湖南省常德市澧县涔南乡中学高二数学理期末试题含解析

湖南省常德市澧县涔南乡中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)=1+log2x与g(x)=在同一直角坐标系下的图象大致是

（

）参考答案：C略2.函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为(

) A．[0，3] B．[﹣1，0] C．[﹣1，3] D．[0，2]参考答案：C考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：由函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，3]可得，当x=2时，函数取得最小值为﹣1，当x=0时，函数取得最大值3，由此求得函数的值域．解答： 解：∵函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，3]，故当x=2时，函数取得最小值为﹣1，当x=0时，函数取得最大值3，故函数的值域为[﹣1，3]，故选C．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属于中档题．3.集合，，若，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知F1(2,0)，F2（a,b）为焦点的椭圆经过原点，且长轴长为6，那么ab的最大值是(

)A.4

B.8

C.12

D.16参考答案：B5.已知实数a满足下列两个条件：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解；②代数式log2（a+3）有意义．则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由实数a满足下列两个条件得出关于a的不等式，并求出构成的区域长度，再求出指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的数a构成的区域长度，再求两长度的比值．【解答】解：：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解，则a=0或a≠0，△≥0?，解得：a≤，且a≠0，综合得：a≤；②代数式log2（a+3）有意义?a＞﹣3．综合得：﹣3＜a≤．满足两个条件：①②数a构成的区域长度为+3=，指数函数y=（3a﹣2）x为减函数?0＜3a﹣2＜1?＜a＜1．则其构成的区域长度为：1﹣=，则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为=故选：A．6.已知点P在曲线y=ex(e自然对数的底数)上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是

()A.

B.2e

C.

D.e

参考答案：A7.设关于x、y的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足，求得m的取值范围是（

）．A． B． C． D．参考答案：C画出不等式组表示的区域及直线如图，结合图形可知点能使得，即．故选．8.在直角坐标系xOy中，若直线l：（t为参数）过椭圆C：（为参数）的左顶点，则a=（

）A. B.－5 C.－2 D.－4参考答案：D【分析】根据直线和椭圆的参数方程转化为普通方程求解.【详解】直线的普通方程为，椭圆的普通方程为，左顶点为．因为直线过椭圆的左顶点，所以，即．选D.【点睛】本题考查直线和椭圆的参数方程转化为普通方程，属于基础题.

9.若，则等于A.2

B.0

C.-4

D.-2参考答案：C10.直线在轴上的截距是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B解析：令则二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若空间中两点分别为A(1,0,1)，B(2,1,－1)，则|AB|的值为__________．参考答案：，．12.已知是不同的平面，是不同的直线，给出下列4个命题：①若则②若则③若则；④若则则其中真命题的个数为

▲

个．参考答案：113.在极坐标系中，点P（2，0）与点Q关于直线sinθ=对称，则|PQ|=

．参考答案：2考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直线sinθ=，即．如图所示，|PM|=2，即可得出|PQ|=2|PM|．解答： 解：直线sinθ=，即．如图所示，|PM|=2=．∴|PQ|=2．故答案为：2．点评：本题考查了极坐标的应用、对称的性质，属于基础题．14.已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r=

．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，由此能求出半径r．【解答】解：∵直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，∴圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，即d=，解得r=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．15.直线与两坐标轴围成的三角形面积等于__________.参考答案：略16.阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为．参考答案：﹣4【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．【解答】解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查循环结构，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力．17.在直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，斜边和斜边上的高分别为c、h，则的取值范围是．参考答案：（1，]【考点】正弦定理．【分析】根据勾股定理和三角形面积公式，将化为关于a、b的表达式，利用基本不等式可得＞1．再设=t，则可将表示成关于t的函数f（t），研究f（t）的单调性得到在区间（0，）上f（t）是增函数，从而得到f（t）的最大值是f（）=．由此即可得到的取值范围．【解答】解：∵直角△ABC中，两条直角边分别为a、b，∴斜边c=，斜边上的高h==，因此，=∵≥=，≤1∴＞1（等号取不到），即又=+?设=t，则=，=可得f（t）=+，（0＜t）∵在区间（0，）上f'（t）＞0，∴f（t）在区间（0，）上是增函数，可得当0＜t时，f（t）的最大值为f（）=综上所述，的取值范围是（1，]故答案为：（1，]【点评】本题在直角三角形中，求斜边与斜边上高之和与两条直角边之和的比值范围．着重考查了勾股定理、基本不等式求最值和函数的单调性等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（，﹣）．（1）求椭圆的方程；（2）已知y=kx+1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由已知，焦距为2c=2，解得c=．又在椭圆C上，=1，又a2=b2+c2，联立解得a2，b2．（2）当k=0时，直线l：y=1，点不在椭圆上；当k≠0时，可设直线，即，代入椭圆方程整理得（4k2+12）y2+4k（k﹣3）y+（k﹣3）2﹣12=0，若点A与点B关于l的对称，则其中点在直线y=kx+1上，解得k，进而判断出结论．【解答】解：（1）由已知，焦距为2c=2，解得c=．又在椭圆C上，∴=1，又a2=b2+c2，联立解得a2=3，b2=1．故所求椭圆的方程为：=1．…（2）当k=0时，直线l：y=1，点不在椭圆上；…当k≠0时，可设直线，即，代入椭圆方程整理得（4k2+12）y2+4k（k﹣3）y+（k﹣3）2﹣12=0，∵，∴，…若点A与点B关于l的对称，则其中点在直线y=kx+1上，∴，解得k=﹣1．因为此时点在直线y=﹣x+1上，…所以对称点B与点A重合，不合题意所以不存在y2=4x满足条件…19.（满分12分）已知命题：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题：双曲线的离心率，若只有一个为真，求实数的取值范围．参考答案：若P真，则，解得…………2分若q真，则

，解得…………4分若p真q假，则，解集为空集；…………7分p假q真，则，解得…………10分

故…………12分20.（本小题满分14分）数列的前项和满足.（1）计算的值；（2）猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.参考答案：解：（1）.…………4分

（2）猜想证明如下：

…………6分①当时，成立.

……7分②假设当时成立，即，…………9分则当时，……10分……12分所以

………………13分

所以时结论也成立.………………14分由①②知，对任意的，都成立.略21.已知公差不为0的等差数列满足，，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）数列满足，求数列的前项和；（Ⅲ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）由题知，设的公差为，则，，．

………1分又，

……2分．

…3分

（Ⅱ）．

……5分．

……7分（III），使数列是单调递减数列，则对都成立

…8分即

……9分设

……10分当或时，所以所以