（福建专用）高考数学总复习 第七章第2课时 两直线的位置关系课时闯关（含解析）

一、选择题1．若直线2ay－1＝0与直线(3a－1)x＋y－1＝0平行，则实数a等于()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：选C.因为直线2ay－1＝0斜率为0，两直线平行，所以3a－1＝0，即a＝eq\f(1,3).故选C.2．(2012·泉州调研)若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则()A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝2解析：选D.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－3)＝－1,\f(a＋3,2)－\f(b＋4,2)－1＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝2))，选D.3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为()A．0或－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)或－6C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2) D．0或eq\f(1,2)解析：选B.法一：依题意得eq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋1))＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋1))，∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m.∴m＝－6或m＝eq\f(1,2).故应选B.法二：通过直线与AB平行或过线段AB中点分类讨论求解．4．已知直线l的倾斜角为eq\f(3π,4)，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()A．－4 B．－2C．0 D．2解析：选B.l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝eq\f(2－－1,3－a)＝1，∴a＝0.由l1∥l2，得－eq\f(2,b)＝1，b＝－2，∴a＋b＝－2.5．已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线被直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经OB反射后回到P点，则光线所经过的路程是()A．2eq\r(10) B．6C．3eq\r(3) D．2eq\r(5)解析：选A.如图，P关于直线AB：x＋y＝4的对称点P1(4,2)，P关于y轴的对称点P2(－2,0)，则|P1P2|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)为所求路程．二、填空题6．点P为x轴上一点，P点到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则P点坐标为________．解析：设P(a,0)，则有eq\f(|3a－4×0＋6|,\r(32＋－42))＝6，解得a＝－12或a＝8.∴P点坐标为(－12,0)或(8,0)．答案：(－12,0)或(8,0)7．已知直线：l1：x＋ysinθ－1＝0，l2：2xsinθ＋y＋1＝0，若l1∥l2，则θ＝________.解析：∵l1∥l2，∴1×1＝2sinθ×sinθ，∴sin2θ＝eq\f(1,2)，∴sinθ＝±eq\f(\r(2),2)，∴θ＝kπ±eq\f(π,4)(k∈Z)．答案：kπ±eq\f(π,4)(k∈Z)8．(2012·福州调研)若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点________．解析：因为直线l1与l2关于点(2,1)对称，且直线l1过点(4,0)，所以直线l2必过点(4,0)关于点(2,1)的对称点(0,2)．答案：(0,2)三、解答题9．求过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))∴l1，l2的交点为(1,2)．设所求直线方程为y－2＝k(x－1)．即kx－y＋2－k＝0，∵P(0,4)到直线的距离为2，∴2＝eq\f(|－2－k|,\r(1＋k2))，解得：k＝0或k＝eq\f(4,3).∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.10．已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2，∴eq\f(a,b)＝1－a，∴b＝eq\f(a,1－a)，故l1和l2的方程可分别表示为：(a－1)x＋y＋eq\f(4a－1,a)＝0，(a－1)x＋y＋eq\f(a,1－a)＝0，又原点到l1与l2的距离相等．∴4|eq\f(a－1,a)|＝|eq\f(a,1－a)|，∴a＝2或a＝eq\f(2,3)，∴a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2.一、选择题1．已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么eq\r(x2＋y2)的最小值为()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C．2eq\r(5) D．2eq\r(10)解析：选A.eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)到原点的距离，根据数形结合得eq\r(x2＋y2)的最小值为原点到直线2x＋y＋5＝0的距离，即d＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5).故选A.2．(2012·三明质检)已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y＝0互相垂直，则ab的最小值等于()A．1 B．2C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)解析：选B.由两条直线垂直的充要条件可得：－eq\f(b2＋1,a)·eq\f(1,b2)＝－1，解得a＝eq\f(b2＋1,b2)，所以ab＝eq\f(b2＋1,b2)·b＝eq\f(b2＋1,b)＝b＋eq\f(1,b).又因为b>0，故b＋eq\f(1,b)≥2eq\r(b·\f(1,b))＝2，当且仅当b＝eq\f(1,b)，即b＝1时取“＝”．故选B.二、填空题3．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p的值是________．解析：∵两直线垂直，∴－eq\f(m,4)·eq\f(2,5)＝－1，解得m＝10；又垂足为(1，p)，代入直线mx＋4y－2＝0得p＝－2；再将(1，－2)代入2x－5y＋n＝0得n＝－12.所以m－n＋p＝20.答案：204．设直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：①M中所有直线均经过一个定点；②存在定点P不在M中的任一条直线上；③对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的代号是________(写出所有真命题的编号)．解析：因为xcosθ＋(y－2)sinθ＝1，所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d＝eq\f(1,\r(cos2θ＋sin2θ))＝1即M为圆C：x2＋(y－2)2＝1的全体切线组成的集合，从而M中存在两条平行直线，所以①错误；又因为(0,2)点不存在任何直线上，所以②正确；对任意n≥3，存在正n边形使其内切圆为圆C，故③正确；M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，如图所示．故④错误，故命题中正确的序号是②，③.答案：②③三、解答题5．已知方程(m＋2)x＋(m－3)y＋4＝0(m∈R)所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标．解：将直线方程变形为m(x＋y)＋2x－3y＋4＝0.依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,2x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,5)，,y＝\f(4,5).))∴定点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(4,5))).6．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．解：如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)则kBB′·kl＝－1，即3·eq\f(b－4,a)＝－1.∴a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为(eq\f(a,2)，eq\f(b＋4,2))，且在直线l上，∴3×eq\f(a,2)－eq\f(b＋4,2)－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②，得a＝3，b＝3，∴B′