2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（上）入学数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（上）入学数

学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.（5分）已知集合A={x∣y=∕g（1-χ）},8={x∣x2-2x<0},则AUB=（）

A.（0,+8）B.（-8,1）C.（0,2）D.（-8,2）

2.（5分）复数rL的值为（）

3+4l

A.∖+iB.1-ZC.-1+zD.-I-Z

3.（5分）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的

两个事件的是（）

A.“至少有1个红球”与“都是黑球”

B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”

C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”

D.“都是红球”与“都是黑球”

4.（5分）函数y=x2+∕"lx∣的图象大致为（）

5.（5分）已知，”，，?为两条不同直线，ɑ,β为两个不同平面，给出下列命题:

■mc∑a

=SIla④nu∕?=ZnIIn,

,aHβ

其中的正确命题序是（

A.②③B.③④C.①②D.①②③④

6∙（5分）一个电路如图所示，48,C,D,E,F为6个开关，其闭合的概率都弓旦

是相互独立的，则灯亮的概率是（）

7.（5分）在AABC中，角A,B,C的对边分别为4,b,c,若尻=4百，sinΛ+2sinBcosC

=0,则AABC面积的最大值为（）

B.√3D.2√3

8.（5分）己知函数/^（x）=log2**+1）+kx,g（x）=∕0g2（α,2*-gα）（4>0）,若f（x）

是偶函数且满足函数y=∕（x）-g（%）有一个零点，则α的取值范围是（）

A.0<a<lB.0<a≤lC.a>lD.心1

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

（多选）9.（5分）下列命题中正确的是（）

A.若ab>序,贝!]a>b

B.已知”>0,b>0,若α+6=4,则αb≤4

11

C.已知q>0,b>0,若必=4,则-+一≥1

1111

命题"b,都有展≤辟立”的否定是命°。，使FV发成立"

(多选)10.(5分)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),则()

TT→

A.(a+ð)1a

B.与向量α共线的单位向量是（拳，Y）

→T

C.∣α+26|=5

D.向量；在向量。上的投影向量是-孚》

（多选）11.（5分）对于AABC,有如下命题，其中正确的有（）

A.若sin2A=sin2B,则4ABC是等腰三角形

B.若AABC是锐角三角形，则不等式SinA>cosB恒成立

C.若si∏2A+sin2B+cos2c<1,则AABC为钝角三角形

一√3√3

D.若AB=6,AC=!,8=30°,则AABC的面积为一或一

42

（多选）12.（5分）正方体ABa）-AIBlCIQl的棱长为2,E,F,G分别为BC,CC∣,BBI

的中点.则（）

A.直线。与直线A尸垂直

B.直线AIG与平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为5

D.点4和点O到平面AE尸的距离相等

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应

位置上.）

13.（5分）不等式33F>'的解集是.

14.（5分）如图，在aABC中，2%=P是线段BN上的一点，^AP=mAB+^AC,

则实数W=.

BC

15.(5分)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数0,另一个作

为对数的真数6.则log/e(0,1)的概率为.

16.(5分)如图，四棱台ABCQ-AlBlelQl上下底面都为正方形且侧棱长都相等，且竽1=

AB

1

设£、F、G分别是棱A3、BC、CIOl的中点，过£F、G的平面与AAl交于点”,

则K-值为____________________；若四棱台ABCQ-AIBiCiOi的高2,体积为14,则

AA1

该四棱台外接球的表面积为.

A

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步

骤.)

TTTTi

17.(IO分)已知向量Q=(遮，sin2x),b=(sInxcosx,—1),函数f(x)=Q∙b+才

(1)求/G)的单调增区间；

(2)设α∈(0,装)，若/©)=会求/(α)的值.

18.(12分)如图，在正方体ABC。-AIBIClDI中，棱长为1,E为小。的中点，ACHBD

=O.

(1)求证：AC，平面

(2)求证：DE〃平面4CBi；

(3)求三棱锥E-ACBl的体积.

19.(12分)为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，

已知甲同学答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q(p>q),且在考试中

每人各题答题结果互不影响，己知每题甲、乙两人同时答对的概率为>恰有一人答对的

2

概率为卷.

（1）求P和q的值；

（2）求甲、乙两人共答3对道题的概率.

20.（12分）如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大

小忽略不计），在点8处安装一套监测设备.为了使监测数据更加准确，在点C和点。

处，再分别安装一套监测设备，且满足A8=2k72,BC=4km,且aACO为正三角形.

（1）若/BAC=*求4ABO面积；

（2）设NABC=α,试用a表示aABO的面积，并求最大值.

21.（12分）如图，已知SA垂直于梯形A3CZ）所在的平面，矩形SA。E的对角线交于点凡

G为SB的中点，ZABC=ZBAD=≡,SA=AB=BC=^AD=\.

（1）求钝二面角CrE>-£的余弦值；

Tl

（2）在线段EG上是否存在一点H,使得与平面SCD所成角的大小为三？若存在,

6

求出G”的长；若不存在，说明理由.

22.（12分）定义在（-1,1）上的函数f（x）满足对任意的X,再（-1,1）,都有/（x）

t∕(y)=∕(77⅛)'且当尤(°，1)时，f(X)<θ∙

(1)求证：函数/Cr)是奇函数；

(2)求证：/(x)在(-1,1)上是减函数；

1r11

(3)若/(-)=-1,f(X)≤r-2at-1对任意XeI―亍一］,-1,1］恒成立，求实

2z2

数r的取值范围.

2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德中学高二(上)入学数

学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.)

I.(5分)已知集合A={巾=∕g(1-χ)},β={x∣x2-2x<0},则AUB=()

A.(0,+8)B.(-8,DC.(0,2)D.(-8,2)

【解答】解：根据题意，集合A={x∣x<l},

XΛ

又8={∣2-2x<0},则B={x∣0<x<2},

则AlJB={χ∣χV2},

故选：D.

7+1

2.(5分)复数：的值为()

3ζ+4ι

A.1+ZB.1-/C・-1+iD.-l-z

……F7+i(7+i)(3-4i)21+4+3i-28i25-25i

【解答】解：氤=(3+4i)(l4i)=一32一痴齐=k=lT

故选：B.

3∙(5分)从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的

两个事件的是()

A.“至少有1个红球”与“都是黑球”

B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”

C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”

D.“都是红球”与“都是黑球”

【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，

对于A,“至少有1个红球”与“都是黑球”是对立事件，故A错误；

对于8,恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故B错

误；

对于C,“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”，能同时发生，不是互斥事件，故C

错误；

对于。，“都是红球”与“都是黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立

的两个事件，故。正确.

故选：D.

4.（5分）函数y=/+/〃团的图象大致为（）

【解答】解：（-x）=x2+∕"∣x∣=f（X）,

.∙.y=∕∙（x）为偶函数，

.∙.y=f（x）的图象关于y轴对称，故排除8,C,

当XfO时，y--8,故排除D,

或者根据，当x>O时，y=x2+∕nx为增函数，故排除D,

故选：A.

5.（5分）已知,〃，"为两条不同直线，ɑ,0为两个不同平面，给出下列命题：

rmaa

；：nnIlɑ②I：j/=n∣∣M③篇；?=0"a®nuβ=>m∖∖n,

、aIlβ

其中的正确命题序是（）

A.②③B.③④C.①②D.①@@④

【解答】解：由，〃为两条不同直线，式,。为两个不同平面，知：

对于①可得到〃〃a或〃ua,故①错误；

对于②可得到n∕∕m,由直线与平面垂直的性质定理得②正确；

对于③可得到B〃a,由面面平行的判定定理得③正确；

对于④机〃“或，”，〃异面，故④错误.，

故选:B.

E,尸为6个开关，其闭合的概率都是右且

6.（5分）一个电路如图所示，Λ,B,C,D,

是相互独立的，则灯亮的概率是（）

1

D.

16

11

【解答】解：开关C断开的概率为开关。断开的概率为5,开关4B至少一个断开

的概率为1—×ɪ=

开关人尸至少一个断开的概率为1—T，

zZzr

11339

故灯不亮的概率为-x-x-x-=一,

224464

故灯亮的概率为1-磊=

故选:B.

（5分）在AABC中，角A,B,C的对边分别为4,b,c,若be=4√5,SinA+2SinBeoSC

=0,则AABC面积的最大值为（）

A.1B.√3C.2D.2√3

【解答】解：VsinA+2si∏βcosC=0>

.∖a+2b×a2+J,2~c2=0,化简得2/+y-c2=0,即J=匕L,

ZabL

h2÷c2-α2_b2+c2+⅛-^_孝+*2J⅜-×T_√3

由余弦定理知，COSi4=

-2bc--2bc-2bc-—2bc--T,

TT

.∖0<A≤^

o

1

∙"∙sIirAE(0引，

1-1

∕∖ABC的面积S=^bcsinA≤3bc=用.

L4

故选：B.

A.

x-

8.(5分)已知函数f(x)=Iog2(4*+1)+kx，ιg(x)=log2(a∙2ɜɑ)(«>0),若/(x)

是偶函数且满足函数y=/(x)-g(x)有一个零点，则Q的取值范围是()

A.OVaVlB.OVQWlC.a>∖D.Qel

【解答】解：因为/G)是偶函数，所以/(-1)=/(1),

即log2(4-1+l)-⅛=log2(4+1)+k,

解得：k=-1,

:函数y=∕(x)-g(x)有一个零点,

x4

二方程log2(4+l)-X=Iog2(“X2XVa)只有一解，

4x+lΛ

即：方程2%=6f∙2v-ɜα,只有一解，

4C44

令，=2'>5，因而等价于〃(r)=(a-1)t2-^at-1,在(-，+o°)上只有一解，

①当。=1时，解得/=一,金($+8),不合题意；

2

②当0<α<l时，力⑺=(α-l)i--iat-1,其图象的对称轴f=∕¾v<0,

47ς

.∙.函数〃⑺在(0,+8)上递减，而力(-)=一等<0,

44

：.h(x)=0,在(-,+8)上恒小于0,即/?(力=0在(-,+8)上无解；

33

③当α>l时，记力⑺=(a-1)r2-⅛-1,其图象的对称轴U>0,

4161A

所以，只需〃(一)<0,即一Ca-1)—■g-α-1<0恒成立，

399

此时”的范围为α>l,

综上所述，”的取值范围为a>l∙

故选：C.

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

(多选)9.(5分)下列命题中正确的是()

A.若ab>序,则4>b

B.已知α>0,b>0,若α+∕>=4,贝∣J"W4

C.已知4>0,⅛>0,若ab=4,则%+工≥1

ab

D.命题都有三≤土成立"的否定是匕“<b,使工VV成立”

【解答】解：对于A,当必>必时，若〃<0,则aV8,所以A错误；

对于8,α>0,b>0时，若α+6=4,则αi>≤（与@）2=4,当且仅当α=8时"="成立，

选项B正确；

对于C,a>0,b>0时，若ab—4,则一+—=（—+—）,—=—（24Fr）≥7（2+2--

abab44ab4y∣ab

=1,当且仅当α=b时”=”成立，选项C正确；

1111

对于D,命题“Vgb,都有一≤;成立”的否定是使一›:成立”，所以选项

abab

。错误∙

故选：BC.

（多选）10.（5分）已知向量之=（2,1）,h=（-3,1）,则（）

TTT

A.（Q+b）_LQ

B.与向量或共线的单位向量是（誓，y）

C.∖a+2b∖=5

D.向量标在向量Z上的投影向量是一孚I

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,α+b=（-1,2）,则有（α+b）∙α=-2+2=0,故（α+b）JLq,A正确；

对于B,向量；=（2,1）,∣α∣=√5,则与向量：共线的单位向量是（竺，,）或（一芈，

55ɔ

一络），3错误；

对于C,α÷2h=（-4,3）,则向+2]∣=√16+9=5,C正确；

TTT

→→→ba`b→1→

对于D,向量α在I可量b上的投影向量IalCoSe∙=r=——b=——b,D错误；

∖b∖∖b∖22

故选：AC.

（多选）11.（5分）对于AABC,有如下命题，其中正确的有（）

A.若Sinz4=sin28,则4ABC是等腰三角形

B.若aABC是锐角三角形，则不等式SinA>cosB恒成立

C.若si∏2A+sin2B+cos2c<1,则AABC为钝角三角形

D.若AB=代,AC=I,B=30o,则4ABC的面积为一或一

42

【解答】解：对于aABC.

A.Vsin2A=sin2B,Λ2A=2B,或2A+28=n,解得：A=B,或A+B=*则AABC是

等腰三角形或直角三角形，因此不正确；

B.「AABC是锐角三角形，；.工.∙.sinA>sin（上-B）,化为SinA>cosB

222

恒成立，因此正确；

C."."sin2A+sin2B+cos2C<1»ʌsin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C>由正弦定理可得：a2+b~

Vc1,.∙.cosC=吆亳C<0,,C为钝角，则AABC为钝角三角形，因此正确；

O.：AB=次,AC=1,8=30°,设BC=”,由余弦定理可得：正=/+（遮）2一2后cos30°,

化为：Λ2-3X+2=0,解得X=I或2.则AABC的面积=Jx√5XlXsin30°=华,或4

L4

43C的面积=4Xv^X2Xsin30°=坐，因此正确.

综上可得：只有3。正确.

故选：BCD.

（多选）12.（5分）正方体ABCQ-AIBICIQl的棱长为2,E,F,G分别为BC,CCi，BBI

A.直线。1。与直线AF垂直

B.直线AIG与平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为5

D.点Al和点。到平面AEF的距离相等

【解答】解：假设GOLAF,

∖'DiDLAE,且AECAF=A,AE,AFU平面AER

J.D∖DLAEF,

.∖DDi±EF,

：.CC\±EF,显然不成立，故A错误，

取BiCi的中点Q,连接4Q,GQ,如图所示:

由已知条件可得，GQ//EF,AιQ∕∕AE,SGQQAiQ=Q,EF∏AE=E,

二平面AlGQ〃平面AE尸，

YAiGu平面AiGQ,

.∙.A1G〃平面AEF,

连接£>1F,D∣A,如图所示：

"

..EF∕∕AD∖,EF=^AD1,

.∙.A,E,F,Di四点共面,

.∙.截面即为梯形AEFQi,延长。C,DiF,AE交于点S,

易知OIS=AS=√42+22=2√5,AD∖=2√2,

（遮）（孥）

∙∙∙5Δ4D1S=∣×2√2×J22—2=6,

3Q

,S梯形AEFD、=6XA=2故C正确，

建立如图所示的空间直角坐标系，

可求得平面AEF的法向量为£=(2,1,2),AA1=(0,0,2),DA=(-2,0,0),

TTTT

.∙.点AI到平面AEF的距离为di=以誓=*点。到平面AEF的距离为d2=隼｝=*

点Al和点D到平面AEF的距离相等，故O正确.

故选：BCD.

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应

位置上.）

13.（5分）不等式33F>9'∙的解集是（-8,1）.

【解答】解：不等式33-X>9'=33-X>32Λ,

：.3-x>2x,解得x∈（-8,1）.

故答案为：（-8,1）.

14.（5分）如图，在448C中，AN=^NC,P是线段BN上的一点，^AP=mAB+^AC,

则实数m=ς.

A

N

BC

【解答】解：因为几=±Λ⅛,则届=3几，

所以筋=mAB+^AC=mAB+∣×3AN=mAB+∣½λ,

因为点2,P,N三点共线，所以加+∣=1,则,〃=备

故答案为：|.

15.(5分)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数α,另一个作

3

为对数的真数尻则log,近e(0,1)的概率为-.

8

【解答】解：从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数”,另一

个作为对数的真数6,

基本事件(”,⅛)有：

(2,I),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,

2),

(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共16个，

其中满足10&,旄(0,1)的基本事件(4,b)有.：

(3,2),(4,2),(4,3),(5,2),(5,3),(5,4),共6个，

则logαb∈(0.1)的概率为P=尚=房.

…3

故答案为：~∙

AΛF

16.(5分)如图，四棱台ABCD-A↑B↑C↑D↑上下底面都为正方形且侧棱长都相等，且1=

AB

1

设石、F、G分别是棱A3、BC、ClZ)I的中点，过£F、G的平面与AAl交于点H,

AH2

则、值为:；若四棱台∣的高体积为则该四棱台外接球

--ABCD-A18ClDl2,14,

AA13

385Tr

的表面积为—.

【解答】解：如图连接FE,并延长交DA延长线于M,设AiDi的中点为P,连接GP,

AC,

则PG〃AiC”而由题意可知AICi〃AC,XEF//AC,故尸G〃EF,

故尸∈平面EFG,而Me平面EFG,故连接PM,交AAl于H,

“点即为过E、F、G的平面与AAl的交点，

设。为AO中点，连接F。，则FQ〃AB,FQ=AB,因为E为AB中点，

故AE=^AB=#Q,故AM=AQ=^AD,

因为AlP〃A。，J.A∖P∕∕AM,则二一=二一=%——=一，所以一=一；

AHAD-AD2AA3

21

设四棱台上底面棱长为小则下底面棱长为2α,

由四棱台48Cf>-AIBICIDI的高2,体积为14,可得[（PM/+而F7）X2=14,

解得a=√3,

对于四棱台，AICI=√6,AC=2√6,所以CG=J造2+22=孚，

贝IJACi=J（2√6-ɪ）2+22=等，故得AC∣2+CCI2-AC2=:+学-24<0,

即NAClC>90°,由棱台的性质可知外接球球心位于对角面44CIC所在平面上，

故由此可知外接球球心在棱台的外部，即底面ABCO的外部，

设球心到面ABCC的距离为加，则到面43∣CιD∣的距离为加+2,是外接球半径为R,

则R2=6+∕Z]2,R2=（争2+（历+2）2,解得R2=鬻

故外接球的表面积为4nR2=曙，

Io

一2385π

故答案为：.

316

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步

骤.)

17.(IO分)己知向量α=(√5,sin2x),b=(sinxcosx,-1),函数f(x)=α∙b+*.

(1)求/G)的单调增区间；

(2)设αe(0,1),若靖)=&,求f(α)的值.

【解答】解：(1)由题意可知：a=(遮，sin2x),b={sinxcosx,—1),

故得至!|：f(x)=a∙b+^=yf3sinxcosx—sin2x+*=苧sin2x+^cos2x=sin(2x+看).

再令2kτt-2≤2x+d≤2fcTT+(fcEZ).

得至味Tr—^<X≤∕cπ+(fc∈Z),

所以单调增区间为["T,∕cπ+∣](∕c∈Z).

(2)由第一问可知：/(x)=sin(2x+∣).

则啰)=sin(a+=

又由于ae(0,强)，

4.A.TC∕7Γ7T、

故ra+G∈(^,ɜ).

得到cos(a+5)>0,

得到cos(a+5)=Jl-si∏2(a+3)=

故sin(2a+ɪ)=2sin(a+^)cos(a+.)=签,cos(2a+今=2cos2(a+^)—1=—,

解得f(α)=sin(2a+看)=sin(2a+ɪ-^)=sin(2a+.)・CoS看一cos(2a+.)・sin^f

由I、“且刈工，、24∖∣37124-/3+7

所以得到：/(«)~25X^2^+25X2=-50-'

18.(12分)如图，在正方体ABCQ-AlBlCIQi中，棱长为1,E为BiOi的中点，AC∏BD

=O.

(1)求证：ACL平面BIBDD1；

(2)求证：OE〃平面ACBI；

(3)求三棱锥E-ACBl的体积.

【解答】(1)证明：；在正方体ABCz)-AlBIClZ)I中，8功_L平面ABCZ),

XAC⊂5F≡ABCD,BB∣JLAC,

,JAC-LBD,BDCBBl=B,BD,BBlU平面BIBz)Di，

,AC,平面BlBQ£>i；

(2)证明：连接081,

。在正方体中,BB↑∕∕DDιKBBι=DDι,

.∙.四边形BBlDID是平行四边形，

BlDi且BD=BIO1，

,：O,E分别为BZXBiDi中点,

：.DO=EB1，

：.四边形DEBIo是平行四边形，

J.DE∕∕0B∖,

：OEC平面ACBI,OBIU平面ACBi,

,OE〃平面ACB|；

(3)由(2)得OE〃平面ACB1，

.∙.E点到平面ACBi的距离即为D点到平面ACBi的距离，

11

=：

♦♦由等体积法可得,VE-ACB1=½O-ΛCB1VBl-ACDɜ,SAACD-BBl=

19.(12分)为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，

已知甲同学答对每题的概率都为P，乙同学答对每题的概率都为"(p>q),且在考试中

每人各题答题结果互不影响，已知每题甲、乙两人同时答对的概率为I、恰有一人答对的

概率为石.

(1)求P和q的值；

(2)求甲、乙两人共答3对道题的概率.

【解答】解：(1)设A="甲同学答对第一题"，B="乙同学答对第一题"，P(A)=p,

P(B)=q.

设C=aAQBj,,D=(An豆)U(彳nB).

因为甲乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，

所以A与B相互独立，An万与万CB互斥，

1__

所以P(C)=P(ACB)=P(Zl)P(B)=pq=芬P(D)=P(AClB)+P(A∩B)=P(4)(l-

P(B))+(1-PQ4))P(B)=p(l-9)+(l-p)q=ɪ,

<1

pq=-<3

2P-

u=4

15

，,<

、+M

.P-q=—2

2pT2q--

<3

(2)设Ai="甲同学答对了i道题"，Bi="乙同学答对了i道题"，i=0,1,2.P(A1)=

1331333921124224

-×-+-X-=--X=X+-X-=--X-=-

444484339339

16,

---

43

设E="甲、乙两大共答对3道题"，E=AiB2UAιB↑,3

4945

-+X-=

所以99

P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=⅛×1612

20.(12分)如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心(大

小忽略不计），在点8处安装一套监测设备.为了使监测数据更加准确，在点C和点。

处，再分别安装一套监测设备，且满足AB=2b",BC=4km,且aACD为正三角形.

（1）若NBAC=专，求AABO面积；

（2）设∕ABC=α,试用α表示AABO的面积，并求最大值.

【解答】解：（1）由余弦定理得COSNBAC=世之暮/t∙.AC2-2AC-12=0,

ΔAD'AC

解得AC=I+√∏或AC=1-√Π（舍去），

o

因为正aACD,所以AZ)=I+√∏,.'.SΛABD=∣∙AB∙AZ)∙sinl20=∣×2×(1+√13)X

√3√3+√39

T=-2~；

(2)设正C。的边长为X,NBAC=β,

在aABC中由正弦定理有一上=-ʌ-=—一——,.∙.x="等=2：E

sιnasιnβsm[π-(a+/?)]Slnβsm(a+/7)

2sin(a+β)=sinβ,Λ2sinacosβ+2cosasinβ=sinβ,Λ2sinacosβ=sinβ(1-2cosa),

SΛABD=^AB∙AD∙sin(60o+β)=XSin(60o+β)=¾^'sin(60°+β)

√31

(z三CoSB+]SinB)

=2同乎a;osB+2sina=ʌ/ɜ(1-2cosa)+2sina=√3+4sin(a-5),

sιnβ3

Va(O,π),故当a=系时，面积最大，最大面积为S=4+√T

21.(12分)如图，已知SA垂直于梯形ABCO所在的平面，矩形SAOE的对角线交于点F,

G为SB的中点，ZABC=ZBAD^∣,SA=AB=BC=^AD=].

(1)求钝二面角C3£>-£的余弦值；

TC

(2)在线段EG上是否存在一点H,使得8"与平面SCZ)所成角的大小为一？若存在，

6

求出G”的长；若不存在，说明理由.

【解答】解：（1）因为SAL平面ABC。，AB,Λ∕9⊂5pfflABCD,

所以SA_LA8,SALAD,又/BA。=茨所以AB_LA。，

以｛½⅛,AD,启｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

则4(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),S(0,0,1),E(0,2,

11

1),G(一，0,_),

22

CD=C-1,0),SC=(1,1,-