余弦定理、正弦定理应用举例 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理3.余弦定理、正弦定理应用举例第六章

平面向量及其应用一二三学习目标了解常用的测量相关术语能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度角度的实际问题根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件学习目标新课导入

在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题。解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量。光学经纬仪水准仪

具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件.

事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情景和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情景与条件限制下的恰当方案.【仰角】：目标视线在水平线上方与水平线的夹角【俯角】：目标视线在水平线下方与水平线的夹角【定义】：从某点的正北方向起，按顺时针方向旋转到目标方向线所成的最小正角。【定义】：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角铅垂线视线视线水平线仰角俯角北东

北东

仰角和俯角方位角方向角OA：北偏西40°，OB：南偏西60°基线的定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.基线相关知识新知探究可到达点与不可到达点之间的距离

a•

注意：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线。

例如AB就是基线新知探究两个不可到达点之间距离ABCDαβγδa第三步：在△ADC和△BDC中，对照例1应用正弦定理得出AC,BC的长第一步：测量者可以在河岸边选定两点C，D，CD作为基线第二步：测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，思考：能用问题1的方法，来解决这个问题吗？例2

如图示，A,B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A,B两点间距离的方法，并求出A,B的距离.解：如图,在A,B两点的对岸选定两点C,D，测得a于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离思考

在上述测量方案下,还有其他计算A,B两点间距离的方法吗？先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。新知探究两个不可到达点之间距离例2

如图示，A,B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A,B两点间距离的方法，并求出A,B的距离.例题小结距离测量问题包括(一个不可到达点)和(两个不可到达点)两种设计测量方案的基本原则是：能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离，计算时需要利用(正、余弦定理)。距离测量问题跟踪练习

新知探究思考

你能设计一个测量方案，测出地球和月球之间的大致距离吗？αβAB设基线AB=C故AC=asinβsin(π-α-β)asinβsin(α+β)=背景资料早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算出α,β的大小和两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.典例解析思考

如何测量建筑物的高度呢?例3

如图，设计一种测量方法，测量塔的高度.解：如图，在△ABC中，测得高度测量—底部可达典例解析高度测量—底部不可达例4如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物AB的高度．αβAC=asinβsin(α-β)AB=AE+h=ACsinα+h=+hasinβsinαsin(α-β)解：如图，选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上.在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a，测角仪器的高是h.那么，在∆ACD中，由正弦定理，得【分析】如图，求AB长的关键是先求AE，在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.思考：解决本本题的关键是什么？例5位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7nmile的C处的船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度(精确到1°)？需要航行的距离是多少海里（精确到1nmile）？典例解析7nmile30°20nmileAC北B分析：首先应根据“正东方向”、“南偏西30°”、“目标方向线”等信息，画出示意图.解:根据题意,画出示意图如图示,由余弦定理,得由正弦定理,得因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°+30°=76°，大约需要航行24nmile.测量角度巩固练习课本P511.如图,一艘船向正北航行,航行速度的大小为32.2nmile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向上.30min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗?北A20°SB65°解：在△ABS中,AB=32.2×0.5=16.1(nmile),∠ABS=115°.∴S到直线AB的距离为∴这艘船可以继续沿正北方向航行.巩固练习课本P512.如图示，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a

m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ.求证:巩固练习课本P51∴此船应该沿北偏东56°的方向航行，需要航行约为113.15海里.3.如图示，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54nmile后到达海岛C.如果下次