湖南省长沙市洞庭桥中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析

湖南省长沙市洞庭桥中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8?a10?a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256参考答案：C【考点】等比数列的性质．【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，所以a1?a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得：a10=4，则a8?a10?a12=（a8?a12）?a10=a103=43=64．故选C2.等差数列{an}中，已知a1﹣a4﹣a8﹣a12+a15=2，则此数列的前15项和S15等于（）A．﹣30 B．15 C．﹣60 D．﹣15参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质化简已知的等式，由等差数列的前n项和公式、等差数列的性质求出S15的值．【解答】解：∵a1﹣a4﹣a8﹣a12+a15=2，∴a1﹣（a4+a8+a12）+a15=2，则2a8﹣3a8=2，解得a8=﹣2，∴S15==15a8=﹣30，故选：A．3.抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“向上的点数是2的倍数”，事件D为“2点或4点向上”。则下列每对事件是互斥但不对立的是（

） A、A与B

B、B与C

C、C与D

D、A与D参考答案：D4.如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4．长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R﹣PQMN的体积是（）A．6 B．10 C．12 D．不确定参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先求出底面PQMN的面积，再求R到底面PQMN的距离，然后求四棱锥R﹣PQMN的体积．【解答】解：由题意可知底面PQMN的面积是R到PQMN的距离为四棱锥R﹣PQMN的体积是：故选A．5.当时，设命题p：函数在区间上单调递增，命题q：不等式对任意都成立．若“p且q”是真命题，则实数的取值范围为A． B． C． D．参考答案：A6.下列说法正确的是（

）A．若且为假命题，则，均为假命题B．“”是“”的必要不充分条件C．若则方程无实数根D．命题“若，则”的逆否命题为真命题参考答案：D略7.双曲线的实轴长是（

）A.

B．

C．

D．参考答案：C略8.下列给出的赋值语句中正确的是（

）A．3=A

B．

M=-M

C．

B=A=2

D．

参考答案：B9.设函数,则（）A．为的极大值点

B．为的极小值点C．为的极大值点

D．为的极小值点参考答案：D略10.在中，，则的形状一定是（

）A．直角三角形

B．等腰三角形C．等边三角形

D．等腰直角三角形参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.=

。参考答案：略12.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________

参考答案：213.若命题“?t∈R，t2﹣a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是_____．参考答案：(0,+∞)命题“”是真命题，．则实数的取值范围是故答案为．

14.设函数

的定义域为D，若任取

，存在唯一的

满足

，则称C为函数

在D上的均值.给出下列五个函数：

①

；②

；③

；④

；⑤

.则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为_________.（请把所有正确命题的序号都填上）参考答案：①④对于函数①

，可直接取任意的

，验证求出唯一的

，即可得到成立，故①对；对于函数②

，取任意的

，

，可以得到两个的

，故不满足条件;对于函数③

，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的

，使

成立，故不满足条件；对于函数④

，定义域为

,值域为

且单调，显然必存在唯一的

，使成立，故成立；对于函数⑤

定义域为

，值域为

．对于

．要使

成立，则

，不成立．故答案为①④.

15.的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.参考答案：

60

【分析】求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项.【详解】的展开式的通项为，令，得，所以，展开式中的常数项为；令，令，即，解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.故答案为：；.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为

种.（用数字作答）参考答案：99017.直线l经过P(－4,6)，与x轴，y轴交于A，B两点，当P为AB中点时，则直线l的方程为________．参考答案：3x－2y＋24＝0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知m为实数.命题p：方程表示双曲线；命题q：对任意，恒成立.（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题、“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．参考答案：（1）（2）【分析】（1）由真可得,解不等式即可得到所求范围；(2)由真可得判别式小于0,解得的范国，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.【详解】（1）若命题为真命题，则，即的取值范围是.（2）若命题为真命题，则，解得.即.∵命题“或”为真命题、“且”为假命题，∴和中有且仅有一个正确.若真假，则，解得；若假真，则，解得或.所以，综上所述：的取值范围为.【点睛】本题通过判断或命题、且命题真假，综合考查双曲线的方程以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.19.关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．参考答案：【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．20.已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据已知设出圆的标准方程，将点A，B的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆C的方程．（Ⅱ）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=2x上，故可设圆心C（a，2a），半径为r．则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．∵圆C经过A（3，2）、B（1，6），∴．解得a=2，r=．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r=．直线l经过点P（﹣1，3），①若直线斜率不存在，则直线l：x=﹣1．圆心C（2，4）到直线l的距离为d=3＜r=，故直线与圆相交，不符合题意．②若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l：y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0．圆心C（2，4）到直线l的距离为d==．∵直线与圆相切，∴d=r，即=．∴（3k﹣1）2=5+5k2，解得k=2或k=．∴直线l的方程为2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．21.（满分12分）已知恒不为0，对于任意等式恒成立.求证：是偶函数.参考答案：略22.已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．【解答】（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0