《统考版》高考数学（理科）一轮练习专练65离散型随机变量的均值与方差正态分布

专练65离散型随机变量的均值与方差、正态分布命题范围：离散型随机变量的均值、方差及正态分布．[基础强化]一、选择题1．[2021·唐山摸底]随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝()A．6B．5C．4D．32．已知X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)和D(Y)分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.63．设随机变量X～N(2,4)，若P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，则实数a的值为()A．1B.eq\f(5,3)C．5D．94．已知离散型随机变量X的分布列如下：X135P0.5m0.2则E(X)＝()A．1B．0.6C．2.44D．2.45．[2021·吉林长春一中高三测试]随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A.2B．3C．4D．56．[2021·广东广雅中学高三测试]口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X表示取出的球的最小号码，则E(X)＝()A．0.45B．0.5C．0.55D．0.67．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.38．设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)9．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，若P(X>1)＝P，则P(－1<X<0)＝()A.eq\f(1,2)＋P B．1－PC．1－2P D.eq\f(1,2)－P二、填空题10．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.11．一个正四面体ABCD的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X，则X的均值为________．12．在我校2018届高三10月份高考调研中，理科数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试的有780人，那么估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．[能力提升]13．[2021·天津一中高三测试]设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D(X)＝()A．2B．1C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)14．[2021·广西柳州高三测试]甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为eq\f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq\f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为()A.eq\f(241,81)B.eq\f(266,81)C.eq\f(274,81)D.eq\f(670,243)15．2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2021年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ～N(1000，σ2)，若P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1000)＝b，则eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值为________．16．已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为________.ξ012Py0.4x专练65离散型随机变量的均值与方差、正态分布1.C由正态分布的特点可知，P(ξ>6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴μ＝eq\f(2＋6,2)＝4.2．B∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，又X＋Y＝8，∴Y＝8－X，∴E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4.3．B∵P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，∴eq\f(a＋2＋2a－3,2)＝2，得a＝eq\f(5,3).4．D由分布列的性质可知0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.5．C由分布列的性质可知eq\f(1,6)＋p＋eq\f(1,3)＝1，∴p＝eq\f(1,2)，∴E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×p＋a×eq\f(1,3)＝1＋eq\f(a,3)＝2，∴a＝3，∴D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1，∴D(2X－3)＝4D(X)＝4.6．B由题可知X可取的值为0,1,2，则P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝0.6，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝0.3，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝0.1，∴E(X)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5.7．B由题意得X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，得p＝0.4或p＝0.6，又P(X＝4)<P(X＝6)，∴Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6<Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，∴(1－p)2<p2，∴p>0.5，∴p＝0.6.8．C由图可知，μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A不正确；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B不正确；当t为任意正数时，由图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝－1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D不正确．9．D∵X～N(0,1)，∴正态分布曲线关于x＝0对称，∴P(X>0)＝P(X<0)＝eq\f(1,2)，∴P(X>1)＝P(X<－1)＝P，∴P(－1<X<0)＝P(X<0)－P(X<－1)＝eq\f(1,2)－P.10．1.96解析：由题意，X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.11.eq\f(5,2)解析：X的分布列为X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)∴E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(5,2).12．78解析：∵X～N(90，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝90对称，又P(60≤X≤120)＝0.8，∴P(X>120)＝eq\f(1－0.8,2)＝0.1，∴估计高于120分的有780×0.1＝78人．13．C每次取球时，取到红球的概率为eq\f(2,3)，黑球的概率为eq\f(1,3)，∴取到红球的概率服从二项分布，即：X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，∴D(X)＝3×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,3).14．B由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．所以P(ξ＝2)＝eq\f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(5,9)×eq\f(4,9)＝eq\f(20,81)，P(ξ＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(16,81)，所以E(ξ)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81).故选B.15．32解析：由ξ～N(1000，σ2)，P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1000)＝b得a＝0.5－b，所以a＋b＝eq\f(1,2)，则eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))(a＋b)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(b,a)＋\f(9a,b)))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2\r(\f(b