EP...............（1分）

【题型二】平行四边形存在性

【典例分析】

（2022•宝山区二模）已知抛物线尸;a*+bx-2（a≠0）经过点4（1,0）、B

（2,0）,与y轴交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）将抛物线向左平移加个单位（加＞2）,平移后点力、B、。的对应点分别记

作4、£、G，过点G作X轴，垂足为点〃，点£在了轴负半轴上，使得

以0、E、A为顶点的三角形与相似，

①求点K的坐标；（用含勿的代数式表示）

②如果平移后的抛物线上存在点E使得四边形4校为平行四边形，求加的

值.

【分析】（1）将点Z（1,0）、B（2,0）代入y=a*+6x-2,即可求解；

（2）①分别求出4（1-加，0）,打、（2-必，0）,G（-加，-2）,〃（-

nι,0）,设“（0,外，由题意可知要使三角形相似，只需NOBlE=/DC4或

∕OB∖E=∕CA∖D,当∕OB∖E=∕DC∖A∖,tanN必建=tan/ZrM=工，3=则

2m-2

工，求出£（0,1-Affl）；当/0&E=/CAD,则二1=2,求出£（0,4-

22m-2

2/77）;

②设尸(x,y)，当£(0,加时，由题意可知四边形为平行四边形的

2

l~m=2~m+x

对角线，可得J1，再由y=-(x--^+∕zz)2+A,求出m=2(舍)或加

y=l-,m24

=1；同理当《(0,4-2M时，求得R=5.

2

【解答】解：(1)将点力(1,0)、B(2,0)代入y=aV+"-2,

.(a+b-2=0

I4a+2b-2=0

解得卜=-ι,

lb=3

.∙.尸-/+3Λ-2；

(2)①y=-f+3X-2=-(X-旦)2+A,

24

2

平移先后抛物线解析式为尸-(χ-l+m)+l,

24

令x=0,则y--2,

."(0,-2),

平移后A(1-Λ7>0)>B、、(2-加，0),C∖(-Λ7>-2)>

LX轴，

'.D(.-m,0),

'.OB∖=m-1,C↑D=2,A↑D=∖,

设£(0,7),

OE=-y,

•：/BeE=90°,NCZ⅛=90°,

：.ZOBiE=4DCA或ZOB∖E=ZCM

当∕OB∖E=NDC∖A,

y

tanZ(2fflæ=",tan∕%4=0,=JL,

BɪOm-2CɪD2

ʌɪ=1,

m-22

・・・y=1-—1m,

2

：.E(O,1-金)；

2

当∕OB∖E=∕C∖A∖D,

.∙.m=2,

m-2

.∙.p=4-2ZZ7,

：.E(O,4-2/77)；

综上所述：E点坐标为(0,I-LZ)或(0,4-2加；

2

②设F(x,y),

当£(0,1-ɪzz?)时，

2

Y四边形AxFEBx为平行四边形，

/.四边形4£为平行四边形的对角线，

l-m=2-m+x

・.<ɪ，

y=1^7m

X=-1,

∙.∙平移先后抛物线解析式为尸-(χ-3+加2+l,

24

Λy=(-3+而

24

1--m=-(--+m)^+A,

224

解得勿=2(舍)或必=工，

2

当加=工时，y=-―,F(-1,-3),

244

R=工；

2

当£(0,4-2加时，

∙.∙四边形4例为平行四边形，

.∙.四边形AE为平行四边形的对角线，

.ʃl-m=2-m+x

ly=4-2m

ΛX=-1,

∙.∙平移先后抛物线解析式为尸-(X-3+加2+A,

24

Λy=(-—+/n)^+A,

24

4-2m=-(--+m)?+工，

24

m=5或m—2(舍)；

综上所述：/=工或勿=5.

2

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，

三角形相似的判定及性质，抛物线平移的性质，平行四边形的性质是解题的关

键.

【提分秘籍】

解平行四边形的存在性问题一般分三步：

第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也

可以使计算又好又快.

已知定点的个数不同，选用的方法也不同，通常有以下两种情况：

1、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已

知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3

个交点.

2、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.

【变式演练】

1.[2021年杨浦二模】如图，已知在平面直角坐标系X。)-中，直线.v=x-5与X

轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线y=ax1+6x+c经过A、B两点.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)设抛物线与无轴的另一个交点为C,点P是抛物线上一点，点Q是直线

AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；

(3)在第(2)小题的条件下，联结QC,在NQCB内作射线CD与抛物线的

对称轴相交于点D,使得NQCD=ZABC,求线段DQ的长.

5-

4-

3-

2-

1.

II_______IIlll.

-2-1012345x

-Γ

-2-

-3-

-4-

-5-

【答案】(ɪ)ʃ=-X2+6Λ-5;(2)2(3,-2);(3)8

【分析】(1)求出A、B坐标代入y=αr2+6x+c即可得答案；

(2)求出C坐标，设P、Q坐标，根据平行四边形两条对角线的中点重合可列

方程求解；

(3)CO与AB交于N,由NQCO=ZABC可得△CQVS,求出QN及

N坐标，再求CN解析式及D坐标即可得出答案.

【详解】解：(1)在y=X-5中令》=0,得〉=-5,令丫=0得1=5,

.∙.A(5,0),8(0,-5),

将4(5,0),8(0,-5)代入y=αr2+6x+c得：

'0=25α+30+c

--5=C,

Q=-I

解得「

C=-5

•••抛物线的表达式为y=-9+6χ-5;

(2)在y=-x2+6x-5中令y=O得尤I=],无2=5,

.∙.C(1,0),

点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点,

设P(〃？,-m2+6m-5),Q(«,//-5),

0+m-5-m2+6/77-51+〃

则BP的中点为(),CQ的中点为(ɪ

22

0+〃—5

2

四边形BCPQ是平行四边形,

，线段BP的中点即是CQ的中点，

0+7W=1+H

-5-ITIL÷6m-5=0+n-5'

m-∖m=4

解得或V

〃=OTn=3'

∙∙∙Q(3,-2);

(3)设。与AB交于N,如图：

∙∙∙B(0,-5),C(1,O),0(3,-2),

ΛCρ=2√2,B0=3√2,

•：NQCD=ZABC,/CQN=NBQC,

：.ACQN^∕∖BQC,

.CQ_QNπrι2√2QN

'BQ~CQ'即电一2及’

：.QN=当,

设N(r,Z-5),而。(3,-2),

∙.∙在NQCB内作射线CD,

I=2,N(3,3)，

设CN解析式为y=履+〃，将N(g,-5)，C(1,O)代入得：

f105,

----=-k+fb

<33,

0=k+b

k=-5

解得〃「

∙∙∙CN解析式为y=-5x+5,

令X=3得y=-10,

.∙.Q(3,-10),

：.DQ=-2-(-10)=8.

【点睛】本题考查二次函数、平行四边形及相似三角形综合知识，解题关键是

设出坐标，利用相似三角形性质求出QN的长度.

2.(2021•上海宝山区•九年级一模)已知抛物线＞="法("HO)经过

A(4,0),8(T,3)两点，抛物线的对称轴与X轴交于点。，点。与点5关于抛

物线的对称轴对称，联结5C、BD.

B.

→-1→-

OAX

(1)求该抛物线的表达式以及对称轴；

(2)点E在线段BC上，当NCED=NaB。时，求点E的坐标；

(3)点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点。、A、M.N为顶点的

四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积.

解：(1)Vy=ax2+bx(α≠0)经过A(4,0)、B(-1,3)

'=3

由题意得J16α+劭=。，解得a~~5,...............................2分

[a-b=3.b=-2

I5,

∙∙.二次函数解析式为y=1/一日一.................................1

分

•••抛物线的对称轴为直线x=2........................................

1分

(2)由抛物线的对称轴与X轴交于点。，点。与点8关于抛物线的对称轴对

称

可得BO〃OA,且C(2,0)、£>(5,3).

ΛZDBC=ZBCO,NDBo+NBOC=180°.

VB(-1,3),：.BC=3√2...........................................

1分

'：ACED=AOBD,.∖ZBOC=ZDEB.

.∙.∕∖EBDSAOCB.

1分

.BEBDHUBE6

：.——=——，即——=——.

OCBC23√2

.,.BE=2√2,CE=叵.1

分

过点E作EFIO4,垂足为点R

在RtZ∖0EF中，由NEFC=90°可得EF=FC=1.

.∙.点E的坐标为（1,1）..........................................................1分

（3）以点。、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，

分类讨论：i）QA为对角线,MN与QA互相垂直且平分，可得N（2「?）

M（2,y）.

屋

TF

148

•∙S平行四边开处NAM-~,OA∙MN=—...............................2分

ii）>OA为边,MN与OA互相平行且相等.

IM（2,3）N

O∣EA1

M√M-W

可得M（2,亚）N（6,理）或N（-2,死）.

5,55

.144

•.S平行四边切AN”=OA-ME=.................................2r分

3.【2021年崇明二模】（12分）已知抛物线y=0r2+∕jχ-4经过点A（-1,0）,

B（4,0）,与y轴交于点C,点。是该抛物线上一点,且在第四象限内，联

结AC、BC、CD、BD.

（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；

（2）当SMCD=4SAAOC时，求点。的坐标;

(3)在(2)的条件下，如果点E是X轴上的一点，点尸是抛物线上一点,

当点A、D、E、尸为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标.

【分析】(1)设抛物线的解析式为y=α(x+l)(X-4)=ax2-3>ax-4a,

根据-44=-4,可得α=l,由此即可解决问题.

(2)如图1中，设Z)(W,M2-3〃?-4),连接。Z).根据SΛ8CD=CD+S7∖

OBD-S∆θβC=4S∆Λθc,构建方程求出m即可解决问题.

(3)分两种情形：如图2中，当AE为平行四边形的边时，根据。F=AE=

1,求解即可.如图3中，当AR。厂是平行四边形的对角线时，根据点F

的纵坐标为6,求出点尸的坐标，再根据中点坐标公式求解即可.

【解答】解：(1)∙.p=αr2+foc-4经过点A(-1,0),B(4,0),

,可以假设抛物线的解析式为y=α(x+l)(x-4)=加-34χ-4α,

.∙.-4a=-4,

.^.a=1,

二抛物线的解析式为：y=∕-3χ-4,对称轴χW∙.

2

(2)如图1中，设O(加，m2-3m-4),连接OD.

)'

图1

'：SaBCD=S4OCD+SAOBD^SΔ0BC=4SΔA0C>

.∙.JL×4×("+3m+4)+上X4Xm-工X4X4=4X工X1X4

2222

整理得:整-4∕∕j+4=0,

解得m—2,

：.D(2,-6).

(3)如图2中，当AE为平行四边形的边时,

'：DF//AE,D(2,-6)

(1,-6),

.∖DF=1,

/.AE=1,

：.E(0,0),或E'(-2,0).

如图3中，当AE,QF是平行四边形的对角线时,

•:点D与点F到X轴的距离相等,

，点F的纵坐标为6,

当y=6时，6=X2-3X-4,

解得X=-2或5,

：.F（-2,6）或（5,6）,

设E（〃，0）,则有土1=22或土巴=立2,

2222

解得"=1或8,

：.E（1,0）或（8,0）,

,综上所述，满足条件的点E的坐标为（0,0）或（1,0）或（8,0）或（-

2,0）.

【题型三】矩形的存在性

【典例分析】

例L在平面直角坐标系中，抛物缄=一反+加+3过点4(-1,0),点M是该抛物线

的顶点，点P是ʃ轴上一点，点。是坐标中面内一点，如果以X、M、P、Q为顶点的四边

形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标.

有一个是直角以A、M为定点，找出y轴上符合题意的点

P的坐标

即边形A.M.P.Q是利用平行四边形的性质求出符合题

平行四边形意的点Q的坐标；

1、C

例2：直线V=X-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线V=IX-X-3经过点B

与直线y=x-3交于点E(8,5),且与X轴交于点C、D两点。若点P在抛物线上,

在坐标平面内是否存在一点Q,使得以P、Q、B、C为顶点的四边为矩形？若存在,

求出点Q坐标.

有一个是直角以A、C为定点，找出抛物线上符合条件

的P点

四边形C、B、P,Q是利用平行四边形的性质求出符合题

平行B边形意的点Q的坐标；________________

Iy

MM

②以为对角线,，有两

①以AM为边，有两种AM

情况，以勾股定理求种情况，以勾股定理

出点P坐标后，再根据求出点P坐标后，再根

对称性，利用中点坐据对称性，利用中点

坐标求出点坐标

标求出点Q坐标Q

--------------------->-X.AX

例3：将抛物线S)=MV+状沿X轴翻折，得到

抛物线C2,如图，现将抛物线C向左平移冽个单位长度,

平移后得到新抛物线的顶点为M,与X轴的交点从翎

右依次为.4、Bi将抛物线C向右也平移也个单位长度,

平移后得到新抛物线的顶点为N,与X轴的交点从左到右

依次为D、E.在平移谑中，渴N、N、E.

M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时

的值；若不存在，请说明理由.

解题策略：1、本题涉及到图形的基本运动：翻折和平移，先根据题意

画出图形，然后根据题意用含m的代数式表示A、N、E、M坐标。

(1)抛物线G的表达式为丁=忌-4.

(2)抛物线G：y=-√3√+4■与X轴的两个交点为(T,0)、(1,0),顶点为Q-Ji).

抛物线C2：y=√Jxz-/与X轴的两个交点也为(一1,0)、(1,0),顶点为(0「正).

抛物线Cl向左平移冽个单位长度后，顶点河的坐标为(-私有)，与X轴的两个交

点为4(-1-也0)、B0-ZMJ0),AB=2.↑y

抛物线C2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标

为(犯f),与X轴的两个交点为氏-1+犯0)、

E(l+m,0)•所以M=(l+M-(一1∙-M=2(1+M∙

2、根据题意以及图片，有且仅有一种情况，即AMEN为矩形，利用对角线相等

列等量关系。

如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE=MN=2OM.

而0M2=ΓΠ2+3,所以4(1+m)2=4(ΠJ2+3).解得m=l.

解题策略：本题中矩形的顺序可以确定，那就是AMNP,其中NMAP=90。，由此

可以借助一线三等角模型，构造相似三角形解决问题。

如图，过点M作MD∙LX轴于点D,过点P作PE_LX轴于点E,tfk∙>/

：以A、M、NχP为顶点的四边形是矩形，二NMAP=90°,

二NDAM+NPAE=90°.VZAMD+ZDAM=90°,二NAMD=NPAE,

∙.ZADM=ZPEA=90°,--.∆ADM∞∆PEA,利用一⅛≡等角模

--.AD:PE=MD:AE,VA(2,0),P(6.2),型自造相似三角形一ʌ/∖p

：.PE=2,AE=4,二AD:2=MD:4,；.AD:MD=I:2,.∙∕T

设AD=m,则MD=2m,OA=2-m,Q^~~Ex

.∙∙M(2-m,2m),代入抛物线解析式>=(χ-3>-ι得

(2-m-3)2-1=2m,解得m=0,二点A、M重合，故不存在。

【提分秘籍】

二次函数中的矩形存在性问题相交于平行四边形的存在性问题而言，其难度更大。本

文将从知识梳理和例题讲解两部分进行讲解，具体分析矩形存在性问题中的“定”与

“动”以及具体的解题策略。

龙布存在类商魏前解概策必

【题型四】菱形的存在性

【典例分析】

(2022・嘉定区二模)在平面直角坐标系(如图)中，已知抛物线y=

aV+6x+3经过点4(3,0)、B(4,1)两点，与y轴的交点为。点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求四边形加%的面积；

(3)设抛物线y=aV+H+3的对称轴是直线/,点。与点8关于直线/对称，

在线段a'上是否存在一点后使四边形/〃方是菱形，如果存在，请求出点£

的坐标；如果不存在，请说明理由.

【分析】(1)把点48的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数

解析式解答；

(2)将四边形如6。的面积分解为△仍G4QIB的面积和，即可求解；

(3)求出点。的坐标，可得AgC£>,利用待定系数法求4λBC.缪的解析

式，NAD//BC,求出四的解析式，再求四、8C的交点坐标即可.

【解答】解：(1)：抛物线y=a∕+4τt∙3(a≠0)经过Z(3,0),B(4,1)

两点，

9a+3b+3=0

16a+4b+3=l

a4

解得

b=4^

.∙.抛物线的关系式为y=⅛-⅛3;

22

(2)如图，连接OB,

：.C(0,3),

,：A(3,0)、B(4,1)，

.∖OC=3,OA=3,

•∙S∣ιq⅛)g“aC=SbadSzma=l×3×4+l×3×l=⅛

222

(3)如图,

5

"ɪ__5

.∙.抛物线的对称轴是直线，X=-

2×-∣-2

∙.∙点〃与点6(4,1)关于直线/对称,

(1,1)，

∖,A(3,O),C(0,3),

∙'∙AD=√(3-1)2+l2=娓,切=V(3-1)2+l2=辰,

J.AD=CD,

设直线的解析式为y=mx+n,

.∙.(%lF=°,解

lm÷n=l

直线4〃的解析式为y=-上矛+3,

22

同理：直线8。的解析式为y=-上矛+3,

2

直线切的解析式为F=-2户3,

：.AD//BC,

当然〃⑦时，四边形助龙是菱形，

设直线/£的解析式为y=-2x+a,

,：A(3,0),

-6+a=0,解得a=6,

.∙.直线/£的解析式为y=-2x+6,

联立直线BQy=-1%+3得,

2

y=-2x÷6

x=2

1，解得

y-χ+3y=2'

，点K的坐标为(2,2).

.∙.存在一点使四边形4〃四是菱形，点6的坐标为(2,2).

【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析

式，待定系数法求一次函数解析式，面积的计算，菱形的判定与性质，两直线

相交或平行问题，综合性较强，难度较大，熟练掌握各性质是解题的关键.

【提分秘籍】

在解决函数背景下的菱形的存在性问题，我们需要先厘清菱形的判定：

(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边是菱形；

(3)对角线互相垂足平分的四边形是菱形。在目前的问题中，涉及的是：两个定点+一个半

动点+一个全动点问题或一，个定点，三个半动点的问题。

解题思路：

思路1：先平四，再菱形

先根据平行四边形的存在性，利用中点坐标公式确定一组方程，再利用邻边相

等，即利用距离公式列出一个方程，联立求解。

思路2：先菱形，再平四

在构成菱形的4个点中取2个定点和1个半动点，构成等腰三角形，利用距离公式求

出半动点的坐标。再根据平行四边形的存在性，利用中点坐标公式求出另一个全动点

的坐标。

模型分析：

分析：根据题意，先标出四个点的坐标，A(l,1),B(5,4),C(m,0),D(x,y),再

依据思路1和思路2分析解答。

以思路1为例：先平四，再等腰以AB为对角线为例，先计算AB、CD中点，再利用AC=BC,

可以得到C、D坐标。

以此类推，得出另外两种情况，即以AC、AD为对角线，解关于m,x,y的三元一次方

程组，进而得到点的坐标。

以思路2为例：先等腰，再平四

先求点C,点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰三角形的

存在性问题确定点C,在确定点I)。

以AB=AC为例，利用距离公式求出点C坐标，然后再利用平行四边形的存在性，计

算BC、AD的中点，求出点D坐标。

以此类推，得到另外两种情况，即AC=BC,AB=BCo先求出m的值，再解关于x,y的

二元一次方程组。

但是针对具体的问题要具体分析，画出图形，看能否简便运算。

【变式演练】

1.（2021年虹口区）（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第

（3）小题4分）

3

如图8,在平面直角坐标系XQy中，直线/：y=2x+b与X轴、y轴分另IJ交于点A、B,

4'

kQ

与双曲线”：y=£交于点尸（2,—），直线X=加分别与直线/和双曲线”交于点E、D.

X2

（1）求A和6的值；

（2）当点K在线段/8上时，如果ED=B0,求力的值;

（3）点C是y轴上一点，如果四边形比您是菱形，求点C的坐标.

（2分）

(2)由题意：E(m,-m+3),D(m,~).则£0=(3优+3)-2.…(1

4m4m

分)

,:ED=BO,且60=3,

39

/•(二加+3)----=3......................................................................

4m

(1分)

解得w1=2"m2--2>/3......................................................................(1

分)

・；点E在线段/6上，.∙.欣0.

二股的值为一26................................................................................................

（1分）

(3)易得BE=J(∕n-0)2+(1/«+3-3)2=小於〉.....................(1

分)

①当水0,点后在点。上方时，SE=I^=-Im.

V164

a054

*.'DE=BE9(―m+3)-----二—m.解得小二一3,g二一(舍).

4m42

153

ΛBC=DE=-,ɑθ,-ɔ).................................................................(1

44

分）

②当水o,点〃在点/上方时，2_(3m+3尸_2机，方程无实

m44

根.

③当加＞0,点£在点〃上方时，(^fn+3)--=-m,方程无实根.

4m4

④当加〉0,点〃在点夕上方时，^-(-∕n+3)=-∕n.

m44

ɑ

解得/叫二-3(舍)，m1=j.

1539

ΛBC=DE=-,QO,-).............................................................(1

88

分)

.∙.综上所述。(0,-1)或C,(O.y).............................................................(1

分)

1

2.[2021年徐汇区二模】如图，已知抛物线y=2x^+m与轴交于点C1直线

4

y=-Eχ+4与y轴和X轴分别交于点A和点B,过点C作COLAB,垂足为

点。，设点E在A-轴上，以CD为对角线作口CEDF.

(1)当点C在/A3。的平分线上时，求上述抛物线的表达式；

(2)在(1)的条件下，如果口CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐

标；

(3)如果点E是Bo的中点，且口CEDF是菱形，求m的值.

【答案】(1)y=;(2)小篇；(3)0

【解析】

【分析】（1）在Rt△ADC中，设OC=X,由勾股定理得：（4-X）2=x2+4,

3

解得％=5，即可求解；

（2）求出点D的坐标为（（，弓），如果。CEDF的顶点F正好落在），轴

上，则DE∕∕y轴，且。E=b,进而求解；

（3）求出点D的坐标为（48^2/?7,36；,）,由DE=CE,即可求解.

44

【详解】解：（1）对于.y=-§x+4①，令y=-y%+4=0,解得x=3,令X=

。，则y=4,

故点4B坐标分别为（0,4）、（3,0）,

由点48的坐标知，04=4,08=3,贝（JA8=5,

连接BC1如下图，

∙.∙点C^ZABO的平分线上,则OC=CD,

ΛRtΔBCD^RtΔBCO(HL),

故Bo=OB=3,则A。=5-3=2,

]^0C=CD=X,则AC=4-X,

3

在Rt∆ADC中，由勾股定理得：（4-X）2=Λ2+4,解得X=-

故点。的坐标为（O,I3）,

则抛物线的表达式为y=+1/+33；

（2）如上图，过点C作CH∕∕x轴交AB于点H,则NABo=ZAHC,

43

由AB得表达式知，IanZABO=-=tanZDHC,则tanNOC"=-,

34

33

故直线CD的表达式为），=；χ+；②，

X——

联立①②并解得ʒ,故点。的坐标为（5,U）,

•1Nɔɔ

y=­

I5

如果口CEDF的顶点F正好落在y轴上，则OE〃＞轴，且。E=CF,

故DE=yυ=y,

12339

则”∙=yc÷DE=《+彳=而,

39

故点F的坐标为（0,-）；

3

（3）..•点E是BO的中点，故点E（-0）,

3

由（2）知，直线CD的表达式为y=~x+加③，

联立①③并解得，点D的坐标为（25，25）'

3

而点E、C的坐标分别为（5,0）、（0,加），

∙.FCEOF是菱形，贝（JOE=CE,

48—12〃?36+16/n

2=(5)2+m2,

即9m2-36m=O,

解得加=4（舍去）或O,

故他=O.

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性

质、解直角三角形等.

【题型五】正方形的存在性

【典例分析】

（2022・长宁区二模）如图，已知菱形/腼的顶点力、6分别在X轴、y轴的正

半轴上，点〃的坐标为（4,1）,抛物线y=SV+8χ+c经过点力、B、D,对称

6

轴为直线X=丝.

10

（1）求抛物线的表达式；

（2）求证：菱形∕L≡是正方形；

（3）联结OG如果尸是X轴上一点，且它的横坐标大于点〃的横坐标，APCD

=ΔBCO,求点尸的坐标.

【分析】（1）由对称轴可得6=-毁，将点。的坐标代入尸皂*+8x+c即可求

66

解析式；

（2）分别求出力点、8点坐标，证明44%总△物少（SSS）,即可证明菱形

48C0是正方形;

（3）过点C作/邮轴交于."点，过点尸作总工协,交于N点，连接〃R通过

证明△,监CyZSfl45（A4S）,求出C点坐标，再证明△就解SZ∖APC,求出尸点坐

标即可.

【解答】⑴解