山东省济南市育文中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析

山东省济南市育文中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是()参考答案：D3.在等差数列中，已知，则（*）.A． B． C． D．参考答案：B略4.两平行直线分别过（1，5），（－2，1）两点，设两直线间的距离为d，则（

）

A．d=3

B．d=4

C．3≤d≤4

D．0<d≤5参考答案：D略5.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是

（

）

2

1参考答案：A6.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且，则下列结论中不成立的是 ()． A．若b?β，a∥b，则a∥β

B．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若

D．若参考答案：D略7.如果关于的不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是（）A、

B、

C、

D、参考答案：C略8.设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5 B．+ C．2+ D．6参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出Q的坐标，由两点间的距离公式列式，化为关于Q的纵坐标的函数，配方求得Q到圆心的距离的最大值，即可求P，Q两点间的距离的最大值．【解答】解：如图，由圆x2+（y﹣6）2=2，得圆心坐标为C（0，6），半径为．设Q（x，y）是椭圆+=1上的点，∴|QC|==，∵﹣≤y≤，∴y=﹣时，Q与圆心C的距离的最大值为．∴P，Q两点间的距离的最大值为2+．故选：C．9.短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则ΔABF2的周长为A．3 B．6 C．12 D．24参考答案：B10.某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）A．9 B．18 C．27 D．36参考答案：B【考点】分层抽样方法．【分析】根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．【解答】解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是=，用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将6位志愿者分成4组，每组至少1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有

种（用数字作答）．

参考答案：2640略12.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内①处应填（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B13.某公司的班车在8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

．参考答案：【考点】几何概型．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==．故答案为：．14.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且,则C的离心率为____________.（改编题）参考答案：15.（5分）已知复数z满足，则|z+i|（i为虚数单位）的最大值是．参考答案：由，所以复数z对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，所以|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径，等于．故答案为．由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，由此可得|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径．16.某企业对4个不同的部门的个别员工的年旅游经费调查发现，员工的年旅游经费y（单位：万元）与其年薪（单位：万元）有较好的线性相关关系，通过下表中的数据计算得到y关于x的线性回归方程为.x7101215y0.41.11.32.5

那么，相应于点的残差为_______．参考答案：0.0284【分析】将x=10代入线性回归方程，求得，利用残差公式计算即可.【详解】当时，，∴残差为y-.故答案为.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，考查了残差的计算公式，是基础题．17.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

．外接球半径为

．参考答案：；。【考点】球内接多面体．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】几何体是一个底面是顶角为120°且底边长是2，在等腰三角形的顶点处有一条垂直于底面的侧棱，侧棱长是2，建立适当的坐标系，写出各个点的坐标和设出球心的坐标，根据各个点到球心的距离相等，点的球心的坐标，可得球的半径，做出体积．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，三棱锥的底面为等腰三角形，且三角形的底边长为2，底边上的高为1，∴几何体的体积V=××2×1×2=．以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（﹣1，，0）∵（x﹣2）2+y2+z2=x2+y2+z2，①x2+y2+（z﹣2）2=x2+y2+z2，②（x+1）2+（y﹣）2+z2=x2+y2+z2，③∴x=1，y=，z=1，∴球心的坐标是（1，，1），∴球的半径是，故答案为：，．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体，考查三棱锥与外接球之间的关系，考查利用空间向量解决立体几何问题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.直线l经过点P（3，2）且与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，（1）若△OAB的面积为12，求直线l的方程；（2）记△AOB的面积为S，求当S取最小值时直线l的方程．参考答案：【考点】基本不等式；直线的点斜式方程．【分析】（1）设出直线的方程，利用直线经过的点与三角形的面积列出方程组，求解即可．（2）利用基本不等式求解面积最大值时的准线方程即可．【解答】解：（1）设直线l的方程为+=1（a＞0，b＞0），∴A（a，0），B（0，b），∴解得a=6，b=4，∴所求的直线方程为+=1，即2x+3y﹣12=0．（2），当时，即当a=6，b=4，S取最小值，直线l的方程为2x+3y﹣12=0．19.设函数

（1）若b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求对任意x∈R，f（x）＞0恒成立的概率．（2）若b是从区间[0，8]（3）任取得一个数，c是从[0，6]任取的一个数，求函数f（x）的图象与x轴有交点的概率．参考答案：【考点】几何概型；等可能事件的概率．【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，f（x）＞0要满足判别式小于0，列举出结果．（2）利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【解答】解：（1）由点（b，c）组成的点共36tkh，设A={任意x∈R，f（x）＞0恒成立}即△=b2﹣c2＜0，∴b＜c，A中包含基本事件15个，∴P（A）=；（2）（b，c）所在的区域Ω={（b，c）|0≤b≤8，0≤c≤6}若使函数f（x）的图象与x轴有交点，则b≥c≥0．∴事件B={（b，c）|b＞c，0≤b≤8，0≤c≤6}如图，∴P（B）=．20.已知函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a≠0）（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=﹣1处的切线方程为y=x+n，求m，n的值；（Ⅱ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）内是增函数，求b的取值范围；（Ⅲ）当x＞0时，设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）在x＜0时的导数，从而得到在x=﹣1处的切线斜率，并求出切点，根据切点在切线上，得到一方程，及切线斜率为e﹣1，得到另一个方程，求出m，n；（Ⅱ）首先化简a=﹣2时的函数h（x），根据函数h（x）在（0，+∞）内是增函数等价为h'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，通过分离参数，求出（x＞0）的最小值2，令b不大于2；（Ⅲ）假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，设出P，Q的坐标，求出中点R的横坐标，分别求出C1在点M处的切线斜率k1与C2在点N处的切线斜率k2，令k1=k2，两边同时乘以x2﹣x1，整理得到∴，构造函数r（t）=lnt﹣（t＞1），应用导数说明r（t）在t＞1上单调递增，从而r（t）＞r（1），即lnt＞，显然矛盾，故假设不成立，即不存在．【解答】解：（Ⅰ）当x＜0时，f（x）=ex﹣x2+mx，导数f'（x）=ex﹣x+m，∴f'（﹣1）=e﹣1+1+m，即函数f（x）的图象在x=﹣1处的切线斜率为e﹣1+1+m，切点为（﹣1，e﹣1﹣﹣m），∵函数f（x）的图象在x=﹣1处的切线方程为y=x+n，∴e﹣1+1+m=，﹣+n=e﹣1﹣﹣m，∴m=﹣1，n=；（Ⅱ）a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）的解析式是h（x）=lnx+x2﹣bx，导数h'（x）=+2x﹣b，∵函数h（x）在（0，+∞）内是增函数，∴h'（x）≥0即+2x﹣b≥0在（0，+∞）内恒成立，∴b≤（+2x）min，∵x＞0时，+2x≥2=2，∴b，故b的取值范围是（﹣]；（Ⅲ）假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），0＜x1＜x2，则由题意得点M、N的横坐标与中点R的横坐标相等，且为x0=，∵x＞0时，f'（x）=，g'（x）=ax+b，∴C1在点M处的切线斜率为k1=，C2在点N处的切线斜率为k2=ax0+b=+b，由于两切线平行，则k1=k2，即=+b，则两边同乘以（x2﹣x1），得=（x22+bx2）﹣（x12+bx1）=y2﹣y1=lnx2﹣lnx1，∴，设t=，则lnt=，t＞1①，令r（t）=lnt﹣，t＞1，则r'（t）=，∵t＞1，r'（t）＞0，∴r（t）在（1，+∞）上单调递增，∴r（t）＞r（1）=0，∴lnt＞，这与①矛盾，假设不成立，故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．21.已知，其中是自然对数的底数.（1）当，时，比较与的大小关系；（2）试猜想与的大小关系，并证明你的猜想.参考答案：(1)(2)猜想，证明见解析分析：（1）当，时，计算出与的值，即可比较大小；（2）根据（1）可猜想，利用分析法，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性可证明结论.详解：（1）当，时，，此时，.（2）猜想，要证，只需证：，整理为，由，只需证：，令，则，故函数增区间为，故，即，故当时，.点睛：联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键.22.(本题满分12分)已知函数，问是否存在实数使在上取得最大值3，最小值-29.若存在，求出的值，并指出函数的单调区间；若不存在，请说明理由。参考答案：设存在、满足条件，显然

令

解得或

（舍去）

（1）若时，在上，在上