27 2 2 -27 2 3 复习学案 人教版九年级数学下册

27.2.2相似三角形的性质【笔记】1．相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于________，即相似三角形对应线段的比等于________．2．相似三角形的周长比等于________．3．相似三角形的面积比等于________．【训练】1．若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为()A．3∶2B．3∶5C．9∶4D．4∶92．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为eq\f(3,4)，则△ABC与△DEF对应中线的比为()A．3∶4 B．4∶3C．9∶16 D．16∶93．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为()A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．4∶14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则S△BDE∶S△ACD＝()第4题图A．1∶16B．1∶18C．1∶20D．1∶245．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB＝2，BC＝3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为()第5题图A．9∶4B．3∶2C．4∶3D．16∶96．如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD＝2DE.若△DEF的面积为a，则ABCD的面积为________．(用a的代数式表示)第6题图7．如图，△ABC中，DE∥BC，DE交AB，AC于D，E，AD∶DB＝5∶4，则S梯形BCED∶S△ADE＝________.第7题图8．两个相似三角形的面积比为25∶9，其中一个三角形的周长为45，则另一个三角形的周长为________．9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE∶ED＝2∶1.如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是________．第9题图10．如果两个相似三角形的最长边分别为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，那么这两个三角形的周长分别为________．11．如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2.(1)DE与AB的长度之比是多少？(2)已知直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．第11题图12．(连云港中考)已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是()A.eq\f(BC,DF)＝eq\f(1,2)B.eq\f(∠A的度数,∠D的度数)＝eq\f(1,2)C.eq\f(△ABC的面积,△DEF的面积)＝eq\f(1,2)D.eq\f(△ABC的周长,△DEF的周长)＝eq\f(1,2)13．(成都中考)如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为________．第13题图14．已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.求：在△ABC内作正方形，使正方形的四个顶点都在三角形的边或顶点上，求这个正方形的边长．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(5,3)))，点D的坐标为(0，1)．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．第15题图答案【笔记】1．相似比相似比2.相似比3.相似比的平方【训练】1—5.AABCD6.12a7.56∶258.75或279.eq\f(7,4)10.100cm和40cm11.(1)由相似变换可得：DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；(2)∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF∶S△ABC＝4∶9，∵直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，∴△DEF的周长为8cm，S△DEF＝eq\f(8,3)cm2.12.D13.8，eq\f(56,15)或eq\f(8\r(5),3)第14题图14.直角三角形内接正方形有两种不同的位置．①如图1，作CP⊥AB于P，交GF于H，则CH⊥GF，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴eq\f(GF,AB)＝eq\f(CH,CP)，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得AB＝10，∵AC·BC＝AB·CP，∴CP＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(8×6,10)＝eq\f(24,5)，设GF＝x，则CH＝eq\f(24,5)－x，∴eq\f(x,10)＝eq\f(\f(24,5)－x,\f(24,5))，∴x＝eq\f(120,37).②如图2，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴eq\f(DE,AC)＝eq\f(BE,BC)，设CF＝x，则BE＝6－x，DE＝x，∴eq\f(x,8)＝eq\f(6－x,6)，∴x＝eq\f(24,7).答：△ABC内接正方形的边长为eq\f(120,37)cm或eq\f(24,7)cm.第15题图15.(1)设直线AD的解析式为y＝kx＋b，将Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(5,3)))，D(0，1)代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)k＋b＝\f(5,3)，,b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝1.))∴直线AD的解析式为y＝eq\f(1,2)x＋1；(2)∵直线AD与x轴的交点为(－2，0)，∴OB＝2，∵点D的坐标为(0，1)，∴OD＝1.∵y＝－x＋3与x轴交于点C(3，0)，∴OC＝3.∴BC＝5.∵△BOD与△BCE相似，∴eq\f(BD,BC)＝eq\f(BO,BE)＝eq\f(OD,CE)或eq\f(OB,BC)＝eq\f(OD,CE′)，∴eq\f(\r(5),5)＝eq\f(2,BE)＝eq\f(1,CE)或eq\f(2,5)＝eq\f(1,CE′)，∴BE＝2eq\r(5)，CE＝eq\r(5)或CE′＝eq\f(5,2)，∴E(2，2)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,2))).27.2.3相似三角形应用举例【笔记】1．数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明确问题中各量的数量关系与位置关系，进而形成解题思路．2．相似三角形的应用(1)测量不能到达顶部的物体的高度，通常借助太阳光照射物体形成影子，根据同一时刻物高与影长成________或利用相似三角形来解决问题．(2)求不能直接到达的两点间的距离，关键是构造__________，然后根据相似三角形的性质求出两点间的距离．【训练】1．如图，球从A处射出，经球台边挡板CD反射到B，已知AC＝10cm，BD＝15cm，CD＝50cm，则点E距离点C()A．40cmB．30cmC．20cmD．10cm第1题图2．已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过而且落在离网5米的位置上(网球运行轨迹为直线)，则球拍击球的高度h应为()A．0.9mB．1.8mC．2.7mD．6m第2题图3．在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似？()A．①处B．②处C．③处D．④处第3题图4．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.4m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2m，一级台阶高为0.3m，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4m，则树高为()第4题图A．11.5mB．11.75mC．11.8mD．12.25m5．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为________．第5题图6．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4cm，则线段BC＝______cm.第6题图7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m.第7题图8．如图，一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油的高度为_____．第8题图9．如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E.若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为______m.第9题图10．(岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形，能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是_________步．第10题图11．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为15cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点，若不考虑其他因素，求该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长．第11题图12．如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为()图1图2第12题图A.eq\f(24,5)B.eq\f(32,5)C.eq\f(12\r(34),17)D.eq\f(20\r(34),17)13．有一支夹子如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ为6cm，如果想用夹子的尖端A，D两点夹住P，Q两点，那么手握的地方EC至少要张开_______cm.第13题图14．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF＝E1F1＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝6m，C1E1＝3m.第14题图(1)由题意可知△FDM∽△________，△F1D1N∽△__________；(2)求电线杆AB的高度．15．如图所示，某小组发现8m高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧形小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6m，测得其影长为2.4m，同时测得EG的长为3m，HF的长为1m，测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长)为2m，求小桥所在圆的半径．第15题图

答案【笔记】2．(1)比例(2)相似三角形【训练】1—4.CCBC5.1.4m6.127.5.58.0.64m9.6010.eq\f(60,17)11.∵AB⊥BD，AC⊥AB，∴AC∥BD，∴∠ACB＝∠DBC，又∵∠A＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△CDB，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC,BD)，∴BC2＝AC·BD，在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝152＋302＝1125，∴15BD＝1125，∴BD＝75(cm)．12.A13.314.(1)FBGF1BG(2)∵D1C1∥BA，∴△F1D1N∽△F1BG，∴eq\f(D1N,BG)＝eq\f(F1N,F1G).∵DC∥BA，∴△FDM∽△FBG.∴eq\f(DM,BG)＝eq\f(FM,FG).∵D1N＝DM，∴eq\f(F1N,F1G)＝eq\f(FM,FG)，即eq\f(3,GM＋11)