北师大版七年级数学下册《同步考点解读-专题训练》专题2.3平行线的性质(知识解读)(原卷版+解析)

专题2.3平行线的性质（知识解读）【学习目标】1、掌握平行线的三个性质2、会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算3、通过对比，理解平行线的性质和判定的区别【知识点梳理】知识点1：平行线性质性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。几何语言：∵a∥b∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。几何语言：∵a∥b∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。几何语言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）【典例分析】【考点1：平行线性质直接应用】【典例1】（2022秋•碑林区校级月考）如图，a∥b．∠1＝58°，则∠2的度数为（）A．58° B．112° C．120° D．132°【变式1-1】（2022•孝义市三模）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝55°，则∠2等于（）A．55° B．65° C．125° D．135°【变式1-2】（2022•大理州二模）如图，AB∥CD，∠C＝30°，∠E＝20°，则∠A的度数是（）A．10° B．50° C．40° D．45°【变式1-3】（2022秋•长春期末）如图，AB∥CD，∠FGB＝155°，FG平分∠EFD，则∠BEF的大小为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【考点2：平行线性质与三角板结合】【典例2】（2022春•沙坪坝区校级月考）一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（）A．35° B．20° C．15° D．10°【变式2-1】（2022春•龙岗区校级期中）一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（）A．10° B．15° C．18° D．30°【变式2-2】（2022春•海淀区校级月考）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【考点3：平行线性质与折叠结合】【典例3】（2022春•朝天区期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别落到点A'，B'处．若∠A′EF＝130°，则∠BFE的度数为（）A．50° B．65° C．70° D．80°【变式3-1】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝20°，则∠A'EB的大小为（）A．70° B．35° C．45° D．55°【变式3-2】（2022秋•宜兴市月考）如图，将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置，∠OGC'等于100°，则∠DGC'的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．40°【考点4：平行线的判定与性质】【典例4】（2021秋•青冈县期末）已知：如图，∠CDG＝∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．（1）证明：DG∥AB，AB∥EF．（2）试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．【变式4-1】（2021秋•本溪县期末）如图，EF∥BD，∠1＝∠2，∠BAC＝45°．求∠ADG的度数．【变式4-2】（2022秋•横县期中）如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠A＝70°，∠B＝60°，DE∥BC．求∠EDC度数．【变式4-3】（2022•江岸区校级模拟）如图，EF∥CD，GD∥CA，∠1＝140°．（1）求∠2的度数；（2）若DG平分∠CDB，求∠A的度数．专题2.3平行线的性质（知识解读）【学习目标】1、掌握平行线的三个性质2、会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算3、通过对比，理解平行线的性质和判定的区别【知识点梳理】知识点1：平行线性质性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。几何语言：∵a∥b∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。几何语言：∵a∥b∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。几何语言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）【典例分析】【考点1：平行线性质直接应用】【典例1】（2022秋•碑林区校级月考）如图，a∥b．∠1＝58°，则∠2的度数为（）A．58° B．112° C．120° D．132°【答案】A【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝58°，∴∠3＝∠1＝58°，∴∠2＝∠3＝58°，故选：A．【变式1-1】（2022•孝义市三模）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝55°，则∠2等于（）A．55° B．65° C．125° D．135°【答案】C【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝55°，∴∠3＝125°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝125°，故选：C．【变式1-2】（2022•大理州二模）如图，AB∥CD，∠C＝30°，∠E＝20°，则∠A的度数是（）A．10° B．50° C．40° D．45°【答案】B【解答】解：∵∠C＝30°，∠E＝20°，∴∠DOE＝30°+20°＝50°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠DOE＝50°，故选：B．【变式1-3】（2022秋•长春期末）如图，AB∥CD，∠FGB＝155°，FG平分∠EFD，则∠BEF的大小为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】D【解答】解：∵AB∥CD，∠FGB＝155°，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∠GFD＝180°﹣∠FGB＝180°﹣155°＝25°，∵FG平分∠EFD，∴∠EFD＝2∠GFD＝2×25°＝50°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFD＝180°﹣50°＝130°，故选：D【考点2：平行线性质与三角板结合】【典例2】（2022春•沙坪坝区校级月考）一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（）A．35° B．20° C．15° D．10°【答案】C【解答】解：由图可得，∠CDE＝45°，∠C＝90°，∴∠CED＝45°，又∵DE∥AF，∴∠CAF＝∠CED＝45°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝60°﹣45°＝15°，故选：C．【变式2-1】（2022春•龙岗区校级期中）一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（）A．10° B．15° C．18° D．30°【答案】B【解答】解：∵AB∥CF，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝15°，故选：B．【变式2-2】（2022春•海淀区校级月考）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】C【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∴∠4＝∠2＝70°，∴∠3＝∠4﹣∠1＝70°﹣30°＝40°．故选：C．【考点3：平行线性质与折叠结合】【典例3】（2022春•朝天区期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别落到点A'，B'处．若∠A′EF＝130°，则∠BFE的度数为（）A．50° B．65° C．70° D．80°【答案】A【解答】解：由题知：∠AEF＝∠A′EF＝130°，AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB＝180，∴∠BFE＝50°．故选：A．【变式3-1】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝20°，则∠A'EB的大小为（）A．70° B．35° C．45° D．55°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠DBC＝20°，∴∠ABD＝90°﹣20°＝70°．∵矩形折叠后点A落在对角线BD上的点A'处，∴∠A′BE＝∠ABD＝×70°＝35°，∠EA′B＝′A＝90°，∴∠A′EB＝180°﹣∠EA′B﹣∠A′EB＝180°﹣90°﹣35°＝55°．故选：D．【变式3-2】（2022秋•宜兴市月考）如图，将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置，∠OGC'等于100°，则∠DGC'的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】A【解答】解：∵将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置，∠OGC'等于100°，∴∠OGC＝∠OGC′＝100°，∴∠OGD＝180°﹣∠OGC＝80°，∴∠DGC'＝∠OGC′﹣∠OGD＝20°，故选：A．【考点4：平行线的判定与性质】【典例4】（2021秋•青冈县期末）已知：如图，∠CDG＝∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．（1）证明：DG∥AB，AB∥EF．（2）试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵∠CDG＝∠B，∴DG∥BA（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行），（2）解：∠1＝∠2，理由∴∠2＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）．【变式4-1】（2021秋•本溪县期末）如图，EF∥BD，∠1＝∠2，∠BAC＝45°．求∠ADG的度数．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AB，∴∠ADG+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝45°，∠AGD＝135°．【变式4-2】（2022秋•横县期中）如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠A＝70°，∠B＝60°，DE∥BC．求∠EDC度数．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠DCB＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∴∠EDC＝∠ACB，∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣