重庆外国语学校（川外附中）高三上学期1月月考数学试题

1月月考数学试题一、选择题（共8小题）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的交并补运算可求.【详解】由得，又，.故选：C.2.复数的共轭复数在复平面内所对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则在复平面内，对应的点坐标可求．【详解】解：由，则，故在复平面内所对应的点的坐标为：.故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.4.某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用古典概型即可求得甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率.【详解】设这5名志愿者为甲，乙，丙，a，b，从5名志愿者中随机选出3名，共有10种可能的结果：（甲，乙，丙），（甲，乙，a），（甲，乙，b），（甲，丙，a），（甲，丙，b），（甲，a，b），（乙，丙，a），（乙，丙，b），（乙，a，b），（丙，a，b），其中甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为故选：A5.等差数列前项和为，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将化成和的形式，得到二者关系，求得，利用求得结果.【详解】，即故选：C【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；（2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.6.纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，位于秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年的谜局：究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”，在这些图案中，有一只身长50米的大蜘蛛（如图），现用视角为的摄像头（注：当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角）在该蜘蛛图案的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是（）A.50米 B.米C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】根据题意求得拍摄区域的圆的直径最小为，再利用余弦定理求圆锥母线长，从而利用圆锥的高、母线、底面半径的关系即可得解.【详解】依题意，要使整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则拍摄区域的圆的直径最小为，若所成圆锥的母线长为a，此时由余弦定理得，，即，所以该摄像头距地面的高度最小值米.故选：B.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可知，，再结合双曲线第一定义，可得，对有，即，解得，再对，由勾股定理可得，化简即可求解【详解】如图，因为，所以.因为所以.在中，，即，得，则.在中，由得.故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知结合式子特点合理构造函数，结合导数与单调性的关系分别证出，，然后进行赋值即可比较函数值的大小.【详解】令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故，所以，当时取等号.所以，令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故，所以，当时取等号.所以，即.故选：C.二、多选题（共4小题）9.已知数据的平均数为，方差为.由这组数据得到新数据，其中，则（）A.新数据的平均数是 B.新数据的方差是C.新数据的平均数是 D.新数据的标准差是【答案】AD【解析】【分析】由平均数与方差的计算公式判断【详解】由题意得，由平均数与方差公式得的平均数是，方差，标准差是，故AD正确，BC错误故选：AD10.已知函数，则（）A.有三个零点 B.有两个极值点C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线【答案】ABC【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.【详解】，，令，解得：或，时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减；的极小值为：，的极大值为：，有三个零点，有两个极值点，A、B正确；对于C，若点是曲线的对称中心，则有，将函数代入上式验证得：，C正确；对于D，，解得：，当时，，当时，，切线方程为：或，D错误.故选：ABC.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的图象关于点对称B.在区间上单调递减C.将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的函数为偶函数D.【答案】BCD【解析】【分析】借助于辅助角公式将化简，然后利用三角函数的对称性，单调性以及三角函数的平移逐一判断选项，可得结果.【详解】，令，则，当时，，此时，故的图象关于点对称，A错误；当时，，而函数在上单调递减，B正确；将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到为偶函数，C正确；，，所以．故选:BCD．12.在棱长为的正方体中，为正方形的中心，为棱上的动点，则下列说法正确的是（）A.点为中点时，B.点与点重合时，三棱锥外接球体积为C.当点运动时，三棱锥外接球的球心总在直线上D.当为的中点时，正方体表面到点距离为的轨迹的总长度为【答案】ACD【解析】【分析】利用线面垂直的性质可判断A选项的正误；利用球体的体积公式可判断B选项的正误；利用球体的几何性质可判断C选项的正误；确定点为球心，半径为的球在正方体每个面上的截面图形，求出轨迹的长度，可判断D选项的正误.【详解】对于A，连接、，则为的中点，当点为的中点时，则，平面，平面，则，因为四边形为正方形，则，，则平面，平面，则，因此，，A对；对于B，当点与点重合时，三棱锥的外接球即正方体外接球，该球的半径为，该球的体积为，B错；对与C，因为，且，则平面，如下图所示，连接交于点，因为，则，则，易知为等边三角形，且为的中点，故为的中心，故以为底的三棱锥的外接球球心在上，C对；对于D，如下图所示，在侧面上，设以点为球心，半径为的球分别交、于点、，则，所以，，从而，故，故在平面和平面上轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的两段弧，设以为球心，为半径的球截平面所得圆的半径为，则，故以为球心，为半径的球在平面和平面上的轨迹是以为半径，圆心角为的两段弧，因此，轨迹的总长度为，D对.故选：ACD.【点睛】方法点睛：解决与球相关切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题（共4小题）13.已知向量，，若．则______．【答案】【解析】分析】先根据向量垂直求参，再根据坐标求模即可.【详解】由得，即，解得，所以，．故答案为：．14.的二项展开式中的常数项为________．（用数字作答）【答案】160【解析】【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果.【详解】由二项式展开式的通项公式为，令，则常数项为，故答案为：15.已知函数满足，当时，，若不等式的解集是集合的子集，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先由已知条件判断出函数的单调性，再把不等式转化为整式不等式，再利用子集的要求即可求得a的取值范围.【详解】由可知，关于对称，又，当时，单调递减，故不等式等价于，即，因为不等式解集是集合的子集，所以，解得．故答案为：16.已知，函数在有极值，设，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则___________.【答案】615【解析】【分析】根据给定条件探求出，再借助的意义分析的前100项的各个值，再求和作答.【详解】函数，求导得：，因，函数在有极值，则存在，有，解得，于是得，即，而，因此，数列的前100项中有1个0，3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，13个6，15个7，17个8，19个9，而，所以.故答案为：615【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.四、解答题（共6小题）17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用正弦定理转化后，整理化简得从而求出角的大小；（2）利用余弦定理可得关系，利用基本不等式求的最大值，由此可求周长的最大值.【小问1详解】由及正弦定理得，因为，所以，因为，，所以，，又，解得；【小问2详解】∵，，即，所以，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立．所以周长的最大值为．18.在数列中，，，且对任意的，都有.（1）证明：是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）由，可得，即是等比数列，可求得，变形为，即可得到是等差数列，可求得，从而求得；（2），利用分组求和以及等差等比前项和公式，先求出为正偶数时的表达式，再求为正奇数时的表达式，即可得到.【小问1详解】证明：因为，，所以.因为，所以，又，则有，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.所以，所以，又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.【小问2详解】由（1）知，则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.所以当为偶数，且时，；当为奇数，且时，为偶数，.时，，满足.所以，当为奇数，且时，有.综上，.【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.19.如图，在四棱锥中．平面平面，∥，，，，点E，F分别为AS，CD的中点．（1）证明：∥平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，从而得，即证得线面平行；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．【小问1详解】如图，取的中点，连接，．因为分别为的中点．所以，．因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面．所以平面．【小问2详解】如图，取的中点，连接，．因为为等腰三角形，所以．因为平面平面，平面平面．所以平面．又，平面，则，，易证．可建立如图所示的空间直角坐标系．因为，．所以，，，，所以，，，，设平面一个法向量为，则有即取得设平面AFS的一个法向量为，则，即，取，得，所以，设二面角的大小为，则．20.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为能否晋级成功与性别有关；晋级情况性别晋级成功晋级失败总计男16女50总计（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．参考公式：，其中．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）（2）列联表见解析，有（3）分布列见解析，3【解析】【分析】（1）根据频率和为1，列方程求出a的值；（2）由频率分布直方图计算晋级成功的频率，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出能有的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由晋级失败的频率估计概率，得，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值．【小问1详解】由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知，解得．【小问2详解】由频率分布直方图，知晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数为，填表如下：晋级情况性别晋级成功晋级失败总计男163450女94150总计2575100所以，所以有的把握认为能否晋级成功与性别有关．【小问3详解】由（2）知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级失败的概率为，易知，则，，，，．所以的分布列为01234则．21.已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左､右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.【答案】（1）（2），此时直线的方程为：.【解析】【分析】(1)根据题意，列出方程，解之即可求出结果；(2)过点的动直线的方程为：，然后将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出两点纵坐标的关系，然后将焦点三角形面