2023北京高三一模数学汇编：第一道解答题（第16题）

2023北京高三一模数学汇编

第一道解答题(第16题)

2兀

1.(2023•北京西城•统考一模)如图，在ASC中，ZΛ=y,AC=√2.8平分NACB交AB于点O,

CD=B

(1)求NADC的值：

(2)求ABCf)的面积.

2.(2023•北京东城•统考一模)已知函数f(x)=sinx+sin(x+g

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)若χ=3是函数y=/。)—/(χ+e)(e>θ)的一个零点，求夕的最小值.

6

3.(2023•北京朝阳•统考一模)如图，在三棱柱ABC-AAG中，，平面ABC,D,E分别为AC,AG

(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

(3)求点D到平面ABE的距离.

4.(2023•北京丰台•统考一模)已知函数/(x)=2Sin(3x+夕)(3>0,0<。<兀)的部分图象如图所示.

⑵若函数g(x)=/(X)SinX,求g(x)在区间0,-上的最大值和最小值.

5.(2023•北京石景山•统考一模)如图，在C中，AC=4√2,C=g点。在边BC上,

cosZADB=ɪ.

3

(2)若aABO的面积为2√∑,求A8的长.

6.(2023,北京房山•统考一模)已知函数/(x)=sin(<yχ+。)(。>0,0<9<π)的最小正周期为兀.

⑴求0值；

(2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定/U)的解析式.设函数

g(x)=f(X)-2si∏2χ,求g(x)的单调增区间.条件①：/S)是偶函数；条件②：f(χ)图象过点目)；条件

③：/S)图象的一个对称中心为(卷,0).注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.

7.(2023•北京顺义・统考一模)已知函数f(x)=4SinXCOSX-∖∕5cos2x的一个零点为台.

6

(1)求A和函数/(x)的最小正周期：

(2)当xe时，若/(X)≤a恒成立，求实数机的取值范围.

8.(2023•北京平谷•统考--模)在一ΛBC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,且αtanB=%sinA.

(1)求角8的大小；

TT

(2)若BC=4,4=:，求ABC的面积.

4

9.(2023・北京海淀・统考一模)如图，直三棱柱ABC-AAG中，AC=BC=I,AA=2,AClBC,。是

(1)证明：GOl平面3C3；

(2)求直线CD与平面BCQ所成角的正弦值.

参考答案

,∙(1)7

.([F

【分析】（I）在ZVIDC中，利用正弦定理即可得解;

（2）由（1）可求出ZACD=NBCD=π-,-E=R,再根据Co平分/4CB可得,ABC为等腰三角形，再根

据三角形的面积公式即可得解.

ACCD

【详解】（1）在C中，由正弦定理得

sinZ.ADCsinZA'

所以SinWC=处X=f⅛="

CD百2

因为OC∕AOC＜巴,

3

JT

所以NAOC="

（2）由（1）得ZACO=NBCD=兀-与-；=展，

由题设，ZB=ZACB=1,即/1BC为等腰三角形,

O

所以BC=2×AC×cos—=∖∣6,

6

ππ√3√21√2√6-√2

----×---------×----=------------

3^422224

所以的面积SBCeZ4、品氐i哈=吟文

2.(l)2π

吗

【分析】（1）三角函数恒等变换的公式，化简函数/（x）=6sin[x+t｝进而求得函数的最小正周期;

（2）由（1）得到函数），=6Sin（X+2）-6Sin（X+勿+1）,根据题意，得到方程+当，即可

求解.

1.

【详解】（1）解:由函数/(x)=sin%+sin=sιnx÷-sιnx+——COSX

22

3.√3

=­sιnx+——cos%=

22

所以函数“X）的最小正周期为7=2兀.

=f(x)-f(x+φ)

(2)解：由y=ʌ/ɜsin[x+^-j-√5sinfx+^>+-^∙

TT

因为χ=7是函数y=∕(χ)-∕O+e)(e>0)的一个零点,

6

->∕3sinLT=o,

即~~-Sin(I+—=0,即Sin+=--，

TrTrTrZJT

可得§+9=§+2kπ+^>=-÷2kπ,左∈Z,

TT

即O=2kπ或°=§+2kπ,keZ,

又因为e>o,所以9的最小值为三.

3.(1)证明见解析；

⑵也

6

(3)—.

3

【分析】(1)根据线面垂直的性质得到。EIAC,根据等腰三角形三线合一的性质得到ACl8。，然后

利用线面垂直的判定定理证明即可：

(2)利用空间向量的方法求线面角即可；

(3)利用空间向量的方法求点到面的距离即可.

【详解】(1)在三棱柱中，D,E为AC,AG的中点，,OE〃/¼,

：AA，平面ABC,.∙.DE1平面ABC,

：ACu平面ABC,ΛDElAC,

在三角形ABC中，AB=BC,。为AC中点，ΛAClBD,

VDEryBD=D,DE,BDl平面二ACJ•平面BDE.

如图，以。为原点，分别以D4,。民。E为x,Kz轴建立空间直角坐标系,

在直角三角形AfiO中，AB=非,AD=^AC=∖,，80=2,

D(0,0,0),£(0,0,2),A(l,0,0),8(0,2,0),

OE=(0,0,2),Afi=(-1,2,0),AE=(-l,0,2),

设平面ABE的法向量为"?=(x,y,z),

ABm=-x+2y=0,、

，令χ=2,则y=l,z=l,所以m=(2,l,l),

AE∙m=-x÷2z=O

设直线OE与平面ABE所成角为。，

所以sin，=卜OS(Z)瓦机|==——=恪.

I'Z|∣DE∣∙∣w∣2×√J4+l+l6

∖DE-m∖2√6

(3)设点。到平面/WE的距离为d,所以d=Lrr1=*4T=一.

∖m∖√63

4.⑴/(x)=2Sink+[)

(2)最大值为应和最小值为O

【分析】(1)由图象及三角函数的性质可以得到。，。，进而得到/(x)的解析式；

(2)根据三角恒等变换化简g(x),进而分析在区间Oq上的最大值和最小值.

【详解】⑴由图象可知：7=4x(学一丁]=生.∙.o=l,

I44)ω

将点(：，2)代入V=ʃ(ɪ)得/(：)=2Sin仔+0)=2.∙.°=(+2E,

Q八<φ<πs.φ=-π

π

：./(X)=2sinXH---

4

√2

(2)g(x)=/(x)sinx=V2sinMSinx÷COSX)=-y(sin2x-cos2x)+ʒ-=sin(2x--jj÷

T

I八兀ZQC兀TC兀

由/£得2x-丁£一:，;

4444

当2x-：=-：时，即χ=αg(χ)m⅛=°;

当时，即X='g(x)nm=亚;

444''max

5.(1)AD=3

⑵AB=3

【分析】(I)根据三角形中邻补角互补，cosZADB=∣,由平方关系得sinZΛZ)C,再结合正弦定理即可

求得AQ的长；

(2)由AABD得面积可得SinNA。C=SinNADB=述，再结合余弦定理即可求得A3的长.

3

【详解】(1)因为ZA£)8+ZAf)C=兀，所以cos/Af)C=-COSNA£>8=-；

在AAQC中，因为NAQC∈(0,7t)

所以sinZADC=-J∖-cos2ZADC=

3

ADAC

在44?3中，由正弦定理得,

SinCsinZADC

4√2×i

ACsinC_____2___ɔ

所以AD=

sinZADC2√2

(2)ZkABD的面积为2后，WɪOS∙DAsinZADB=2√2

因为ZAZ)8+ZADC=τr,所以SinNAOC=SinNAQB=述

3

又因为4)=3,所以屹=2

在ZSABO中，由余弦定理得A8?=〃片+082—2八4。8<0SZAoB=32+22-2x3x2xg=9

所以AB=3.

6.(l)<w=2

(2)答案见解析

【分析】(1)根据周期公式，即可求解；

(2)分别选择条件，根据三角函数的性质，求*,再根据三角函数的单调性，代入公式，即可求解.

2兀

【详解】⑴由条件可知，—=π,解得：。=2；

ω

(2)由(1)可知，f(x)=sin(2x+φ)(ω>0,0<φ<π),

若选择条件①："x)是偶函数，

JT冗

所以2χO+w=5+E,Z∈Z,即°=5,

所以/(x)=Sin+=COS2x,

(x)=cos2x-2sin2x=2cos2x-l,

令一π+2kπ≤2x≤2kπ,攵∈Z,

TT

JW得：一]+E≤x≤E,k∈Z,

JT

所以函数g(x)的递增区间是-]+E,E,keZ,

若选择条件②：/O)图象过点信1),/Q)=sin(2x>夕)=1,0<^<π,

则3+9==+2kt,%GZ,即e=3+2Aπ,%eZ,所以夕=巴,

3266

所以f(x)=sin(2x+^J,

所以g(x)=sinj2x+-j-2sin2X=——sin2x÷—cos2x÷cos2x-i

=—ɪsin2x+—cos2x-1=ʌ/ɜsin[2x÷-∣-1

22Iɜj

令-]+2kπ≤2x+1≤5+2kπ,keZ,

解得：----hE≤X≤---Fkjl,

1212

所以g(x)的单调递增区间是喑+E.+航Λ∈z.

如选择条件③：/(χ)图象的一个对称中心为^,0),

SJTSTTTr

所以2x2—+*=E,R∈Z,φ=kπ------,G<φ<τι,φ=~~,

1266

所以/(x)=sin(2x+.J,

W(x)=sin2x+-2sin2%=ɪsin2x+gcos2x+cos2x-l

=sin2x+—cos2.t-1=ʌ/ɜsinf2x+-^‰l

22I3√

TrJrlr

+2Aπ≤2x+-≤ɪ÷2⅛π,⅛∈Z,

SjΓ7Γ

解得：---+&7t≤X≤—+4兀，

1212

所以g(x)的单调递增区间是-∣J+E,3+EJ∈Z.

7.(I)A=2;兀

⑵[2,E)

【分析】(1)解方程/(2)=0即可求A,然后把函数/(x)降累，辅助角公式后再求周期.

(2)若f(x)≤∕n恒成立,即求/(x)maχ4m∙

【详解】(1)/(x)=ASinXCoS%-bcos2x的一个零点为5

6

∙,∙/1^7^∣=sin—∙cos——ʌ/ɜcos—=0,BPA∙-!-∙^^-ʌ/ɜ-ɪ=0>..A=2

⑹663222

.,./(x)=2sinX∙cosx-∖∣3cos2x=sin2x-∖∣3cos2x=2sin(2x-g)

所以函数"x)=2sin(2xf的最小正周期为牛=”.

公π

⑵∙XW0,-

2χeπ2π

-f3,T

当2x-方=］时有最大值，即f(x)a=2sin］=2.

若/(x)≤m恒成立,即/(x)raax≤m,

所以加22,故m的取值范围为［2,+∞).

8.(Dy

(2)6+2√3

【分析】(1)根据已知条件及同角三角函数的商数关系，结合三角形内角的特点及特殊值对应的特殊角即

可求解；

(2)根据(1)的结论及三角形的内角和定理，再利用两角和的正弦公式及正弦定理，结合三角形面积公

式即可求解.

【详解】(1)由OtanB=2Z?SinA,得SinA∙∙^^∙=2SinB∙si∏Λ,

cosθ

因为OvAvπ,0v4vπ,所以sinΛ>O,sinB>O,所以cosB='，

2

因为0<B<7Γ,所以B=^.

(2)由(1)知，B=p因为A=：,所以C=Tt-A-8,

因为A+8+C=π,所以C=7t-(8+A),

所以SinC=Sin(A+B)=sinAcosS+cosAsinB=^■!■+立∙x避■=理土也∙.

v,22224

.√6+√2

.4X-----------

.十.-TEacα∙sinC4、、CR

由正弦/E理1~~7二丁二，得zaC=-1<=------Tr------=2+2√3.