苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题30反比例函数与一次函数结合(原卷版+解析)

专题30反比例函数与一次函数结合1．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）我们定义：如果一个矩形周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的完全倍体．(1)若矩形为正方形，是否存在一个正方形是正方形的完全倍体？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】长为，宽为的矩形是否存在完全倍体？小鸣和小棋分别有以下思路：【小鸣方程流】设新矩形长和宽为、，则依题意，联立得，再探究根的情况；【小棋函数流】如图，也可用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体．(2)那么长为．宽为的矩形是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．(3)如果长为，宽为的矩形存在完全倍体，请直接写出的取值范围：______．2．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数的图像交于点A（a，4－a）点B（b，4－b），其中，与坐标轴的交点分别是C、D．(1)求的值；(2)求直线l的函数表达式(3)若，过点作平行于x轴的直线与直线AB和反比例函数的图象分别交于点E、F．①当时，求t的取值范围．②若线段EF上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），直接写出t的取值范围．3．（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）我们研究反比例函数图像平移后的性质．初步探究(1)将反比例函数的图像向左平移一个单位，可以得到函数的图像（如图①），观察图像，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：①该函数图像与y轴的交点坐标是（0，4）；（

）②该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，0）；（

）③当x<0时，y随x的增大而减小．（

）(2)在图②中画出函数的图像，根据图像写出其两条不同类型的性质；(3)问题解决：若函数的图像可以由函数的图像通过平移得到，求m的值；(4)深入思考：当a>0时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系．4．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图所示，直线y=ax+b（a<0，b>0）的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=（x<0）交于点C，且B为线段AC的中点．向上平移直线AB与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形BDCE为平行四边形．(1)若a=，b=1，则点C的坐标为；反比例函数的表达式为；(2)在（1）的条件下，求平移后的直线DF的函数表达式；(3)当□BDCE的面积等于18时，求的值．5．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图像上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点．(1)求反比例函数的解析式；(2)若，求P的坐标；(3)如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，PQ与GA的延长线交于点H；①若，求点H的坐标；②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．6．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）已知一次函数y1=kx+2(k≠0)和反比例函数(m≠0)．(1)如图1，若函数y1，y2的图像都经过点A(1，3)，B(-3，a)．①求m，k，a的值；②连接AO，BO，判断ABO的形状，并说明理由；③当x>-3时，对于x的每一个值，函数y3=cx(c≠0)的值小于一次函数y1=kx+2的值，直接写出c的取值范围．(2)当k=2，m=4，过点P(s，0)(s≠0)作x轴的垂线，交一次函数的图像于点M，交反比例函数的图像于点N，t取M与N的绝对值较小的纵坐标(若二者相等则任取其一)，将所有这样的点(s，t)组成的图形记为图形T．直线y=n(n≠0)与图形的交点分别为C、D，若CD的值等于3，求n的值．7．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）阅读下面的问题及其解决途径．问题：将函数的图像向右平移2个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途径：结合阅读内容，完成下面的问题．(1)填写下面的空格．问题：将函数的图像向左平移1个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途径：(2)理解应用将函数的图像先向左平移1个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图像对应的函数表达式．(3)灵活应用如图，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点和点．将函数的图像和直线同时向右平移个单位长度，得到的图像分别记为和．已知图像经过点．①求出平移后的图像对应的函数表达式；②直接写出不等式的解集．8．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（n，1）．(1)求反比例函数的关系式与n的值；(2)求不等式kx+b﹣＜0的解集（直接写出答案）；(3)线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AB1，求出点B1的坐标．9．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，矩形的边在轴上，为对角线，的交点，点，的坐标分别为，．(1)反比例函数在第二象限的图象经过点，求这个函数的解析式；(2)点是否在函数的图象上？说明理由；(3)一次函数的图象经过点，点，根据图象直接写出不等式的解集．10．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图1，反比例函数的图象过点．(1)求反比例函数的表达式，判断点在不在该函数图象上，并说明理由；(2)反比例函数的图象向左平移2个单位长度，平移过程中图象所扫过的面积是______；(3)如图2，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是直线l下方反比例函数图象上一个动点，过点P分别作轴交直线l于点C，作轴交直线l于点D，请判断的值是否发生变化，并说明理由，如果不变化，求出这个值．11．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，▱OABC的对角线AC⊥x轴，其顶点A在反比例函数的图象上，点C在一次函数的图象上，若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点D（m，1），△OCD的面积为9．(1)m＝；k＝；(2)结合图象直接写出不等式的解集；(3)求点B的坐标，并判断点B是否在反比例函数的图象上；(4)若将▱OABC沿射线CD的方向平移m个单位，在平移的过程中，若反比例函数图象与边CB始终有交点，请你直接写出m的取值范围．12．（2022春·江苏无锡·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(1，0)，连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y＝（k≠0）于D、E两点，已知点E的坐标为(﹣2，a)，连结CE，交x轴于点F．（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．（2）求E到直线DC的距离．（3）在x轴上是否存在一点P，使|PD﹣PE|值最大，若有，直接写出点P的坐标；若无，请说明理由．13．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）模具长计划生产面积为9，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：(1)建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为9，得．即；由周长为m，得，即，满足要求的．应是两个函数图像在第________象限内交点的坐标．(2)画出函数图像函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．(3)平移直线，观察函数图像①当直线平移到与函数的图像有唯一交点（3，3），周长的值为________②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围；(4)得出结论若能生产出面积为9的矩形模具，则周长的取值范围为________专题30反比例函数与一次函数结合1．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）我们定义：如果一个矩形周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的完全倍体．(1)若矩形为正方形，是否存在一个正方形是正方形的完全倍体？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】长为，宽为的矩形是否存在完全倍体？小鸣和小棋分别有以下思路：【小鸣方程流】设新矩形长和宽为、，则依题意，联立得，再探究根的情况；【小棋函数流】如图，也可用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体．(2)那么长为．宽为的矩形是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．(3)如果长为，宽为的矩形存在完全倍体，请直接写出的取值范围：______．【答案】(1)不存在(2)长为．宽为的矩形不存在完全倍体，利用思路说明原因见解析(3)【分析】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可；（2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可；（3）设所求矩形的长为x,则所求矩形的宽为：k（3+2）-x,即5k-x,根据新定义“完全N倍体”可得：-5kx+6k=0，再运用根的判别式即可求得答案．（1）不存在．因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，则面积比必定是，所以不存在．故答案为：不存在；[深入探究]长为，宽为的矩形存在完全倍体矩形，∵矩形长为，宽为，矩形的周长为，面积为，[小鸣方程流]设新矩形长和宽为、，则依题意，联立，整理得，解得：，，新矩形的长为，宽为时，周长为，面积为，长为，宽为的矩形存在完全倍体矩形．[小棋函数流]如图，设新矩形长和宽为、，则依题意，即，，利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体．（2）长为，宽为的矩形的周长为，面积为，[小鸣方程流】设新矩形长和宽为、，则依题意，，联立得，整理得：，，此方程没有实数根，即长为宽为的矩形不存在完全倍体；[小棋函数流]如图，设新矩形长和宽为、，则依题意，即，，利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，无交点，意味着不存在完全倍体．（3）设所求矩形的长为，则所求矩形的宽为：，即，由题意得：，整理得：，，一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积倍，，即：，令，为开口向上的抛物线，则由，可得：，解得：，，当时，或，不符合题意，的取值范围为：；故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解新定义“矩形A是矩形B的完全N倍体”，根据题干过程模仿解题．第（3）题应用一元二次方程根的判别式求k的范围．2．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数的图像交于点A（a，4－a）点B（b，4－b），其中，与坐标轴的交点分别是C、D．(1)求的值；(2)求直线l的函数表达式(3)若，过点作平行于x轴的直线与直线AB和反比例函数的图象分别交于点E、F．①当时，求t的取值范围．②若线段EF上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），直接写出t的取值范围．【答案】(1)(2)(3)①；②或【分析】（1）把、点坐标代入反比例函数解析式，得、的关系，再通过因式分解，解方程可得的值；（2）用待定系数法求解即可；（3）①当时，可得反比例函数的解析式为：，；根据题意可知，，，，再根据题意，对进行讨论即可；②根据题意，作直线，，，，分别与反比例函数交于点，，，，结合图形可直接得出结论．（1）解：直线与反比例函数的图象交于点，点，，，，，，；（2）设直线的解析式为，把，点代入得，，解得，，直线的解析式为；（3）①当时，，，反比例函数的解析式为：，令，解得或，．过点，作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点、，，，，当时，点在点的左侧，，整理得，方程恒成立；当或时，，重合，则；当或时，，整理得，，解得，或，综上，当时，的取值范围为：．②如图，作直线，，，，分别与反比例函数交于点，，，，，，，．由图可知，若线段上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），则的取值范围为：或．【点睛】本题主要考查反比例函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数上的点的特征，数形结合思想，方程思想等相关内容，利用数形结合思想，画出给出图象是解题关键．3．（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）我们研究反比例函数图像平移后的性质．初步探究(1)将反比例函数的图像向左平移一个单位，可以得到函数的图像（如图①），观察图像，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：①该函数图像与y轴的交点坐标是（0，4）；（

）②该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，0）；（

）③当x<0时，y随x的增大而减小．（

）(2)在图②中画出函数的图像，根据图像写出其两条不同类型的性质；(3)问题解决：若函数的图像可以由函数的图像通过平移得到，求m的值；(4)深入思考：当a>0时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系．【答案】(1)①对；②对；③错(2)图见解析，性质见解析(3)m＝6(4)a－b＋k＝0【分析】（1）通过观察图象，分析图象性质即可判断是否正确；（2）利用5点作图法在坐标轴上描点即可作图；（3）通过化简运算，结合题意，即可求m的值；（3）由反比例函数无解时的性质，即可写出a，b，k满足的数量关系．【详解】（1）观察图可得，该函数图象与y轴的交点坐标是（0，4），故①√；该函数是反比例函数，是中心对称图形，对称中心易知是（-1，0），故②√；当-1＜x＜0时，y随x的增大而减小，当x＜-1，y随x的增大而减小，但并不连续区间，故不为单调递减，③错误；故答案为：①√；②√；③×；（2）函数图像如图所示．两条不同类型的性质是：例如：①当x<－1时，y随x的四大而被小，当x>－1时，y随x的增大而减小；②无论x取何值，图数值不等于－1；③该图数图像与y轴的交点坐标是（0，3）；④该图数图像与x轴的交点坐标是（3，0）；⑤该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，－1）；⑥该函数图像是轴对称图形，对称轴是直线y＝x和y＝－x－2．（3）；根据题意，得m－2＝4，解得m＝6．（4），，，∵对于任意k，方程均无解，当x=-1时分式无意义，∴a+k-b=0【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质；正确作图、理解题意、综合分析是本题解题的关键．4．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图所示，直线y=ax+b（a<0，b>0）的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=（x<0）交于点C，且B为线段AC的中点．向上平移直线AB与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形BDCE为平行四边形．(1)若a=，b=1，则点C的坐标为；反比例函数的表达式为；(2)在（1）的条件下，求平移后的直线DF的函数表达式；(3)当□BDCE的面积等于18时，求的值．【答案】(1)(-2，2)，y=(2)(3)【分析】（1）根据条件确定A（2，0），B（0，1），利用中点坐标公式确定点C（-2，2），代入反比例函数y=（x<0）确定k值即可．(2)利用平移的思想，借助反比例函数的解析式，确定点D的坐标，根据平行的直线的k值相等，设解析式求解即可．(3)过点C作CM⊥x轴，垂足为M，根据平行四边形DCEB的面积等于△CEB面积的2倍，根据点B是AC的中点，得到△CEA的面积等于△CEB面积的2倍，从而把平行四边形的面积转化为△CEA，建立等式计算即可．（1）因为a=，b=1，所以直线的解析式为，当y=0时，，解得x=2，故A（2，0）；当x=0时，y=1，故B（0，1），因为点B是AC的中点，所以点C（-2，2），因为反比例函数y=（x<0）经过点C，所以，解得k=-4，故反比例函数的表达式为y=．故答案为：(-2，2)，y=．（2）因为点C（-2，2），点B（0，1），点E纵坐标为0，且四边形DCEB是平行四边形，故将线段DC向下平移2个单位，点D平移到点B，点C平移到点E，所以点D的纵坐标为3，当y=3时，x=，故点D（，3）．因为向上平移直线AB得到的直线DF，故设直线DF的解析式是，所以，解得，故DF的解析式为．（3）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，因为平行四边形DCEB的面积等于△CEB面积的2倍，点B是AC的中点，所以△CEA的面积等于△CEB面积的2倍，所以平行四边形DCEB的面积等于△CEA的面积，因为直线y=ax+b（a<0，b>0）的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，确定A（，0），B（0，b），点C（，2b），所以点C向下平移2b个单位，向右平移m个单位长度得到点E，故点B向上平移2b个单位长度，向左平移m个单位长度得到点D，所以定D的纵坐标为3b，所以点D横坐标为，解得，故m=，故，所以AE=，所以，解得．【点睛】本题考查了待定系数法确定函数解析式，反比例函数的性质，平移的规律，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法，平移的规律是解题的关键．5．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转至点B，恰好落在反比例函数的图像上，连接OA，OB，过点B作轴交于点C，点是第一象限内双曲线上一动点．(1)求反比例函数的解析式；(2)若，求P的坐标；(3)如图2，连接PO并延长交双曲线于，平面内有一点，PQ与GA的延长线交于点H；①若，求点H的坐标；②当时，记H的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．【答案】(1)(2)点P的坐标为（1，2）或(3)①点H（0，5）；②（a+2）（b-4）=2，为定值．【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，根据旋转的性质易证△AHO≌△OCB（AAS），根据全等三角形的性质可得点B坐标，进一步即可求出反比例函数解析式；（2）设点P坐标为（p，），表示出△POC的面积，当点P在点B左侧的双曲线上，当点P在点B右侧的双曲线上，分别表示出△PBC的面积，根据S△POC=4S△PBC，列方程，求解即可；（3）①先求出点P坐标，进一步求出点G和点Q坐标，待定系数法求直线AG和直线PQ的解析式，联立两直线解析式即可求出交点H的坐标；②先待定系数法求出直线AG和直线PQ的解析式，联立两解析式求出交点H的坐标，可得a=m-2，b=n+4，进一步即可求出（a+2）（b-4）的值．（1）解：过点A作AH⊥x轴于点H，如图所示：则∠AHO=90°，∴∠HAO+∠AOH=90°，∵BC⊥x轴，∴∠BCO=90°，∴∠AHO=∠BCO，∵点A（-1，2）绕原点顺时针旋转90°至点B，∴AO=BO，∠AOB=90°，AH=2，OH=1，∴∠AOH+∠BOC=90°，∴∠HAO=∠BOC，∴△AHO≌△OCB（AAS），∴OC=AH=2，BC=OH=1，∴点B坐标为（2，1），将点B坐标代入反比例函数，得k=2×1=2，∴反比例函数解析式：；（2）设点P坐标为（p，），则S△POC＝×2×=，当点P在点B左侧的双曲线上，S△PBC＝×1×(2−p)，∵S△POC=4S△PBC，∴=4×，解得p1=p2=1，∴点P坐标为（1，2）；当点P在点B右侧的双曲线上，S△PBC＝×1×(p−2)=，∵S△POC=4S△PBC，∴=4×，解得（不符合题意，舍去），∴点P坐标为，∴符合条件的点P坐标为（1，2）或；（3）①当m=2时，根据题意，可得mn=2，即2n=2，∴n=1，∴点P坐标为（2，1），点G坐标为（-2，-1），点Q坐标为（1，3），设直线GA的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A和点G坐标代入解析式，得，解得，∴直线AG的解析式为y=3x+5，设直线PQ的解析式为，将点P和点Q坐标代入解析式，得，解得，∴直线PQ的解析式为y=-2x+5，联立，解得，∴点H坐标为（0，5）；②（a+2）（b-4）是定值，∵P（m，n），G（-m，-n），A（-1，2），Q（m-1，n+2），设直线AG的解析式为y=dx+c（d≠0），代入点A和点G的坐标，得，解得，∴直线AG的解析式为，设直线PQ的解析式为y=ex+f（e≠0），代入点P和点Q坐标，得，解得，∴直线PQ的解析式为y=-2x+2m+n，联立，解得，∴点H（m-2，n+4），∵记H的坐标为（a，b），∴a=m-2，b=n+4，∴（a+2）（b-4）=mn，∵点P（m，n）是第一象限内双曲线上一动点，∴mn=2，∴（a+2）（b-4）=2．【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，全等三角形的性质和判定，一次函数的交点，旋转的性质，三角形的面积，定值问题等，本题综合性较强，难度较大．6．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）已知一次函数y1=kx+2(k≠0)和反比例函数(m≠0)．(1)如图1，若函数y1，y2的图像都经过点A(1，3)，B(-3，a)．①求m，k，a的值；②连接AO，BO，判断ABO的形状，并说明理由；③当x>-3时，对于x的每一个值，函数y3=cx(c≠0)的值小于一次函数y1=kx+2的值，直接写出c的取值范围．(2)当k=2，m=4，过点P(s，0)(s≠0)作x轴的垂线，交一次函数的图像于点M，交反比例函数的图像于点N，t取M与N的绝对值较小的纵坐标(若二者相等则任取其一)，将所有这样的点(s，t)组成的图形记为图形T．直线y=n(n≠0)与图形的交点分别为C、D，若CD的值等于3，求n的值．【答案】(1)①m=3，k=1，；②等腰三角形，见解析；③(2)或【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②利用勾股定理求得OA、OB，即可证得△ABO是等腰三角形；③当x=-3时，求出y1=x+2的值，然后根据题意，得不等式，即可求出c的取值范围．（2）由题意画出函数的T的图象，再数形结合解题即可．（1）解：①∵A（1，3）在y1＝kx+2图像上，∴3=k+2，∴k=1∵A（1，3）在图像上，∴，解得：m=3，∵B（，a）在上，∴；②连接AO，BO，由①知A（1，3），B（，）AO=，BO=∴AO=BO∴△ABO是等腰三角形；③由①得：一次函数解析式为，当时，，∵当x>-3时，对于x的每一个值，函数y3=cx(c≠0)的值小于一次函数y1=kx+2的值，∴当时，，解得：，∴c的取值范围为；（2）解：当k＝2，m=4，过点P（s，0）作x轴的垂线，交一次函数的图像于点M，交反比例函数的图像于点N，t为M与N的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点（s，t）组成的图形记为图形T．T的图像如图所示，∵直线与图形T的交点分别C、D，∴C（，n），D（，n）当点D在点C的右侧时，CD=，解得或（舍去）当点D在点C的左侧时，CD=，解得或（舍去）综上所述，当CD的值等于3时，或【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，熟练掌握待定系数法与函数图象，数形结合思想是解题的关键．7．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）阅读下面的问题及其解决途径．问题：将函数的图像向右平移2个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途径：结合阅读内容，完成下面的问题．(1)填写下面的空格．问题：将函数的图像向左平移1个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途径：(2)理解应用将函数的图像先向左平移1个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图像对应的函数表达式．(3)灵活应用如图，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点和点．将函数的图像和直线同时向右平移个单位长度，得到的图像分别记为和．已知图像经过点．①求出平移后的图像对应的函数表达式；②直接写出不等式的解集．【答案】(1)，；(2)(3)①；②或【分析】（1）根据材料可得，将向右平移1个单位后，坐标为，再将坐标代入原函数解析式；（2）设变换后新的函数图像上任意点的坐标为，然后将点绕原点旋转，再沿轴翻折，再向右平移1个单位长度，得出点变换后的坐标代入原解析式求解即可；（3）①直接把点坐标代入即可求出的值，然后再把点坐标代入求出的值，最后利用反比例函数的图像与正比例函数的图像的交点关于原点对称确定点坐标；根据题意得到函数的图像和直线向右平移个单位长度，得到的图像的解析式为和图像的解析式，然后把点的坐标代入即可得到的值，从而得到图像的解析式和的解析式；②不等式可理解为比较和的函数值，由于和为函数的图像和直线同时向右平移2个单位长度得到的图像；结合图像解不等式得出解集．【详解】（1）解：设变换后新的函数图像上任意点的坐标为，将向右平移1个单位后，坐标为，将代入得：，∴平移后的图像对应的函数表达式为：．故答案为：，；．（2）设变换后新的函数图像上任意点的坐标为，将点绕原点旋转，得点，将点沿轴翻折，得点，将点向右平移1个单位长度，得点，∵点在函数的图像上，∴，整理得：，∴所得到的图像对应的函数表达式为：．（3）①把代入得：，∴，把代入得：，∴反比例函数的图像与正比例函数的图像的交点关于原点对称，∴点坐标为，函数的图像和直线的图像向右平移个单位长度，得到的图像的解析式为，图像的解析式为，把代入得：，解得：，∴图像的解析式为，的解析式为，∴平移后的图像对应的函数表达式为：；②由①得，函数的图像和直线同时向右平移2个单位长度，∵平移之前，，∴平移以后两个函数图像的解析式为：图像的解析式为，的解析式为；平移后的两个图像交点分别是，，直线与轴的交点为，∵不等式，又∵，即：，∴结合图像可知解集为：或，∴不等式的解集为：或．【点睛】本题主要考查图形的几何变换，考查了二次函数综合应用，反比例函数的综合应用，反比例函数图像上点的坐标特征，会确定反比例函数与一次函数的交点坐标以及待定系数法确定解析式，用数形结合法解不等式．理解和掌握通过图形的平移、旋转、对折确定点的坐标从而确定函数的表达式是解题的关键．8．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（n，1）．(1)求反比例函数的关系式与n的值；(2)求不等式kx+b﹣＜0的解集（直接写出答案）；(3)线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AB1，求出点B1的坐标．【答案】(1)，n＝8(2)0＜x＜2或x＞8(3)（-1,-2）【分析】（1）把点A的坐标为（2,6），代入可求出反比例函数的关系式，进而确定点B的坐标，得出答案；（2）根据图象直接得出答案；（3）过点A、B分别作y轴、x轴的平行线，两条平行线相交于点C，得到△ABC，画出旋转后的图象得到，交x轴于点D，根据旋转前后线段之间的和差关系，求出点B1的坐标．（1）把点A的坐标为（2，4），代入反比例函数y＝得：m＝2×4＝8，∴反比例函数的关系式为，把B（n,1）代入得，n＝8，即反比例函数的关系式为，n＝8；（2）根据（1）的结果可知B(8,1)，将不等式变形为：，则该不等式的意义为：当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围，根据两个函数的图象，结合A(2,4)、B(8,1)，可得不等式的解集为：0＜x＜2或x＞8；（3）如图，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线，两条平行线相交于点C，得到△ABC，轴，轴，∵A(2,4)、B(8,1)，轴，轴，∴C点的横坐标与A点相等，纵坐标与B点相等，∴C点坐标为(2,1)，则，，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°后，得到，交x轴于点D，根据旋转的性质有：，，，∴，，∵轴，轴，，∴轴，轴，则，，则点在第三象限，∴（-1,-2）．故答案为：（-1,-2）．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质等知识，把点的坐标代入是常用的方法，旋转前后线段之间的关系以及线段与坐标之间的相互转化是解决问题的关键．9．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，矩形的边在轴上，为对角线，的交点，点，的坐标分别为，．(1)反比例函数在第二象限的图象经过点，求这个函数的解析式；(2)点是否在函数的图象上？说明理由；(3)一次函数的图象经过点，点，根据图象直接写出不等式的解集．【答案】(1)(2)在，理由见解析(3)或【分析】（1）利用待定系数法求得解析式即可；（2）根据矩形的性质，求得点E的坐标，把E点代入反比例函数解析式判定即可；（3）根据图象即可求得．【详解】（1）解：矩形的边在轴上，，，，反比例函数在第二象限的图象经过点，，这个函数的解析式为；（2）解：四边形是矩形，为对角线、的交点，为的中点，，，；把代入得，，点在函数的图象上；（3）解：由图象可知：不等式的解集是或．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上的坐标特征以及函数和不等式的关系．10．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图1，反比例函数的图象过点．(1)求反比例函数的表达式，判断点在不在该函数图象上，并说明理由；(2)反比例函数的图象向左平移2个单位长度，平移过程中图象所扫过的面积是______；(3)如图2，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是直线l下方反比例函数图象上一个动点，过点P分别作轴交直线l于点C，作轴交直线l于点D，请判断的值是否发生变化，并说明理由，如果不变化，求出这个值．【答案】(1)不在，理由见解析(2)20(3)不变化，24【分析】对于（1），利用待定系数法求出函数关系式，再代入判断即可；对于（2），设点E的横坐标和点F的横坐标，再分别表示出点E，F，G，H的坐标，进而得出线段的长度，再根据平行四边形面积公式得出答案；对于（3），设点P的横坐标为t，分别表示点C，点D的坐标，再根据两点之间的距离公式得出AC和BD的长，进而得出答案．【详解】（1）将点代入，得，，∴；当时，，∵，∴点不在函数图象上；（2）设点E的横坐标是1，点F的横坐标是6，点G，H分别对应点E，F，如图所示.图形扫过的面积即为平行四边形EFHG的面积．令中，，则，所以，．令中，，则，所以，．因为，且，所以四边形EGHF为平行四边形，所以．故答案为：20；（3）不变化，理由如下：因为直线l：与x轴，y轴分别交于点A，点B，所以点A（8，0），B（0，8）．设点P的横坐标是t，所以．因为轴交直线l于点C，轴交直线l于点D，所以，，所以，，即，所以为定值，为24.．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，求平行四边形面积等，掌握数形结合思想是解题的关键．11．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，▱OABC的对角线AC⊥x轴，其顶点A在反比例函数的图象上，点C在一次函数的图象上，若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点D（m，1），△OCD的面积为9．(1)m＝；k＝；(2)结合图象直接写出不等式的解集；(3)求点B的坐标，并判断点B是否在反比例函数的图象上；(4)若将▱OABC沿射线CD的方向平移m个单位，在平移的过程中，若反比例函数图象与边CB始终有交点，请你直接写出m的取值范围．【答案】(1)8；8(2)0＜x＜8(3)点B在反比例函数y＝上(4)0【分析】（1）将D（m，1）代入得函数表达式即可求得；（2）根据（1）的结果和函数图象求出解集；（3）根据△OCD的面积为9且S△OCD＝S△OED﹣S△OEC，列出等量关系式求出C点坐标，再求出表达式；（4）根据图象平移规律求出m的取值范围．（1）∵＝，，将D（m，1）代入得：，∴m＝8，k＝8，故答案为：8；8．（2）∵＝，，根据图象＞的部分为0＜x＜8，∴不等式的解集为0＜x＜8．（3）对于，当x＝0时，y＝﹣3，∴OE＝3，∵△OCD的面积为9且S△OCD＝S△OED﹣S△OEC，∵C在上，设点C的横坐标为x，∴9＝x，∴x＝2，∴y＝﹣2，∴C（2，﹣2），∵AC⊥x轴，∴点A的横坐标为2，∴A（2，4），由平移知，B（4，2），当x＝4时，y＝，∴点B在反比例函数y＝上．（4）当平行四边形OABC在平移过程中，平移时的四个顶点O'，A'，B'，C'，当C'在CD上移动时，B'C'始终与y1有交点，当C与D重合时，B'C'与y1刚好有最后一个交点，若继续平移，则B'，C'与y1没有交点，∴，∴0．【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，函数与不等式的关系，三角形的面积，平移的性质等知识，运用数形结合思想是解题的关键．12．（2022春·江苏无锡·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(1，0)，连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y＝（k≠0）于D、E两点，已知点E的坐标为(﹣2，a)，连结CE，交x轴于点F．（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．（2）求E到直线DC的距离．（3）在x轴上是否存在一点P，使|PD﹣PE|值最大，若有，直接写出点P的坐标；若无，请说明理由．【答案】（1）y＝，y＝2x﹣2；（2）；（3）存在，(13，0)